2007年4月高考数学模拟考试卷
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2007年4月高考数学模拟考试卷
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.已知集合2
{,0},{30,}M a N x x x x Z ==-<∈,若M N φ⋂≠,则a 等于 ( )
A . 1 B. 2 C. 1或2 D 8
2.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析
式为2x y =,值域为{}4,1的“同族函数”共有
( )
A .7个
B .8个
C .9个
D .10个
3.数列{}n a 中,32a =,71a =,且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
是等差数列,则11a 等于 ( )
A .25-
B .12
C .2
3
D .5 4.若函数c bx x x f ++=2
)(的图象的顶点在第四象限,则函数)(/
x f 的图象是( )
A B C D
5、设1(1,)2
OM =,(0,1)ON =,则满足条件01OP OM ≤⋅≤,01OP ON ≤⋅≤的动点P 的变化范围(图
中阴影部分含边界)是
A B C D
6.过点)0,4(-作直线l 与圆020422
2=--++y x y x 交于A 、B 两点,如果8||=AB ,则
( )
A .l 的方程为04020125=+=++x y x 或;
B .l 的方程为04020125=+=+-x y x 或;
C .l 的方程为020125=++y x
;
D .l 的方程为020125=+-y x ;
7. 已知两个点M (--5,0)和N (5,0),若直线上存在点P ,使|PM|--|PN|=6,则称该直线为“B 型直
线”.给出下列直线①1+=x y ;②2=y ;③x y 3
4
=;④12+=x y .其中为“B 型直线”的是( ) A .①③ B .①② C .③④ D .①④
8. 在数列{n a }中,21=a ,2)1(1++=+n n a n na (*
N n ∈),则10a 为( )
A .34
B .36
C .38
D .40
9. 已知点B )0,2(,点O 为坐标原点,点A 在圆1)2()2(22=-+-y x 上,则向量
OB OA 与的夹角θ的最大值与最小值分别为( )
A .
0,4
π
B .
4,125ππ C .12,125ππ D .12
5,2ππ 10.已知P 为抛物线y=2x 2
+1上的动点,定点A (0,-1).点M 分所成的比为2,则点M 的轨迹方程
为
A .y=6x 2
-
31 B .x=6y 2-31 C .y=3x 2+3
1 D .y=-3x 2
-1 11.教师想从52个学生中抽取10名分析期中考试情况,一小孩在旁边随手拿了两个签,教师没在意,在
余下的50个签中抽了10名学生.则其中的李明被小孩拿去和被教师抽到的概率分别为 A .
11,265 B .15,2626 C .1,026 D .11,255
12.某工厂投入98万元购买一套设备,第一年的维修费用12万元,以后每年增加4万元,每年可收入50
万元.就此问题给出以下命题:①前两年没能收回成本;②前5年的平均年利润最多;③前10年总利润最多;④第11年是亏损的;⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少.(总利润=总收入-投入资金-总维修费)其中真命题是
A .①②⑤ B.①③⑤ C.①③④ D.②③④
第Ⅱ卷(非选择题共120分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上. 13.在102)1)(1(x x x -++的展开式中,含4x 的系数为 . 14.若1111111111112612203042567290110132156a =
+++++++++++,且sin a θ=,([0,])2
π
θ∈,则tan
2
θ
= . 15.若()()()()()11
112210921x a 1x a 1x a a 2x 1x -++-+-+=-+ ,则
()()=+++-+++2104221131a 10a 4a 2a 11a 3a ______(用数字作答).
16.对于直角坐标平面内的任意两点)(、2211,),(y x B y x A ,定义它们之间的一种“距离”:2121y y x x AB -+-=。
给出下列三个命题:①若点C 在线段AB 上,则AB CB AC =+②在△ABC
中,若∠C=900
,则2
2
2
AB CB
AC
=+③在△ABC 中AB CB AC >+。
其中真命题的是________
______________
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本题12分)已知在⊿ABC 中,角A 、B 、C 的对边为,,,c b a ,向量))sin(,2
cos
2(B A C
m +-=, ))sin(2,2
(cos
B A C
+=,m ⊥n . (1)求角C . (2)若2
2
2
2
1c b a +
=,试求)sin(B A -的值.
18.(本题12分)小张有一只放有a 个红球,b 个黄球,c 个白球的箱子,且a+b+c =6 (a ,b ,c ∈N),小刘有一只放有3个红球,2个黄球,1个白球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球,规定:当两球同色时小张胜,异色时小刘胜.
(1) 用a 、b 、c 表示小张胜的概率;
(2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分,否则得0分,求小张得分的期望的最大值及此时a 、b 、c 的值.
19.(本题12分)设函数,)(2
c bx ax x f ++=其中Z c N b N a ∈∈∈+,,.
(1) 若a b 2>,且函数))((sin R x x f ∈的最大值为2,最小值为4-,求)(x f 的解析式;
(2)在(1)的条件下设函数27)()(-+-=x x f x g 在[]n m ,上的值域是[]4,5-,试求2
2n m +的取值范围.
A
1A B
1
B C
1C
20.(本题满分12分)
如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC=3, AA 1=1,∠ACB=90°.
(Ⅰ)求异面直线A 1B 与CB 1所成角的大小; (Ⅱ)问:在A 1B 1边上是否存在一点Q ,使
得平面QBC 与平面A 1BC 所成的角为30°,若存在,请求点Q 的位置,若不存在,请说明理由.
21.(本题12分)自点A (0,-1)向抛物线C :2x y =作切线AB ,切点为B ,且B 在第一象限,再过线段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E 、F .直线AE 、AF 分别交抛物线C 于P 、Q 两点.
(1)求切线AB 的方程及切点B 的坐标. (2)证明)(R ∈=λλ.
22.(本题14分)已知数列}{n a 满足n a >0,且对一切n ∈N + ,有∑n i=1 a 3
i =S 2
n ,其中S n =∑n
i=1
a i ,
(1) 求证:对一切n ∈N +,有a 2
n +1 -a n+1=2S n ; (2) 求数列}{n a 的通项公式;
(3) 求证:∑n
k=1
k a 2
k
<3.
x
[参考答案] http://
一、选择题
1、C
2、C
3、B
4、A
5、A
6、A
7、B
8、C
9、C10.A 11.B 12.C 二、填空题: 13.135 14.
3
2
15、0 16、①三、解答题: 17.解:(1)由0=⋅得0)(sin 22
cos
222
=+-B A C
0)cos 1(2cos 12=--+C C
01cos cos 22=-+C C 即2
1cos ,1cos =
-=C C 因为π<<C 0,所以0
60=C .
(2) 因为
bc
a c
b R b a
c b c a R a A B B A B A 2222cos sin cos sin )sin(2
22222-+⋅--+⋅=-=-
4
3sin 21444)(2222=
===-=C R c cR c cR b a .(因为22
221c b a =-)
18、解:(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球) =
636a ⨯ + 626b ⨯+ 616c ⨯=36
c b 2a 3++ ……………………………5分 (2) 设小张的得分为随机变量ξ,则
P(ξ=3)=
616c ⨯,P(ξ=2)= 6
2
6b ⨯,P(ξ=1)= 636a ⨯, P(ξ=0)=1一P(小张胜)=1一36
c
b 2a 3++,……………………………9分
∴E ξ=3×616c ⨯+2×626b ⨯+1×636a ⨯+0×(1一36c
b 2a 3++)
= ()36
2136336343b
b c b a c b a +=+++=++
∵ a ,b ,c∈N,a+b+c=6,∴b=6,此时a=c=0,
∴当b=6时,E ξ=
3
2
61213621=+=+b ,此时a=c=0,b=6…………………12分 19.解:(1)因为 224)2(sin )(sin a
b
c a b a a x f -++= 又 a b 2>,所以 ,12-<-a
b
因为 1sinx 1 ,0≤≤->a ,…………………2分 所以 当1sin =x 时,2)(sin max =++=c b a x f ,
当1sin -=x 时,4)(sin min -=+-=c b a x f ; …………………4分 解得:2,1,,2,3-==∴∈<=+c a N a b a b
所以 23)(2-+=x x x f ; …………………6分 (2) 因为44)2()(2≤+--=x x g
又5)5(,5)1(-=-=-f f …………………8分
因为 当∈x []n m ,时,值域为[]4,5-.
所以 521≤≤-=n m 且或521=≤≤-n m 且, …………………10分 所以 29252652222≤+≤≤+≤n m n m 或,
所以 29522≤+≤n m . …………………12分
20.建立如示空间直角坐标系,则
)0,3,0(),1,0,3(11B A )1,3,0(),0,0,0(B C
7||),1,3,3(11=--=B A B A 2||),1,3,0(11==CB CB
7
7
7
22|
|||cos 111111=
=
⋅>=
⋅<CB B A CB B A CB B A 异面直线A 1B 与CB 1所成的角为7
7
arccos
………………6(分) (Ⅱ)答:存在这样的点Q ,使得面QBC 与面A 1BC 成30°角. 解:∵是直三棱柱,又∠ACB=90°,∴BC ⊥CA 1,BC ⊥CC 1 ∴∠A 1CC 1是二面角A 1-BC -C 1所成的平面角
在Rt ΔA 1C 1C 中,∠A 1CC 1=60°……………………………8(分) 在A 1B 1边上取一点Q ,在平面A 1B 1C 1中作QP ∥B 1C 1,交A 1C 1于P ,连PC 过证P .Q .B .C 共面
∴∠A 1CP 就是Q —BC —A 1的平面角为30°…………………10(分) ∵30°<60°,故有在点P ,在角A 1CC 1的平分线上 在Rt ΔPC 1C 中,可得3
31=
PC 又A 1B 1=6,由相似比可得,Q 在距点A 3
62处(或距B 1点36
处)……12(分)
21.解:(1)设切线AB 的方程为1-=kx y ,
代入2
x y =得012=+-kx x ,由042=-=∆k 得2=k ,AB 的方程为12-=x y ,易得切点B
(1,1).
(2)线段AB 的中点M )0,21(,设过点M 的直线l 的方程为)2
1(-=x k y ,与2
x y =交于
),(),,(2
22211x x F x x E
由021)21(22
=+-⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=k kx x x y x k y 得,有k x x k x x 21,2121==+.
再设P ),(2
33x x ,Q ),(24
4x x ,要证)(R AB PQ ∈=λλ,只要PQ ∥AB ,证2==AB PQ k k 即可. 由433
42
324x x x x x x k PQ
+=--=. ∵A 、P 、F 三点共线,有AF AP
k k =,∴2
223231
1x x x x +=
+ 32
232232x x x x x x +=+,∴0)1)((3232=--x x x x ,又32x x ≠∴132=x x
同理由A 、E 、Q 三点共线得141=x x ∴22
1112
1211243==+=+=
+=k k
x x x x x x x x k PQ
所以PQ ∥AB ,有)(R AB PQ ∈=λλ.
22. (1) 由∑n
i=1
3i a =S n 2
, (1)
得∑n +1i=1
3i a =S n +12
, (2) …………………2分
(2)-(1),得2
2131n n n S S a -=++=(S n +1+S n )(S n +1-S n )=(2 S n +a n +1) a n +1.
∵ a n +1 >0,∴a n +12
-1n a +=2S n . …………………4分
(2)由a n +12
-1n a +=2S n ,及a n 2
-a n =2S n -1 (n ≥2),
两式相减,得(a n +1+ a n )( a n +1-a n )= a n +1+ a n .
∵a n +1+ a n >0,∴a n +1-a n =1(n ≥2) …………………6分 当n=1,2时,易得a 1=1,a 2=2,∴a n +1 - a n =1(n ≥1).…………………8分 ∴{ a n }成等差数列,首项a 1=1,公差d=1,故a n =n . …………………9分
(3)∑n
k=1
2k
a ∑n
k=1
<1+∑n
k=2
1(k -1)k (k +1)
<1+∑n
k=2
2
(
k -1)(k +
1) ( k +1
+k -1 )
=1n
k =+
=1+ ∑n
k=2
(
1(k -1)
-
1(k +1)
) =1+1+
2- 1(n +1) <2+2<3.
…………………14分。