2019-2020学年浙江省宁波市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2019-2020学年浙江省宁波市数学高二第二学期期末质量检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
在频率等高条形图中，a a b +与c c d
+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论． 【详解】
在频率等高条形图中，
a a
b +与
c c d
+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系， 四个选项中，即等高的条形图中x 1，x 2所占比例相差越大，则分类变量x ，y 关系越强， 故选D ． 【点睛】
本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 2．球的体积是323
π
，则此球的表面积是（ ） A ．12π B ．16π C ．163
π
D ．
643
π
【答案】B 【解析】 【分析】
先计算出球的半径，再计算表面积得到答案. 【详解】
设球的半径为R ，则由已知得3
4323
3
R ππ=，解得2R =，故球的表面积2
416S R ππ==表. 故选：B 【点睛】
本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力.
3．已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u v 在CD uuu v
方向上的投影为（ ）
A ．
32
2
B ．
315
2
C ．32
2
-
D ．315
2
-
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
(2,1)AB =u u u r ，(5,5)CD =u u u r ，向量AB u u u v 在CD uuu v 方向上的投影为3252AB CD CD
⋅==u u u r u u u r
u u u r ，故选A ． 4．在空间给出下列四个命题：
①如果平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β； ②如果直线a 与平面β内的一条直线平行，则a ∥β； ③如果直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β；
④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则a ∥β．其中正确的个数是 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
本题考查空间线面关系的判定和性质．
解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理． 命题②不正确，缺少a α⊄条件．
命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件． 命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．
5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）
A ．
123
5
π B ．
124
3
π C ．
153
4
π D ．
161
5
π 【答案】D
由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为
99161cos 2339B +-==⨯⨯，则2145
sin 1()99
B =-=，底面三角形的外接圆的半径45252r ==⨯，
则三棱锥的外接球的半径2281161
42020
R d r =+=+
=
，其表面积1611614205S ππ=⨯=，应选答案D 。

6．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据选项中的等高条形图看出共享与不共享时对企业经济活跃度差异大小，从而得出结论． 【详解】
根据四个等高条形图可知：
图形A 中共享与不共享时对企业经济活跃度的差异最大 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果．
本题主要考查条形统计图的应用，考查学生理解分析能力和提取信息的能力，属于基础题.
7．空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r
，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，点N 是
OB 的中点，则MN =u u u u r
（ ）
A ．212323a b c +-r r r
B ．212323
a b c -+r r r
C ．112323a b c -+-r r r
D ．111323
a b c +-r r r
【答案】C 【解析】
分析：由空间向量加法法则得到MN MO ON MA AO ON =+=++u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，由此能求出结果．
详解：由题空间四边形OABC 中，OA a =u u u r
r
，OB b =u u u r
r
，OC c =u u u r
r
，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，
点N 是OB 的中点，则()
221,,332
MA CA OA OC ON OB ==
-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
MN MO ON MA AO ON =+=++u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
()2132a c a b =--+v v v v 112 .323
a b c =-+-r r r
故选C.
点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
8．已知集合{}{}21,2,4,8,|log ,A B y y x x A ===∈，则A B =I （ ）
A ．{}1
2， B ．{}0123，，， C ．{}123，， D ．{}03，
【答案】A 【解析】 【分析】
先求得集合B 的元素，由此求得两个集合的交集. 【详解】
依题意{}01
23B =，，，，故{}1,2A B =I ,故选A. 【点睛】
本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题.
9．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有( ) A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
【分析】
由分步计数原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，分2步进行分析： ①、先在4种蔬菜品种中选出3种，有3
44C =种取法， ②、将选出的3种蔬菜对应3块不同土质的土地，有3
36A =种情况， 则不同的种植方法有4624⨯=种； 故选：B ．
【点睛】
本题考查计数原理的运用，注意本题问题要先抽取，再排列．
10．若二次函数2f x ax bx c =++（）图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f x '（）的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】
分析：先根据二次函数的判断出a b ，的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．
详解：∵函数2
f x ax bx c （）=++的图象开口向上且顶点在第四象限，0002b
a b a
＞，＞，＜，∴-∴ 2f x ax b Q （），'=+
∴函数f x '（）的图象经过一，三，四象限，
∴选项A 符合， 故选：A ．
点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题． 11．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
由2
222
()110(40302030),7.8()()()()60506050
n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=≈++++⨯⨯⨯算得 附表：
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
由27.8 6.635K ≈>，而(
)
2
6.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A
12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
2FP QF =u u u v u u u v
，则||QF =（ ）
A ．8
B ．4
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =u u u v u u u v
，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF .
【详解】
设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-u u u v ，()1,QF x y =--u u u v
，()212x ∴-=-，
解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D. 【点睛】
本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知x y R +∈，，且41x y +=，则11
x y
+的最小值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】
直接将代数式4x+y 与11x y +相乘，利用基本不等式可求出11x y
+的最小值． 【详解】 由基本不等式可得
(
)11114=4559.x y x y x y x y y x
⎛⎫+++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当14=61
413x y x y x y x y ⎧⎧=⎪⎪⎪⇒⎨⎨
⎪⎪=+=⎩⎪⎩
，等号成立，因此11x y +的最小值为1， 故答案为：1． 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
14．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则1
()2
S a b c r =
++，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为1234,,,S S S S ，则四面体的体积V =________． 【答案】
()12341
3
R S S S S +++． 【解析】
试题分析：由题意得三角形的面积可拆分成分别由三条边为底，其内切圆半径为高的三个小三角形的面积
之和，从而可得公式1
()2
S a b c r =
++，由类比思想得，四面体的体积亦可拆分成由四个面为底，其内切圆的半径为高的四个三棱锥的体积之和，从而可得计算公式()12341
3
V R S S S S =+++．
考点：1．合情推理；2．简单组合体的体积（多面体内切球）．
【方法点晴】此题主要考查合情推理在立体几何中的运用方面的内容，属于中低档题，根据题目前半段的“分割法”求三角形面积的推理模式，即以三角形的三条边为底、其内切圆半径为高分割成三个三角形面积之和，类似地将四面体以四个面为底面、其内切球半径为高分割成四个三棱锥（四面体）体积之和，从而问题可得解决．
15．已知m ＞0, 函数2
,()
()24,()
x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨
-+>⎩.若存在实数n ，使得关于x 的方程f
2
(x)-(2n+1)f(x)+n 2+n=0有6个不同的根，则m 的取值范围是________．
【答案】313
(,)2
++∞. 【解析】
分析：作出()f x 的图象，依题意可得4m －m 2+1＜m ，解之即可. 详解：作出f(x)的图象如图所示．
当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m)2＋4m －m 2， f 2(x)-(2n+1)f(x)+n 2+n=0， [f(x)-n] [f(x)-(n+1)]=0。

f(x)=n 或f(x)=n+1
∴要使方程f 2
(x)-(2n+1)f(x)+n 2
+n=0有6个不同的根， 则4m －m 2
+1＜m ，即m 2
－3m －1＞0.又m ＞0，解得m ＞
.
故答案为：313⎫
++∞⎪⎪⎝⎭
.
点睛：本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析到4m －m 2+1＜m 是难点. 16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在
[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围________.
【答案】16ln 326
m e +≤≤ 【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性,可得02ln 6mx x ≤-≤ 对[]1,3x ∈ 恒成立,通过参变分离即得ln 2x
m x
≥ 且6ln 2x
m x
+≤
对[]1,3x ∈ 恒成立,求得相应的最大值和最小值,从而得到m 的取值范围. 【详解】
解:Q 定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=()f x ∴ 为偶函数
Q 对任意的不相等的实数1x ，[)20,x ∈+∞有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立
()f x ∴在[0,)+∞ 上单调递减,在(,0)-∞ 上单调递增
由()2ln 32f mx x --≥()3f -()2ln 3f mx x -++在[]1,3x ∈上恒成立 得()2ln 3(3)f mx x f --≥在[]1,3x ∈上恒成立
32ln 33mx x ∴-≤--≤在[]1,3x ∈上恒成立,即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立
此时ln 2x m x ≥
且6ln 2x
m x +≤对[]1,3x ∈ 恒成立 设ln ()x g x x =
,则令1ln '()0x
g x x
-==,解得x e = ()g x ,'()g x 随x 的变化如下表
∴ 当x e =时,max ()g x e = 2m e
∴≥
设6ln ()x h x x +=
,则当[]1,3x ∈时,25ln '()0x
h x x --=< ∴ ()h x 在[1,3] 上单调递减,即当3x = 时,min 6ln 3
()(3)3
h x h +==
则6ln 36m +≤.综上所述, 16ln 3
26m e +≤≤
故答案为: 16ln 326
m e +≤≤. 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性,考查了函数的单调性在解抽象不等式得应用,考查了运用导数求最值的方法. 若对任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有
()()
1212
0f x f x x x -<-成立,说明()f x 在区间D 上为减函数; 若对
任意的不相等的实数1x ,2x D ∈有
()()1212
0f x f x x x ->-成立,说明()f x 在区间D 上为增函数.在解抽象
不等式时,常常利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.对于含参不等式在某区间上恒成立时,常常采用参变分离的方法,通过求出分离参数后函数的最大值或者最小值,来确定参数的取值范围. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()()2
122
e x
f x x ax ax a =--
+∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当2x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）(
2
,e ⎤-∞⎦
【解析】 【分析】
（1）对()f x 求导并因式分解，对a 分成0,0,,a a e a e a e ≥<<=>四种情况，讨论函数的单调性.（2）先将函数解析式转化为()()12e 2x
f x x ax ⎛
⎫
⎪⎝--
⎭
=，当2x =时，()20f =，符合题意.当2x >时，由1e 02x
ax -≥分离常数a 得到2e x a x ≤，构造函数()()2e 2x
g x x x
=>，利用导数求得()g x 的值域，由
此求得a 的取值范围. 【详解】
解：（1）()()()()
1e 1e x
x
f x x ax a x a '=--+=--，
①当0a ≤时，e 0x a ->，令()0f x '>得1x >， 可得函数()f x 的增区间为()1,+∞，减区间为(),1-∞．
②当e a =时，由()()()
1e e x
f x x '=--，当1x >时，()0f x '>；
当1x <时，()0f x '>，故()0f x '≥，
此时函数()f x 在R 上单调递增，增区间为(),-∞+∞，没有减区间． ③当e a >时，令()0f x '>得ln x a >或1x <，
此时函数()f x 的增区间为()ln ,a +∞，(),1-∞，减区间为()1,ln a ． ④当0e a <<时，令()0f x '>得：1x >或ln x a <，
此时函数()f x 的增区间为(),ln a -∞，()1,+∞，减区间为()ln ,1a ．
（2）由()()()()11222e 2e 2x x f x x ax x x ax =---=--⎛⎫ ⎪⎝
⎭ ①当2x =时，()20f =，符合题意；
②当2x >时，若()0f x ≥，有1e 02x
ax -≥，得2e x a x ≤ 令()()2e 2x
g x x x =>，有()()221e 0x x
x g x -'=>， 故函数()g x 为增函数，()2
22e 2
e g x =>，故2e a ≤， 由上知实数a 的取值范围为(
2,e ⎤-∞⎦． 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.
18．《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B+、B 、C+、C 、D+、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71.80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，某校高一年级共2000人，为给高一学生合
理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩ξ 基本服从正态分布()70169N ，
． （1）求化学原始成绩在区间（57，96）的人数；
（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[71，90]的人数，求事件2X ≥的概率
(附：若随机变量()()2,,0.682N P ξμσμσξμσ-<<+=:，
()220.954P μσξμσ-<<+=,()330.997P μσξμσ-<<+=）
【答案】（1）1636人（2）
532
【解析】
【分析】
（1）()()()579657707096P P P ξξξ<<=<<+≤<，结合正态分布的性质，可求出概率，然后由总人数为2000，可求出化学原始成绩在()57,96的人数；（2）结合独立重复试验概率公式可求出概率.
【详解】
解：（1）因为化学原始成绩()
270,13N ξ~，
所以()()()579657707096P P P ξξξ<<=<<+≤< ()()1170137013702137021322
P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯0.6820.95422=+0.818=． 所以化学原始成绩在()57,96的人数为20000.8181636⨯=（人）．
（2）因为以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，
且等级成绩在区间[]71,80、[]81,90的人数所占比例分别为18%、7%，
则随机抽取1人，其等级成绩在区间[]71,90内的概率为14
． 所以从全省考生中随机抽取3人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3， 且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 所以()()()23
2333131522+3C +C 44432P X P X P X ⎛⎫⎛⎫≥====
⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】 本题考查了正态分布曲线的特点，考查了独立重复试验概率公式，考查了计算能力，属于中档题. 19．已知3sin 25α=，53,42αππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求cos2α及cos α的值.
【答案】4cos 25α=-，cos α=. 【解析】
【分析】 计算出2α的取值范围，判断出cos2α的符号，利用同角三角函数的平方关系计算出cos2α的值，然后利用半角公式计算出cos α的值.
【详解】
53
42
παπ<<Q ，所以5232παπ<<，cos20α∴<，且4cos 25α==-， 5342
παπ<<Q ，cos 0α∴<，
由2cos 22cos 1αα=-，得cos 10
α==-. 【点睛】
本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，以及利用半角公式求值，在计算时，首先要考查角的象限，确定所求函数值的符号，再利用相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.
20．在ABC △中，己知123tan ,cos(),55C A B A B =
-=> （1）求sin()A B +的值；
（2）求cos2A 的值.
【答案】 (1)
1213;(2) 6365
- 【解析】
【分析】 （1）通过12tan 5
C =
，可计算出C 角正弦及余弦值，于是通过诱导公式可得答案； （2）通过3cos()5A B -=，可得4sin()5A B -=，再利用()()cos 2cos A A B A B ⎡⎤=++-⎣⎦可得答案. 【详解】
(1) 在ABC △中, 由于12tan 5C =，故22sin 12cos 5sin cos 1C C C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得12sin 135cos 13C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以()12sin()sin sin 13
A B C C π+=-==； （2）由（1）可知()5cos()cos cos 13A B C C π+=-=-=-，而3cos(),5A B A B -=>，所以4sin()5
A B -=，所以 ()()()()()()63cos 2cos cos cos sin sin 65A A B A B A B A B A B A B ⎡⎤=++-=+⋅--+⋅-=-
⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的关系，诱导公式的运用，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力，难度不大.
21． “蛟龙号”从海底中带回某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
(2)若甲乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率．
【答案】（1）
727；（2）736
【解析】
【分析】
（1）“三次试验中至少两次试验成功”是指三次试验中，有2次试验成功或3次试验全部成功，先计算出2次与3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次两种情况求其概率相加即
可
【详解】
(1)设“甲小组做了三次实验，至少两次试验成功”为事件A ，则其概率为
()23
23331117133327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝. (2)设“甲乙两小组试验成功3次”为事件B ，则 ()202112
2
112222212112113323326P B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝， 设“甲乙两小组试验成功4次”为事件C ，则()2022222121133236P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝， 故两个小组试验成功至少3次的概率为()()11763636
P B P C +=
+=. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验某事件恰好发生k 次的概率、相互独立事件的概率乘法公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，∠BCD ＝110°，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝4，AB ＝1．
（I ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）过AC 的平面交PD 于点M 若平面AMC 把四面体P ﹣ACD 分成体积相等的两部分，求二面角A ﹣MC ﹣P 的余弦值．
【答案】519【解析】
【分析】
（Ⅰ）先利用线面垂直的判定定理，证得BD ⊥面PAC ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得平面PBD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）根据面积关系，得到M 为PD 的中点，建立空间直角坐标系，求得平面AMC 和平面PMC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）在四棱锥P ﹣ABCD 中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，
∵PA ⊥底面ABCD ，∴DB ⊥PA ，又AP ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面PAC ．
又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）∵过AC 的平面交PD 于点M 若平面AMC 把四面体P ﹣ACD 分成体积相等的两部分，
∴M 为PD 的中点，则AO ＝OD 3=，AC ＝1， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A （﹣1，0，0）
，C （1，0，0），P （﹣1，0，4），D （0，3，0），M （12-，3，1）． 设面AMC 的法向量为()m x y z =r ，，，1(2AM =u u u u r ，32
，1），()200AC =u u u r ，，， 由1320220m AM x y z m AC x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u u v r u u u v r ，取4y =，可得一个法向量()
043m =-r ，， 设面PMC 的法向量为()n a b c =r ，，，1322PM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u r ，，，()204PC =-u u u r ，
，． 13202240n PM a b c n PC a c ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩
u u u u v r u u u v r ，令2a =，可一个法向量213n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，，， 则519c ,os m n m n m n
⋅==⋅u r r u r r u r r ， 即二面角A ﹣MC ﹣P 的余弦值为519．
【点睛】
本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求
解.。