河南省周口市中英文学校高二数学下学期第一次月考试卷 理(含解析)

河南省周口市中英文学校2014 -2015学年高二下学期第一次月考数学
试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）
1．若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）则
的值为（）
A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0
2．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）
A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒
3．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）
A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数
C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x=2时f（x）取到极小值
4．函数y=x3+x的递增区间是（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）
5．函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣2，3]上的最小值为（）
A．72 B．36 C．12 D．0
6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）
A．3 B．2 C．1 D．
7．f′（x0）=0是可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
8．已知函数f（x）=x2+2x+alnx，若函数f（x）在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（）
A．a≥0B．a＜﹣4 C．a≥0或a≤﹣4 D．a＞0或a＜﹣4
9．抛物线y=（1﹣2x）2在点处的切线方程为（）
A．y=0 B．8x﹣y﹣8=0
C．x=1 D．y=0或者8x﹣y﹣8=0
10．设y=x﹣lnx，则此函数在区间（0，1）内为（）
A．单调递增B．单调递减C．有增有减D．不确定
11．已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）
A．[0，）B．C．D．
12．f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx则不等式f（x）cosx＞0的解集是（）
A．[﹣3，0] B．
C．D．
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是
14．用定积分的几何意义，则=．
15．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是．
16．设，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，求常数a，b的值．
18．求垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线f（x）=x3+3x2﹣5相切的直线方程．
19．设f（x）=x3+，求函数f（x）的单调区间及其极值．
20．设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．
21．已知函数f（x）=2x3+3ax2﹣12bx+3在x=﹣2和x=1处有极值．
（Ⅰ）求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）指出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
22．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．
（1）若关于X的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a=的取值范围；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立．求实数k的取值范围．
河南省周口市中英文学校2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）
1．若函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）则
的值为（）
A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0
考点：极限及其运算．
专题：计算题．
分析：此题是一道导数定义的运用，解题时只需要注意可导区间即可
解答：解：
=
．
故选B
点评：此题需要熟练掌握导数的定义．
2．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）
A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒
考点：导数的几何意义．
专题：计算题．
分析：①求出s的导函数s'（t）=2t﹣1②求出s'（3）
解答：解：
s'（t）=2t﹣1，s'（3）=2×3﹣1=5．
故答案为C
点评：考查求导法则及导数意义
3．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）
A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数B．在（1，3）内f（x）是减函数
C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x=2时f（x）取到极小值
考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
专题：导数的综合应用．
分析：根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．
解答：解：由图象知当﹣＜x＜2或x＞4时，f′（x）＞0，函数为增函数，
当﹣3＜x＜﹣或2＜x＜4时，f′（x）＜0，函数为减函数，
则当x=﹣或x=4函数取得极小值，在x=2时函数取得极大值，
故ABD错误，正确的是C，
故选：C
点评：本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．
4．函数y=x3+x的递增区间是（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）
考点：函数的单调性及单调区间．
专题：函数的性质及应用．
分析：求出函数的导数，由二次函数的性质，即可得到函数在定义域R上递增．
解答：解：函数y=x3+x的导数为y′=3x2+1≥1＞0，
则函数在定义域R上递增．
即有函数的递增区间为（﹣∞，+∞）．
故选D．
点评：本题考查函数的单调区间，注意运用导数判断比运用定义简洁，属于基础题．
5．函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣2，3]上的最小值为（）
A．72 B．36 C．12 D．0
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：计算题．
分析：先对函数进行求导，然后判断函数在[﹣2，3]上的单调性，进而确定最值．
解答：解：∵y=x4﹣4x+3，
∴y'=4x3﹣4
当y'=4x3﹣4≥0时，x≥1，函数y=x4﹣4x+3单调递增
∴在[1，3]上，当x=1时函数取到最小值0
当y'=4x3﹣4＜0时，x＜1，函数y=x4﹣4x+3单调递减
∴在[﹣2，1]上，当当x=1时函数取到最小值0
故选D．
点评：本题主要考查利用导数求函数的最值的问题．属基础题．
6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）
A．3 B．2 C．1 D．
考点：导数的几何意义．
分析：根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．
解答：解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线的一条切线的斜率为，
∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选A．
点评：考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}．
7．f′（x0）=0是可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
考点：利用导数研究函数的极值；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：导数的综合应用．
分析：函数y=f（x）在点x=x0处有极值，则f′（x0）=0；反之不一定，举例反f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是函数f（x）在x=0处没有极值．即可判断出．
解答：解：若函数y=f（x）在点x=x0处有极值，则f′（x0）=0；
反之不一定，例如取f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是函数f（x）在x=0处没有极值．
因此f′（x0）=0是可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值的必要非充分条件．
故选：B．
点评：本题考查了函数取得极值的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．已知函数f（x）=x2+2x+alnx，若函数f（x）在（0，1）上单调，则实数a的取值范围是（）
A．a≥0B．a＜﹣4 C．a≥0或a≤﹣4 D．a＞0或a＜﹣4
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：计算题．
分析：求出原函数的导函数，由函数f（x）在（0，1）上单调，所以在x∈（0，1）时，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，分离变量后利用二次函数的单调性求最值，从而得到a的范围．
解答：解：由f（x）=x2+2x+alnx，所以，
若函数f（x）在（0，1）上单调，则当x∈（0，1）时，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，即2x2+2x+a≥0①，或2x2+2x+a≤0②在（0，1）上恒成立，
由①得，a≥﹣2x2﹣2x，由②得，a≤﹣2x2﹣2x，
因为y=﹣2x2﹣2x的图象开口向下，且对称轴为，所以在（0，1）上，y max=0，y min=﹣4
所以a的范围是a≥0或a≤﹣4．
故选C．
点评：本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了利用二次函数的单调性求函数的最值，是中档题．
9．抛物线y=（1﹣2x）2在点处的切线方程为（）
A．y=0 B．8x﹣y﹣8=0
C．x=1 D．y=0或者8x﹣y﹣8=0
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题．
分析：根据所给的曲线的解析式和这点的横标，做出函数在这一点的坐标，对函数求导，做出这一点的导数值，利用点斜式写出切线的方程．
解答：解：∵y=（1﹣2x）2在点处y=4
∴切点是（）
∵y′=8x﹣4
∴当x=时，k=8
∴直线的方程是y﹣4=8（x﹣）
即8x﹣y﹣8=0
故选B
点评：本题考查利用导数研究曲线上某一点的切线方程，本题所给的是一条抛物线，在解题过程中和一般的曲线的做法一样，没有特殊的地方．
10．设y=x﹣lnx，则此函数在区间（0，1）内为（）
A．单调递增B．单调递减C．有增有减D．不确定
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出函数的单调区间．
解答：解：y′=1﹣=，
∵x∈（0，1），∴x﹣1＜0，x＞0，
∴y′＜0，
∴函数在区间（0，1）内单调递减，
故选：B．
点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
11．已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）
A．[0，）B．C．D．
考点：导数的几何意义．
专题：计算题；压轴题．
分析：利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．
解答：解：因为y′===，
∵，
∴e x+e﹣x+2≥4，
∴y′∈[﹣1，0）
即tanα∈[﹣1，0），
∵0≤α＜π
∴≤α＜π
故选：D．
点评：本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．
12．f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，且x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx则不等式f（x）cosx＞0的解集是（）
A．[﹣3，0] B．
C．D．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：判断F（x）=f（x）cosx是定义在[﹣3，3]上的奇函数，利用导数F′x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx，
根据x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx，结合奇偶性得出F（x）=f（x）cosx在[0，3]上是单调递减函数，[﹣3，0）是单调递增函数，利用特殊值求解不等式即可．
解答：解：∵F（x）=f（x）cosx，f（x）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，
∴F（﹣x）=f（﹣x）cos（﹣x）=﹣f（x）cosx=﹣F（x），
∴F（x）=f（x）cosx是定义在[﹣3，3]上的奇函数，
∵x＞0时，f′（x）cosx＜f（x）sinx，
∴F（x）=f（x）cosx在[0，3]上是单调递减函数，
[﹣3，0）是单调递增函数，
∵F（）=0，F（﹣）=0，
∴不等式f（x）cosx＞0的解集[﹣3，﹣）∪（0，），
故选：D
点评：本题考察了学生综合运导数，研究函数的单调性，奇偶性求解不等式，属于综合题目，难度不大．
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．函数y=x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是
考点：利用导数研究函数的单调性．
分析：先对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围即可．
解答：解：∵y=x3+x2﹣5x﹣5∴y'=3x2+2x﹣5
令y'=3x2+2x﹣5＞0 解得：x＜﹣，x＞1
故答案为：（﹣∞，﹣），（1，+∞）
点评：本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系．属基础题．
14．用定积分的几何意义，则=．
考点：定积分．
专题：计算题；数形结合．
分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积即可．
解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故==．
故答案为：．
点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．
15．已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[﹣3，3]上有最小值3，那么在[﹣3，3]上f（x）的最大值是57．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题．
分析：要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在[﹣3，3]上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可．
解答：解析：f′（x）=3x2+6x，令f′（x）=0，得3x（x+2）=0⇒x=0，x=﹣2．
（i）当0≤x≤3，或﹣3≤x≤﹣2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
（ii）当﹣2＜x＜0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（﹣3）或f（0）⇒
f（﹣3）=（﹣3）3+3×（﹣3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，
∴f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（﹣2）或f（3），
f（﹣2）=（﹣2）3+3×（﹣2）2+3=7，f（3）=33+3×32+3=57，则最大值为57．
故答案为：57．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力．
16．设，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（7，+∞）．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：常规题型．
分析：先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．
解答：解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0
解得：x=1或﹣
当x∈时，f'（x）＞0，
当x∈时，f'（x）＜0，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7
由f（x）＜m恒成立，所以m＞f max（x）=7．
故答案为：（7，+∞）
点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的，属于基础题．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，求常数a，b的值．
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出函数的导数，列出方程组解出a，b的值，再通过讨论从而确定a，b的值．解答：解：∵f（x）在x=﹣1时有极值0，
且f′（x）=3x2+6ax+b，
∴，即，
解得：，或，
当a=1，b=3时，
f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，
∴f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a=2，b=9时，
f′（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），
当x∈（﹣∞，﹣3）时，f（x）为增函数；
当x∈（﹣3，﹣1）时，f（x）为减函数；
当x∈（﹣1，+∞）时，f（x）为增函数；
∴f（x）在x=﹣1时取得极小值．
∴a=2，b=9．
点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，是一道基础题．
18．求垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线f（x）=x3+3x2﹣5相切的直线方程．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：欲求切线方程，只须求出切点坐标即可，设切点为P（a，b），先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出a，b值．从而问题解决．
解答：解：设切点为P（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x
切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=﹣3，得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，
得b=﹣3，即P（﹣1，﹣3），y+3=﹣3（x+1），
即直线方程为：3x+y+6=0．
点评：本小题主要考查互相垂直的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题
19．设f（x）=x3+，求函数f（x）的单调区间及其极值．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．
解答：解：∵f（x）=x3+，∴f′（x）=3x2﹣=，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）递增，在（﹣1，1）递减，
∴f（x）极大值=f（﹣1）=﹣4，f（x）极小值=f（1）=4．
点评：本题考查了函数的单调性、极值问题，是一道基础题．
20．设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．
考点：利用导数研究函数的单调性．
分析：（1）已知a=1，f′（x）=﹣+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）
＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．
（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．
解答：解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1）当a=1时，f′（x）=﹣+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）
（2）函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
因为a＞0，x∈（0， 1]，所以＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．
最大值在右端点取到．
所以a=．
点评：考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．
21．已知函数f（x）=2x3+3ax2﹣12bx+3在x=﹣2和x=1处有极值．
（Ⅰ）求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）指出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）根据极值的定义得出，解方程组得出a，b，可得f（x）的
解析式；
（Ⅱ）由f′（x）＞0得单调递增区间，f′（x）＜0得单调递减区间；
（Ⅲ）分别求得函数在[﹣3，3]的极值和端点值，得出最大值及最小值．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax﹣12b
又因为函数y=f（x）在x=﹣2和x=1处有极值，
所以，解得，
所以f（x）=2x3+3x2﹣12x+3…
（Ⅱ） f'（x）=6（x+2）（x﹣1）
由f'（x）＞0，得x＜﹣2或x＞1，f'（x）＜0，得﹣2＜x＜1
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），递减区间为（﹣2，1）…
（Ⅲ）令f'（x）=0，得x=﹣2或x=1f（﹣2）=23，f（1）=﹣4，f（﹣3）=12，f（3）=48 所以f（x）的最大值为f（3）=48，最小值为f（1）=﹣4…
点评：本题考查函数导数与单调性，考查学生运用所学知识分析解决问题的能力，属中档题．
22．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．
（1）若关于X的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a=的取值范围；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立．求实数k的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（1）求导数，确定函数的单调性，求出函数f（x）的极大值为，极小值为
，利用关于X的方程f（x）=a有三个不同的实根，即可求实数a的取值范围；（2）因为x∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x﹣1）恒成立可转化为k≤恒成立，再化简k≤，求最小值即可．
解答：解：（1）
x
f'（x） + ﹣+
所以函数f（x）的极大值为，极小值为，
∵关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，
∴；
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，也就是k≤恒成立，
令g（x）=，则g（x）=x2+x﹣5，
∴g（x）的最小值为﹣3，
∴k≤﹣3．
点评：本题主要考查了利用导数求函数单调区间，极值，以及函数的极值的应用，综合性强．。