2018版高考数学理第一轮总复习教师用书：第五章 平面向量 含答案 精品

第五章⎪
⎪⎪
平面向量 第一节
平面向量的概念及线性运算
突破点(一) 平面向量的有关概念
[典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念； 2.平面向量的线性运算.
[解析](1)因为向量a
|a|的方向与向量a相同，向量b
|b|的方向与向量b相同，且a
|a|＝
b
|b|，
所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a
|a|＝2b
|2b|＝b
|b|，故a
＝2b是a
|a|＝b
|b|成立的充分条件．
(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
[答案](1)C(2)D
[易错提醒]
(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；
(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；
(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是()
A．②③B．①②C．③④D．①④
解析：选A①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

，∴|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

|且错误！未找到引用源。

∥错误！未找到引用源。

.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则错误！未找到引用源。

∥错误！未找到引用源。

且|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

|，因此，错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a ＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.
2．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C.
3．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与错误！未找到引用源。

相等的向量有________．
答案：错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

4．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的1
3处相交的两个全等的等边三角形，设△
ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a
3
的若干个向量，则
(1)与向量错误！未找到引用源。

相等的向量有________；
(2)与向量错误！未找到引用源。

共线，且模相等的向量有________； (3)与向量错误！未找到引用源。

共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．
答案：(1) 错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

(2)错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

(3)错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找
到引用源。

，错误！未找到引用源。

突破点(二) 平面向量的线性运算
1．向量的线性运算
2.平面向量共线定理
向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .
[例1] (1)在△ABC 中，错误！未找到引用源。

＝c ，错误！未找到引用源。

＝b .若点D 满足错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

＝( )
A.13b ＋2
3c B.53c －2
3b C.23b －13
c D.23b ＋13
c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且错误！未找到引用源。

＝1
2错误！未找到引用源。

，
P 是BN 上一点，若错误！未找到引用源。

＝m 错误！未找到引用源。

＋2
9
错误！未找到引用
源。

，则实数m 的值是________．
[解析] (1)由题可知错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用
源。

＝b －c ，∵错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

＝23错误！未找到引用源。

＝2
3
(b －c )，则错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝c ＋2
3(b －c )＝23b ＋13
c ，故选D.
(2)如图，因为错误！未找到引用源。

＝1
2错误！未找到引用源。

，所
以错误！未找到引用源。

＝1
3
错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到
引用源。

＝m 错误！未找到引用源。

＋29错误！未找到引用源。

＝m 错误！未找到引用源。

＋23
错误！未找到引用源。

.因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13
.
[答案] (1)D (2)1
3
[方法技巧]
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较，观察可知所求．
平面向量共线定理的应用
[例2] 设两个非零向量a 和b 不共线．
(1)若错误！未找到引用源。

＝a ＋b ，错误！未找到引用源。

＝2a ＋8b ，错误！未找到引用
源。

＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线．
(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．
[解] (1)证明：因为错误！未找到引用源。

＝a ＋b ，错误！未找到引用源。

＝2a ＋8b ，错
误！未找到引用源。

＝3(a －b )，
所以错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用
源。

共线．
又错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为ka ＋b 与a ＋kb 共线， 所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1. 即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线． [方法技巧]
平面向量共线定理的三个应用
(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使错误！未找到引用源。

＝λ错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．
(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]如图所示，下列结论正确的是( )
①错误！未找到引用源。

＝32a ＋3
2b ；②错误！未找到引用源。

＝
32a －b ；③错误！未找到引用源。

＝32a －1
2b ；④错误！未找到引用源。

＝3
2
a ＋
b . A ．①② B ．③④ C ．①③
D ．②④
解析：选C 根据向量的加法法则，得错误！未找到引用源。

＝32a ＋3
2b ，故①正确；根
据向量的减法法则，得错误！未找到引用源。

＝32a －3
2b ，故②错误；错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝32a ＋32b －2b ＝32a －1
2
b ，故③正确；错误！
未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝3
2a ＋32b －b ＝32a ＋12
b ，故
④错误．故选C.
2.[考点二]已知a ，b 是不共线的向量，错误！未找到引用源。

＝λa ＋b ，错误！未找到引
用源。

＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴错误！未找到引用源。

∥错误！未找到引用源。

，
设错误！未找到引用源。

＝m 错误！未找到引用源。

(m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝m ，
1＝mμ，
∴λμ＝1，故选D.
3.[考点一]在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中
点，DE 交AF 于H ，记错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

分别为a ，b ，则错误！未找到引用源。

＝( )
A.25a －4
5b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45
b
D ．－25a －45
b
解析：选B 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且错误！
未找到引用源。

＝12错误！未找到引用源。

＝14
错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

＝1
4
错误！未找到引用源。

，则△AHD ∽△FHG ，
从而错误！未找到引用源。

＝14错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

＝4
5
错误！未
找到引用源。

，错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝b
＋12a ，∴错误！未找到引用源。

＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋4
5
b ，故选B. 4.[考点二]已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，tb ，1
3(a ＋b )
三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.
解析：∵a ，tb ，1
3(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －tb
与a －13(a ＋b )共线，即a －tb 与23a －1
3
b 共线，∴存在实数λ，使a －tb ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ，∴⎩⎨⎧
1＝2
3λ，t ＝13λ，
解得λ＝32，t ＝12，若a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t ＝1
2
.
答案：1
2
[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，错误！未找到引用源。

＝3错
误！未找到引用源。

，则( )
A ．错误！未找到引用源。

＝－13错误！未找到引用源。

＋4
3错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

＝13错误！未找到引用源。

－4
3错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

＝43错误！未找到引用源。

＋1
3错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

＝43错误！未找到引用源。

－1
3错误！未找到引用源。

解析：选A 错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝
错误！未找到引用源。

＋1
3错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋13
(错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

)＝43错误！未找到引用源。

－13错误！未找到引用源。

＝－13
错误！未找到引用源。

＋43
错误！未找到引用源。

，故选A.
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则
错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝( )
A ．错误！未找到引用源。

B.12错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D.
12
错误！未找到引用源。

解析：选A 错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝1
2(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)＋1
2
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)＝
1
2
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)＝错误！未找到引用源。

，故选A. 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.
解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，
即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝t ，1＝2t ，解得
⎩⎨⎧
λ＝12
，t ＝12.
答案：1
2
[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设错误！未找到引用源。

＝a ，
错误！未找到引用源。

＝b ，则错误！未找到引用源。

＝( )
A.1
2a －b B.1
2a ＋b C ．a －1
2
b
D ．a ＋1
2
b
解析：选A 错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝－错误！未找到引用源。

＋12错误！未找到引用源。

＝－b ＋1
2
a ，故选A.
2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2错误！未找到引用源。

＋错误！未
找到引用源。

＝0，则向量错误！未找到引用源。

等于( )
A.23 错误！未找到引用源。

－13错误！未找到引用源。

B ．－1
3错误！未找到引用源。

＋2
3
错误！未找到引用源。

C ．2错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

D ．－错误！未找到引用源。

＋2错误！未找到引用源。

解析：选C 因为错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

，所以2错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝2(错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

)＋(错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

)＝错误！未找到引用源。

－2错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝0，所以错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

.
3．在四边形ABCD 中，错误！未找到引用源。

＝a ＋2b ，错误！未找到引用源。

＝－4a －b ，错误！未找到引用源。

＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．以上都不对
解析：选C 由已知得，错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到
引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

∥错误！未找到引用源。

.又因为错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

不平行，所以四边形ABCD 是梯形．
4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．0
解析：选D 依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a
－c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.
5．已知△ABC 和点M 满足错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＋错误！未
找到引用源。

＝0.若存在实数m 使得错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝m 错误！未找到引用源。

成立，则m ＝________.
解析：由错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则错误！未找到引用源。

＝2
3
错误！未找
到引用源。

＝23×12(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)＝13
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)，所以错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝3错误！未
找到引用源。

，故m ＝3.
答案：3
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且错误！未找到引用源。

＋3
2错误！未找到引用源。

＋3
2错误！未找到引用源。

＝0，D 是AC 的中点，则|错误！未找到引用源。

||错误！未找到引用源。

|
的值为( ) A.13 B.1
2
C ．1
D ．2
解析：选A ∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝
MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴错误！未找到引用源。

＝1
2
错误！
未找到引用源。

＝12
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)，∴
错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

.∵错误！未找到引用源。

＋32错误！未找到引用源。

＋32
错误！未找到引用源。

＝0，∴错误！未找到引用源。

＝
－3
2
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)＝－3错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

＝3错误！未找到引用源。

，∴
|错误！未找到引用源。

||错误！未找到引用源。

|＝
|错误！未找到引用源。

|
|3错误！未找到引用源。

|
＝1
3
，故选A. 2．在△ABC 中，错误！未找到引用源。

＝3错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引
用源。

＝λ1错误！未找到引用源。

＋λ2错误！未找到引用源。

，则λ1λ2的值为( )
A.116
B.316
C.12
D.109
解析：选B 由题意得，错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到
引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋34错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋34
(错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

)＝14错误！未找到引用源。

＋34
错误！未找到引用源。

，
∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316
.
3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

，错误！未找
到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
解析：选A 由题意得错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引
用源。

＝错误！未找到引用源。

＋1
3
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋13
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋1
3
错误！未找到引用源。

，因此错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋13
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

)＝错误！未找到引用源。

＋23错误！未找到引用源。

＝－13
错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

反向平行．
4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝0，则△ABC 的内角A 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
解析：选A 由错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝0，得错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引
用源。

，由O 为△ABC 外接圆的圆心，可得|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

|.设OC 与AB 交于点D ，
如图，由错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

可知D 为AB 的中点，所以错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

，D 为OC 的中点．又由|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

|可知OD ⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形，所以△OAC 为等边三角形，即∠CAO ＝60°，故A ＝30°.
5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且错误！未找到引用源。

＝x 错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

＝y 错误！未
找到引用源。

，则
xy
x ＋y
的值为( ) A ．3 B.13 C ．2 D.1
2
解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，所以错误！未找到引用源。

＝λ错误！未找
到引用源。

＋(1－λ)错误！未找到引用源。

＝λx 错误！未找到引用源。

＋(1－λ)y 错误！未找到引用源。

.∵点G 是△ABC 的重心，∴错误！未找到引用源。

＝23×1
2
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)＝1
3
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)，∴
⎩⎨⎧
λx ＝13
，
(1－λ)y ＝13
，即⎩⎨⎧
λ＝13x
，1－λ＝1
3y
，得
13x ＋13y ＝1，即1x ＋1
y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13
. 6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5错误！未找到引用源。

＝错误！未找
到引用源。

＋3错误！未找到引用源。

，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( )
A.15
B.25
C.35
D.4
5
解析：选C 设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5错
误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋3错误！未找到引用源。

，
得5错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引用源。

＋3错误！未找到
引用源。

①，即错误！未找到引用源。

＝2
5错误！未找到引用源。

＋35
错
误！未找到引用源。

，即25＋35
＝1，故C ，M ，D 三点共线，又错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

②，①②联立，得5错误！未找到引用源。

＝3错误！未找到引用源。

，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35
，所以△ABM 与△ABC
的面积的比值为3
5
.
二、填空题
7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且错误！未找到引用源。

＝a ，错误！未找到引用源。

＝b ，给出下列命题：①错误！未找到引用源。

＝1
2
a －
b ；②错误！
未找到引用源。

＝a ＋12b ；③错误！未找到引用源。

＝－12a ＋12
b ；④错误！未找到引用源。

＋
错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：由错误！未找到引用源。

＝a ，错误！未找到引用源。

＝b 可得错误！未找到引用源。

＝12错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝－1
2
a －
b ，错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋1
2错误！未找到引用源。

＝a ＋12b ，错误！未找到引用源。

＝12
(错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12
b ，错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝－12a －b ＋a ＋12b －12a ＋12
b ＝0，所以①错，②③④
正确．所以正确命题的个数为3.
答案：3
8．若|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

－错误！
未找到引用源。

|＝2，则|错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

|＝________.
解析：∵|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

－错
误！未找到引用源。

|＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

|＝2×2sin π3
＝2 3.
答案：2 3
9．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|错误！未找到引用源。

－错误！未找到
引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

－2错误！未找到引用源。

|，则△
ABC 的形状为________．
解析：因为错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

－2错误！未找到引用源。

＝
错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

，所以
|错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

|＝|错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用
源。

|，即错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

＝0，故错误！未找到引用源。

⊥错误！未找到引用源。

，△ABC 为直角三角形．
答案：直角三角形
10．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋μ错误！未找到引用源。

，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以错误！未找到引用源。

＝2错误！未找到引
用源。

.∵点E 在线段CD 上，∴错误！未找到引用源。

＝λ错误！未找到引用源。

(0≤λ≤1)．∵错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋μ错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋2μ错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋
2μλ错误！未找到引用源。

，∴2μλ＝1，即μ＝λ
2
.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤1
2
，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，1
2 三、解答题
11.如图，以向量错误！未找到引用源。

＝a ，错误！未找到引用源。

＝b 为邻边作▱OADB ，错误！未找到引用源。

＝1
3
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

＝13
错误！未找到引用源。

，用a ，b 表示错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
解：∵错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

＝a －b ，
错误！未找到引用源。

＝16错误！未找到引用源。

＝16a －16
b ，
∴错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝b ＋⎝⎛⎭⎫16a －16b ＝16a ＋5
6
b . 又∵错误！未找到引用源。

＝a ＋b ，
∴错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋13错误！未找到引用源。

＝1
2
错误！未
找到引用源。

＋1
6
错误！未找到引用源。

＝23错误！未找到引用源。

＝23a ＋23
b ， ∴错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

＝23a ＋23b －16a
－56b ＝12a －1
6
b . 综上，错误！未找到引用源。

＝16a ＋56b ，错误！未找到引用源。

＝23a ＋2
3
b ，错误！未找到
引用源。

＝1
2a －16
b .
12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，错
误！未找到引用源。

＝23
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

＝a ，错误！未找到引用源。

＝b .
(1)用a ，b 表示向量错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用
源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

；
(2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解：(1)延长AD 到G ，
使错误！未找到引用源。

＝1
2错误！未找到引用源。

，
连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图，
所以错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！
未找
到引用源。

＝a ＋b ，
错误！未找到引用源。

＝12错误！未找到引用源。

＝12(a ＋b )， 错误！未找到引用源。

＝23错误！未找到引用源。

＝13(a ＋b )， 错误！未找到引用源。

＝12
错误！未找到引用源。

＝12
b ，
错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

＝13(a ＋b )－a ＝
13
(b －2a )，
错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

＝12b －a ＝12
(b －
2a )．
(2)证明：由(1)可知错误！未找到引用源。

＝2
3错误！未找到引用源。

，
又因为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线． 第二节
平面向量基本定理及坐标表示
突破点(一) 平面向量基本定理
本节主要包括2个知识点： 1.平面向量基本定理； 2.平面向量的坐标表示.
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
基底的概念
[例1] 如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A ．e 1与e 1＋e 2
B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2
C ．e 1＋e 2与e 1－e 2
D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1
[解析] 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧
1＝λ，
1＝0无解；
选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧
1＝λ，
－2＝2λ无解；
选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
1＝λ，
1＝－λ无解；
选项D 中，e 1＋3e 2＝1
2(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量
的一组基底．
[答案] D
[易错提醒]
某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．
平面向量基本定理的应用
[例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC 中，设错误！未找
到引用源。

＝a ，错误！未找到引用源。

＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点
恰为P ，则错误！未找到引用源。

＝( )
A.12a ＋1
2b B.13a ＋2
3b C.27a ＋47
b D.47a ＋27
b [解析] 如图，连接BP ，则错误！未找到引用源。

＝错误！未找到
引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝b ＋错误！未找到引用源。

，①
错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

＝a ＋错误！未找到引用源。

－错误！未找到引用源。

，②
①＋②，得2错误！未找到引用源。

＝a ＋b －错误！未找到引用源。

，③
又错误！未找到引用源。

＝12错误！未找到引用源。

＝1
2
(错误！未找到引用源。

－错误！未
找到引用源。

)＝1
2⎝
⎛⎭
⎫a －1
2 错误！未找到引用源。

，④
将④代入③，得2错误！未找到引用源。

＝a ＋b －1
2⎝⎛⎭⎫a －12 错误！未找到引用源。

， 解得错误！未找到引用源。

＝27a ＋4
7b .
[答案] C [方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点二](2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝
1
3AB ，BQ ＝1
3
BC ，若错误！未找到引用源。

＝a ，错误！未找到引用源。

＝b ，则错误！未找到
引用源。

＝( )
A.13a ＋13b B ．－13a ＋1
3b
C.13a －13
b D ．－13a －1
3
b
解析：选A 由题意知错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引。