七年级数学思维探究（7）怎样设元（含答案）

李善兰（1811-1882），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探源》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献．
7．怎样设元
解读课标
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．
在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有： 1．直接设元 即问什么设什么．
2．间接设元 即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．
3．辅助设元 有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．
4．整体设元 若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数． 问题解决
例1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为_____________．
试一试 要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．
例2 植树节时，某班平均每人植树6棵．如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵．
A ．9
B ．10
C ．12
D ．14 试一试 略
例3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占
总票数的2
3
，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数
的3
5
；零售票每张16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？ 试一试票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数． 例4 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，者可在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%．
方案二：者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问：者选择哪种购铺方案，5年后所获得的收益率更高？为什么？
（注：100%=
⨯投资收益
投资收益率实际投资额
） （2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各了多少万元？ 试一试 在阅读理解的基础上通过设元解决问题．
F E
D
C
B A
例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则8分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？
分析与解 未知量有以下几个：检票开始时，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系．
设检票开始时，等候检票的队伍有a 人，每个检票口每分钟检票x 人，队伍每分钟增加y 人，则
20a
x y
=-，
82a x y =-，消去a ，得()()2082x y x y -=-，3x y =． 故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是：
()()20203202533338x y y y a x y x y y y --⨯====--⨯-（分钟）． 纪念
例6 瑞士数学家欧拉（L ．Euler ，1707-1783）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了886本（篇）书籍和论文．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？
分析 根据设未知数和思路的不同，可得多种解法．
解法1 设有x 个儿子，则最后一个儿子分得100x 克朗，倒数第二个儿子先得到()1001x -克朗，又得到
“余下的110”，即留给最后一个儿子的是余下的910，故这个“余下的110”也是最后一个儿子钱数的1
9
．由
最后两个儿子分得钱数相等，得方程()10010011009
x
x x -+=， 解得 9x =．
所以这位父亲共有9个儿子，每人分得财产100900x =（克朗），留下90098100⨯=（克朗）财产． 解法2 设每个孩子分得的财产是x ，总的财产是y ，则根据题意，
第一个孩子分得的财产是：100
10010
y x -=+，
第二个孩子分得的财产是：200
20010
y x x --=+，
第三个孩子分得的财产是：2300
30010
y x x --=+，
依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是100
10010
x +-．
根据题意，这个差数应当是0，于是得出一元一次方程：100
100010
x +-
=． 解之，得900x =，于是8100y =．经过验证，每个孩子确实都分得900元，即第二、三、四……个方程都满足81009009÷=（个）．
所以这位父亲有9个孩子，他共有财产8100克朗，每人分到900克朗．
数学冲浪
知识技能广场
1．古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别为22，24，27，20，则这四个数分别是____________． 2．一个六位数2abcde 的3倍等于9abcde ，则这个六位数等于_____________．
3．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是______________．
4．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折．如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的原价一定为（ ）元．
A ．180
B ．202.5
C ．180或202.5
D ．180或200
5．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）． A ．100元 B ．105元 C ．108元 D ．118元
6．某种产品是由A 种原料x 千克、B 种原料y 千克混合而成，其中A 种原料每千克50元，B 种原料每千克40元，后来调价，A 种原料价格上涨10%，B 种原料价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则:x y 的值是（ ）．
A ．23
B ．56
C ．65
D ．5534
7．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10的整数，笔记本的单价可能为多少元？ 8．燃蜡时间问题（英国） 在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持4个小时，另一支可维持5小时．雾散后，店主来吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的4倍，问蜡烛点燃了多长时间？
20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元． 篮球 排球
进价/（元/个） 80
50 售价/（元/个） 95
60
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？ 思维方法天地
10．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一个球得1分，得分的部分情况得分 0 1 2 … 8 9 10 人数 7 5 4 … 3 4 1
6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有_____________人．
11．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小时．
12．下边算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”3 ，那么被乘数是___________．
13．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（ ）．
A ．5千克
B ．6千克
C ．7千克
D ．8千克
×
神 州五号
飞天神
天飞号五州神
14．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的
4
5，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的1
4
，那么
三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是（ ）
A ．919
B ．1019
C ．1121
D ．1021
15．某商品原价为a 元，春节促销，降低20%，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（ ） A ．15% B ．20% C ．25% D ．30%
16．将下表的方格中的7个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的3个数宇之和都相 2012 2010-
．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）． 月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/（元/分） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费
150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元．
设一个月内使用移动电话主叫的时间为t 分（t 为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题： 150t ≤ 150350t << 350t = 350t ≥
方式一计费/元 58
108 方式二计费/元 88
88 88 t （3）当330360t <<时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
18．为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水a 吨，又从城区流入库池的污水按每小时b 吨的固定流量增加．如果同时开动2台机组需30小时处理完污水，同时开动4台机组需工10小时处理完污水．若要求在5小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？ 应用探究乐园
19．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完．问该农民一共卖了多少只鸡？
20．如图，长方形ABCD 、ABEF 、AGHF 的长与宽的比相同，长方形ABCD 与AGHF 的面积比是81
16
，
长方形BEHG 的周长是22，求长方形ECDF 的面积．
H
G
F E
D
C
B A
7．怎样设元
问题解决
例1 143 设C 、D 的边长为x ，则E 、F 、B 的边长分别为1x +，2x +，21x -，由题意得：()()()1221x x x x +++=+-，解得4x =．
例2 B 设男、女同学分别有x 、y 人，则()156y x y =+，3
2
x y =，则只由男同学完成每人应植树()33
661022
x y x y y y ⎛⎫+÷=+÷= ⎪⎝⎭．
例3 设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，由题意得
248641
53156
a a a ax +=+，解得19.2x =（元）．
例4 （1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买，则可获收益()120%110%50.7x x x -⋅+⋅⨯=，
收益率为0.7100%70%x
x
⨯=． 按方案二购买，则可获利益()()10%12110%30.60%0.852x x x ⋅+⋅⨯-⨯=-．
收益率为
0.62100%72.9%0.85x
x
⨯≈． ∴者选择方案二所获得的收益率更高．
（2）设甲了x 万元，由题意得0.70.625x x -=，解得62.5x =， ∴甲了62.5万元，乙了53.125万元． 数学冲浪
1．9，7，4，11设四个数的和为x 2．285713
3．2- 提示：设报3的人心里想的数是x ，报5的人心里想的数应是8x -．于是，报7的人心里想的数是()1284x x --=+，报9的人心里想的数是()16412x x =-+-，报1的人心里想的数是()20128x x --=+，报3的人心里想的数是()484x x -+=--，由4x x =--，得2x =-．
4．C 5．A 6．C 7．（1）设单价为8元的课外书为x 本，由()8121051500418x x =-+-，得44.5x =（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．
（2）设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则()8121051500418y y a +-=--，即1784a y +=，178a +应被4整除，2a =，4，6，8，经讨论2a =或6．
8．设蜡烛点燃了x 小时，蜡烛的长度为l 厘米，由445l l l x l x ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
，得154x =小时．
9．（1）12个，8个 （2）4个 10．43 设共有x 人，由()()4576241534138394101x x ---⨯+⨯+⨯=---⨯+⨯+⨯+⨯，得43x =． 11．24
12．307692 设“神舟五号”A =，“飞天”B =，则()100310000A B B A ⨯+=+，
23769A B =，()23,7691=，故23B n =，769A n =，n 为自然数，24n ≤≤，得4n =，从而3076A =，92B =．
13．B 设切下的每一块合金重x 克，10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为a 、()b a b ≠，则()()10151015
a x bx
b x ax
-+-+=
，整理得()()6b a x b a -=-．故6x =． 14．C 设初一年级学生人数为a ，男生人数为b ，可求得初三年级男生人数为1
3
a ，所求比为：
()4
141153521a b b a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-÷++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
15．C
16．1 17．（1）当150350t <<时，方式一：0.2520.5t +；当350t >时，方式一：0.2520.5t +；方式二：0.1921.5t +． （2）当350t >时，()()0.2520.50.1921.50.0610t t t =+-+->， ∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在150350t <<取得． ∴列方程0.2520.588t +=，解得270t =．
当主叫时间为270分钟，两种计费方式的费用相等． （3）方式二．
18．设1台机组每小时处理污水V 吨，要在5小时内处理污水，需开x 台机组，则302301041055a b V a b V a b xV +=⨯⎧⎪
+=⨯⎨⎪+=⎩
③①②
由①、②得30a V
b V =⎧⎨=⎩．代入③，得7x =．
19．设该农民一共卖了a 只鸡，则111224488a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得7a =．
20．设AG x =，AF mx =，则2AB m x =，3BC m x =，可得32m =，32BE x =，5
4
BG x =，由
3
51122
42x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4x =，长方形ECDF 的面积为67.5．
7．怎样设元
问题解决
例1 143 设C 、D 的边长为x ，则E 、F 、B 的边长分别为1x +，2x +，21x -，由题意得：()()()1221x x x x +++=+-，解得4x =．
例2 B 设男、女同学分别有x 、y 人，则()156y x y =+，3
2
x y =，则只由男同学完成每人应植树()33
661022
x y x y y y ⎛⎫+÷=+÷= ⎪⎝⎭．
例3 设总票数为a 张，六月份零售票应按每张x 元定价，由题意得
248641
53156
a a a ax +=+，解得19.2x =（元）．
例4 （1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买，则可获收益()120%110%50.7x x x -⋅+⋅⨯=，
收益率为0.7100%70%x
x
⨯=． 按方案二购买，则可获利益()()10%12110%30.60%0.852x x x ⋅+⋅⨯-⨯=-．
收益率为
0.62100%72.9%0.85x
x
⨯≈． ∴者选择方案二所获得的收益率更高．
（2）设甲了x 万元，由题意得0.70.625x x -=，解得62.5x =， ∴甲了62.5万元，乙了53.125万元． 数学冲浪
1．9，7，4，11设四个数的和为x 2．285713
3．2- 提示：设报3的人心里想的数是x ，报5的人心里想的数应是8x -．于是，报7的人心里想的数是()1284x x --=+，报9的人心里想的数是()16412x x =-+-，报1的人心里想的数是()20128x x --=+，报3的人心里想的数是()484x x -+=--，由4x x =--，得2x =-．
4．C 5．A 6．C 7．（1）设单价为8元的课外书为x 本，由()8121051500418x x =-+-，得44.5x =（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．
（2）设单价为8元的课外书为y 本，笔记本的单价为a 元，则()8121051500418y y a +-=--，即1784a y +=，178a +应被4整除，2a =，4，6，8，经讨论2a =或6．
8．设蜡烛点燃了x 小时，蜡烛的长度为l 厘米，由445l l l x l x ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
，得154x =小时．
9．（1）12个，8个 （2）4个 10．43 设共有x 人，由()()4576241534138394101x x ---⨯+⨯+⨯=---⨯+⨯+⨯+⨯，得43x =． 11．24
12．307692 设“神舟五号”A =，“飞天”B =，则()100310000A B B A ⨯+=+，
23769A B =，()23,7691=，故23B n =，769A n =，n 为自然数，24n ≤≤，得4n =，从而3076A =，92B =．
13．B 设切下的每一块合金重x 克，10千克、15千克的合金含铜的百分比分别为a 、()b a b ≠，则()()10151015
a x bx
b x ax
-+-+=
，整理得()()6b a x b a -=-．故6x =． 14．C 设初一年级学生人数为a ，男生人数为b ，可求得初三年级男生人数为1
3
a ，所求比为：
()4
141153521a b b a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-÷++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．
15．C
16．1 17．（1）当150350t <<时，方式一：0.2520.5t +；当350t >时，方式一：0.2520.5t +；方式二：0.1921.5t +． （2）当350t >时，()()0.2520.50.1921.50.0610t t t =+-+->， ∴当两种计费方式的费用相等时，t 的值在150350t <<取得． ∴列方程0.2520.588t +=，解得270t =．
当主叫时间为270分钟，两种计费方式的费用相等． （3）方式二．
18．设1台机组每小时处理污水V 吨，要在5小时内处理污水，需开x 台机组，则302301041055a b V a b V a b xV +=⨯⎧⎪
+=⨯⎨⎪+=⎩
③①②
由①、②得30a V
b V =⎧⎨=⎩．代入③，得7x =．
19．设该农民一共卖了a 只鸡，则111224488a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解得7a =．
20．设AG x =，AF mx =，则2AB m x =，3BC m x =，可得32m =，32BE x =，5
4
BG x =，由
3
51122
42x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得4x =，长方形ECDF 的面积为67.5．。