5.1.2 弧度制-(新教材人教版必修第一册)(41张PPT)

心角
任意角的弧度 正角的弧度数是一个_正__数__，负角的弧度数是一
数与实数的对 个_负__数__，零角的弧度数是__0_
应关系
计算公式
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l， l
那么，角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝__r_
2．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部
分)是( C )
类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用
典例示范
探究题 1 若扇形的中心角为 120°，半径为 3，则此扇形的面 积是多少？
解：因为 120°＝23π，所以由扇形的面积公式可得此扇形的面积 是 S＝12αR2＝12×23π×3＝π.
数学（人教版）
必修第一册
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
第一 阶段
பைடு நூலகம்课前自学质疑
必备知识 深化预习
1．弧度制的定义
角度制
①定义：用_度__作为单位来度量角的单位制． 1
②1 度的角：周角的__3_6_0___作为一个单位
①定义：以_弧__度__作为单位来度量角的单位制．
弧度制 ②1 弧度的角：长度等于_半__径__长__的圆弧所对的圆
课堂检测 基础达标
1．已知扇形的周长为 4，面积为 1，则该扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．π2
D．π
B 解析：设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋2r＝4，①
S＝21lr＝1，即 lr＝2，②
得 r＝1，l＝2，则扇形圆心角的弧度数为rl＝21＝2.故选 B.
2．已知扇形的半径为 2，圆心角为23π，则扇形的面积为( )
1．－300°化为弧度是( B )
A．－43π
B．－53π
C．－74π
D．－76π
2．85π化为角度是( C ) A．270° C．288°
B．280° D．318°
3．(1)把 112°30′化成弧度； (2)把－51π2化成度． 解：(1)112°30′＝2225°＝2225×1π80＝58π. (2)－51π2＝－51π2×1π80°＝－75°.
A．π
B．43π
C．2π
D．83π
B 解析：S＝12αr2＝12×23π×22＝43π.故选 B.
3．某扇形的圆心角为 30°，半径为 2，则该扇形的弧长为( )
A．60
B．30
C．π6
D．π3
D 解析：30°＝π6，∴弧长为 l＝π6×2＝π3.故选 D.
4．把下列角度与弧度进行互化． (1)－240°；(2)－225°；(3)12°； (4)π8；(5)－32π；(6)－56π.
(2)在表示角的集合时，可以先写出一周期范围(如－π～π，0～2π)
内的角，再加上 2kπ，k∈Z.
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈
Z} ； 终 边 在 相 互 垂 直 的 两 直 线 上 的 角 的 集 合 可 以 合 并 为
xx＝α＋k·π2，k∈Z
，在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．
类型二：用弧度表示角及其范围
典例示范
【例 3】图中阴影部分表示的角的集合为________________(包 括边界)．
αnπ≤α≤nπ＋π6，k∈Z
解析：第一象限阴影部分可表示为
α2kπ≤α≤2kπ＋π6，k∈Z
，第三象限阴影部分可表示为
α2k＋1π≤α≤2kπ＋76π，k∈Z
，
所以整个阴影部分可表示为α2kπ≤α≤2kπ＋π6，k∈Z
解：(1)20°＝21080π＝π9. (2)－15°＝－11580π＝－1π2. (3)172π＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
【例 2】 把下列各角化成 2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指 出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.
α 为弧度制
扇形的弧长 扇形的面积
l＝α1π8R0 S＝α3π6R02
l＝α__R__ S＝12lR＝12αR2
预习验收 衔接课堂
1．时针经过一小时，转过了( B )
A．π6 rad
B．－π6 rad
C．1π2 rad
D．－1π2 rad
2．已知 α＝67π，则 α 的终边在( B )
A．第一象限
∪
α2k＋1π≤α≤2kπ＋76π，k∈Z
＝αnπ≤α≤nπ＋π6，k∈Z
.
【例 4】已知 α＝－800°. (1)把 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第几 象限角； (2)求 γ，使 γ 与 α 的终边相同，且 γ∈－π2，π2.
解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°， 280°＝149π， ∴α＝149π＋(－3)×2π. ∴α 与149π角终边相同，是第四象限角．
(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值．
已知圆中一条弦的长度等于半径 r，求： (1)这条弦所对的劣弧长； (2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．
解：(1)设半径为 r 的⊙O 中弦 AB＝r，则△OAB 为等边三角形， 所以∠AOB＝π3，
则弦 AB 所对的劣弧长为π3r. (2)∵S△AOB＝12× 23OA2＝ 43r2， S 扇形 OAB＝12|α|r2＝21×π3×r2＝π6r2， ∴S 弓形＝S 扇形 OAB－S△AOB＝π6r2－ 43r2＝6π－ 43r2.
角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键． (2)方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×1π80°＝度数． (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． (4)用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
(2)∵与 α 终边相同的角可写为 2kπ＋149π，k∈Z 的形式，而 γ 与 α 的终边相同，
∴γ＝2kπ＋194π，k∈Z. 又 γ∈－π2，π2， ∴－π2<2kπ＋149π<π2，k∈Z， 解得 k＝－1，∴γ＝－2π＋194π＝－49π.
用弧度制表示角应注意的问题： (1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应 用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位一定要统一，角 度数与弧度数不能混用．
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
3π 2
2π
3．弧度制下扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α 为角度制
解：(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝103π(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20，所以 S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2 ＝－(R－5)2＋25， 所以当 R＝5 时，S 取得最大值 25，此时 l＝10，α＝2.
(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是 S＝12lr＝12|α|r2， 二是 l＝|α|r.已知其中两个，就可以求出另一个．
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知扇形面积为38π，半径是 1，则扇形的圆心角是( C )
A．31π6
B．38π
C．34π
D．32π
3π
4．67°30′化成弧度是__8__.
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：弧度与角度的互化
典例示范
【例 1】 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解：(1)－240°＝－240×1π80＝－43π. (2)－225°＝－225×1π80＝－54π. (3)12°＝12×1π80＝1π5. (4)π8×18π0°＝22.5°. (5)－32π×18π0°＝－270°. (6)－56π×18π0°＝－150°.
谢谢~
解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°， ∴－1 500°可化成－10π＋53π，是第四象限角． (2)∵236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π， ∴－4 与 2π－4 终边相同，是第二象限角．
探究题 2 已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆 心角的弧度数是多少？
解：设扇形半径为 r，圆心角的弧度数为 α，
2r＋αr＝6， 由题意得12αr2＝2，
解得rα＝＝14， 或rα＝＝21，.
即扇形的圆心角的弧度数是 1 或 4.
探究题 3 已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大？