染色问题练习题

染色问题练习题
1.（2012•常州模拟）用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形
中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 2
3 ．
解：根据题意，每个矩形有3种涂色方法，则3个矩形有33327⨯⨯=种涂色方法； 要使3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同，分2步进行， ①、在3个矩形中任取2个，有233C =种取法，
②、为选出的2个矩形选1种颜色，有3种情况，剩余的1个再选1种，有2种情况， 则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同有33218⨯⨯=种情况，
则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率为182
273
=；
故答案为2
3
．
2.（2017春•莲湖区校级月考）用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法有( )种．
A ．240
B ．120
C ．60
D ．180 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 第一步先给（3）涂色共有5种结果， 第二步再给（1）（2）涂色共有43⨯种结果， 第三步给（4）涂色有4种结果，
∴由分步计数原理知共有5434240⨯⨯⨯= 故选：A ．
3.（2008•温州模拟）用4种不同的颜色对圆上依次排列的A ，B ，C ，D 四点染色，每个点染一种颜色，且相邻两点染不同的颜色，则染色方案的总数为( ) A ．72 B ．81 C ．84 D ．108 解：根据题意，按选取颜色的数目分3种情况讨论；
①、4种颜色都选取，无论如何排列，相邻两点颜色不同；此时染色方案有4
4
24A =种； ②、选取3种颜色，有3
4C 种方法；选取后，有32212⨯⨯=种染色方法；此时染色方案有41248⨯=种； ③、选取2种颜色，有24C 种方法；选取后，各有有2种染色方法；此时染色方案有2
4
212C ⨯=种； 共24481284++=种； 故选：C ．
4.若给一个正方体的八个顶点染色，要求相邻的两个顶点（即同一条棱的两个端点）颜色不能相同，则至少需要 2 种颜色；现有5种不同的颜色，要给正方体的六个面涂色，要求相邻的两个面不能用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法． 解：（1）如图，顶点A 的先选一种，则B ，D ，1A ，可以相同选另一种颜色，若C ，
1D ，1B 与A 的颜色相同，1C 和B 的颜色相同，故至少需要2种颜色．
（2）解：由于涂色过程中，要保证满足用五种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，
三对同色：3
5
10C =种不同的涂法； 两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有2510C =种不同的涂法．故共有101020+=种不同的涂法 故答案为：2，20．
5.（2011•潜江校级模拟）将正三棱柱ABC A B C -'''的六个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，现在有四种不同的颜色供选择，则不同的染法总数为 264 ．
解：根据题意，三棱柱的下底面的颜色互不相同，有3
4
24A =种情况， 对上底面分情况讨论可得：
①、A 点用第四种颜色，按B 的颜色不同又分2种情况； 1︒当B 与C '处颜色一致时，C 处有2种方法， 2︒当B 与A '处颜色一致时，C 处有1种方法； 共3种方法；
②、A 点的颜色与B '处一致时；按B 的颜色不同又分3种情况； 1︒当B 处用第四种颜色时，C 处有1种情况， 2︒当B 与A '处颜色一致时，C 处有2种方法， 3︒当B 与C '处颜色一致时，C 处有1种方法， 共1214++=种方法；
③、A 点的颜色与C '处一致时，与②的情况相同，有4种方法； 上底面共11种不同的方法；
综合可得：不同的染法总数为2411264⨯=种； 故答案为：264．
6.（2013春•海州区校级期末）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 420 ．（用数字作答） 解：四棱锥为P ABCD -．下面分两种情况即C 与B 同色与C 与B 不同色来讨论，
（1）各个点的不同的染色方法15:P C ，14:A C ，13:B C ，C 与A 同色：13:D C ，故共有1111
5433C C C C g g g 种．
（2）各个点的不同的染色方法15:P C ，14:A C ，13:B C ，C 与A 不同色12C ，12:D C ，故共有11111
54322C C C C C g g g g
种
由分步计数原理可得不同的染色方法总数有：1111111115
43354322420C C C C C C C C C +=g g g g g g g ． 故答案为：420．
7.（2018春•三明期末）在如图所示的十一面体ABCDEFGHI 中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为 6 ．
解：根据题意，分3步分析：
①，对于A 、B 、C 三点，A 、B 、C 三点两两相邻，颜色互补相同，则A 、B 、C 三点的涂法有3
3
6A =种，
②，对于E 、D 、F 三点，E 与A 、B 相邻，则E 只有1种涂色方法，同理D 、F 都只有一种颜色，则
E 、D 、
F 三点只有1种涂色方法，
③，对于G 、H 、I 三点，G 与D 、E 相邻，则G 只有1种涂色方法，同理H 、I 都只有一种颜色，则G 、
H 、I 三点只有1种涂色方法，
则有6116⨯⨯=种不同的染色方案种数； 故答案为：6
8. （2008春•南通期末）用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 1020 种．
解：将其转化为具有五个扇形格的
圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题．设有k 个扇形格的圆盘染五色的方法数 为k x ，则有1154k k k x x --+=g ，
于是43255443322()()()5(4444)1020x x x x x x x x =+-+++-=-+-=，故答案为1020
9.用五种不同的颜色，把ABC ∆的3个顶点染上其中的一种颜色．
（1）如果要求三条边的两端点都有不同的颜色，则有多少种不同的染色方法？ （2）如果只要求A 、B 异色，则有多少种不同的染色法？ 解：（1）Q 三条边的两端点都有不同的颜色，∴顶点A ，B ，C 上的颜色都不相同， ∴有五种不同的颜色，∴点A 处有5种染色方法，
点B 在点A 用过剩余的4种颜色中，选用一种染色，有4种染色方法， 点C 在剩余的三种颜色中，任选一种，有3种染色方法， 所以一共有54360⨯⨯=种不同的染色方法；
（2）A Q 、B 异色，∴点A 在5中颜色种选用一种，
则点B 在剩余的4种颜色中，选用一种染色，有四种方法，
点C 五种颜色中，任选一种，有5种染法，所以，一共有545100⨯⨯=种不同的染色方法．
10.（2017春•徐州期末）给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使得同一条棱的两端异色如果有4种颜色可供使用，则共有x 种不同的染色方法；如果有5种颜色可供使用，则共有y 种不同的染色方法，那么y x -的值为 348 ．
解：设四棱锥为P ABCD -．如果有5种颜色可供使用， 下面分两种情况即B 与D 同色与B 与D 不同色来讨论，
（1）15:P C ，14:A C ，13:B C ，B 与D 同色：:1D ，1
3:C C ．
（2）15:P C ，14:A C ，13:B C ，B 与D 不同色：12:D C ，12:C C ．
共有111111111
5
433543221420C C C C C C C C C +=g g g g g g g g ．则420y =种， 如果有4种颜色可供使用，下面分两种情况即C 与A 同色与C 与A 不同色来讨论，
（1）P 的着色方法种数为14C ，A 的着色方法种数为13C ，B 的着色方法种数为1
2C ， C 与A 同色时C 的着色方法种数为1，D 的着色方法种数为1
2
C ．
（2）P 的着色方法种数为14C ，A 的着色方法种数为13C ，B 的着色方法种数为1
2C ，
C 与A 不同色时C 的着色方法种数为11C ，
D 的着色方法种数为11C ．
共有1143C C g ．111
24322482472C C C +=+=g
g g 种结果． 则72x =种，故42072348y x -=-=，故答案为：348
10.（2016春•万州区校级期中）如图，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 1920 种．
解：分两步来进行，先涂A 、B 、C ，再涂D 、E 、F ．
①若5种颜色都用上，先涂A 、B 、C ，方法有35A 种；再涂D 、E 、F 中的两个点，方法有23A 种，
最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有3
25
32720A A =g g 种． ②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有45C 种；
先涂A 、B 、C ，方法有3
4A 种；再涂D 、E 、F 中的1个点，方法有3种， 最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有43
54
331080C A =g g g 种． ③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有35C 种； 先涂A 、B 、C ，方法有33A 种；再涂D 、E 、F ，方法有2种，
故此时方法共有33
5
32120C A =g g 种． 综上可得，不同涂色方案共有72010801201920++=种， 故答案为：1920．
11.（2015秋•德州校级月考）如图所示，积木拼盘由A 、B 、C 、D 、E 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如:A 与B 为相邻区域，A 与D 为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是( )
A ．780
B ．840
C ．900
D ．960
解：先涂A ，则A 有5种涂法，再涂B ，因为B 与A 相邻，所以B 的颜色只要与A 不同即可，有4种涂法，
同理C 有3种涂法，D 有4种涂法，E 有4种涂法，
由分步乘法计数原理可知，可组成的不同的积木拼盘的种数为54344960⨯⨯⨯⨯=， 故选：D ．
12.（2011•邢台一模）如图，某学校要用鲜花布置花圃中ABCDE 五个不同区域，要求同一区域上用一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花，现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．
()I 求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
()II 当A 、D 区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数．
解：()I 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图： 当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种； 当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种； 因此，所有基本事件总数为：180240420+=种 又因为A 、D 为红色时，共有43336⨯⨯=种； B 、E 为红色时，共有43336⨯⨯=种；
因此，事件M 包含的基本事件有：363672+=种
所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率726
()42035
P M ==
． ()II 当A 、D 区域同时用红色鲜花时，其它区域不能用红色， 布置花圃的不同方法的种数3336⨯⨯=种．
（2015春•晋江市校级期中）已知四棱锥P ABCD -的底面是一个边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面
ABCD ，且PD AD =，E 是线段PC 的中点 （Ⅰ）求证：//PA 面BDE ；
（Ⅱ）求二面角A BD E --所成的平面角的余弦值大小；
（Ⅲ）若将四棱锥P ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总是多少．
【解答】()I 证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，易知O 为AC 的中点， OE ∴为APC ∆的中位线 //AP OE ∴，
又OE ⊂平面BDE ，AP ⊂/平面BDE ， //AP ∴平面BDE ．
()II 解：以DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则(2A ，0，0)，(2B ，2，0)，(0D ，0，0)，(0E ，1，1)，(0P ，0，2)， (0DE =u u u r ，1，1)，(2DB =u u u r
，2，0)，
设平面BDE 的一个法向量(n x =r ，y ，)z ，00n DE n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩
u u u r r g u u u r
r g ，0
220y z x y +=⎧⎨+=⎩， (1n =r
，1-，1)，又(0DP =u u u r ，0，2)． 设二面角A BD E --的平面角为θ．
则||3
cos |cos ,|||||23
DP n DP n DP n θ=-<>=-==u u u r r
u u u r g r u u u r r ．
∴二面角A BD E --所成的平面角的余弦值为3-
． ()III 解：若A 与C 同色则有54313180⨯⨯⨯⨯=， 若A 与C 不同色则有54322240⨯⨯⨯⨯=． ∴共有180240420+=（种)．。