【步步高】高三数学一轮 1.1 集合的概念与运算课时检测 理 (含解析)北师大版

1.1 集合的概念与运算
一、选择题
1.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁U N＝{2,4}，则N＝( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5}
C．{1,4,5} D．{2,3,4}
解析：由M∩∁U N＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．答案：B
2．已知集合A＝{y|x2＋y2＝1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于( )
A．(0,1) B．[0,1]
C．(0，＋∞) D．{(0,1)，(1,0)}
解析：∵A＝{y|x2＋y2＝1}，∴A＝{y|－1≤y≤1}．
又∵B＝{y|y＝x2}，∴B＝{y|y≥0}．A∩B＝{y|0≤y≤1}．
答案：B
3．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝± 2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．
答案 A
4．如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若x，y∈R，A ＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B为( )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}
解析：A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选D.
答案： D
5.已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析：∵(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素，如右图所示阴影部分，又∵U＝A∪B
中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．
答案： D
6．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( )．A．2 B．3 C．4 D．5
解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．
答案 B
7.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是
( ) A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析：因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案：C
二、填空题
8．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．解析：若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求，若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A∪B)，∴a＝2.
答案： 2
9．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析(数形结合法)A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.如图．
答案(－∞，1]
【点评】本题采用数形结合法，含参数的集合运算中求参数的范围时，常常结合数轴来解决，同时注意“等号”的取舍．
10．已知集合A＝{x|－x2＋2x＋3>0}，B＝{x|x－2<0}，则A∩(∁R B)＝________.
解析：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x<2}，
所以∁R B＝{x|x≥2}．
所以A∩(∁R B)＝{x|2≤x<3}．
答案：[2,3)
11．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B ＝________.
解析A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
答案{(0,1)，(－1,2)}
12．设A ，B 是非空集合，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A *B ＝____________________.
解析 由题意知，A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[1,3]，
∴A *B ＝[0,1)∪(3，＋∞)．
答案 [0,1)∪(3，＋∞)
三、解答题
13．设A ＝{2，－1，x 2
－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求x 、y 的值．
解析： ∵A ∩B ＝C ＝{－1,7}，
∴必有7∈A,7∈B ，－1∈B .
即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3.
①当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，
∴2∈A ∩B ，但2∉C ，
∴不满足A ∩B ＝C ，
∴x ＝－2不符合题意．
②当x ＝3时，x ＋4＝7，
∴2y ＝－1⇒y ＝－12
. 因此，x ＝3，y ＝－12
. 14．设集合A ＝{x 2,2x －1，－4}，B ＝{x －5,1－x,9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B . 解 由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，
解得x ＝±3或x ＝5.
当x ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2,9}，B 中元素重复，故舍去；
当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8,4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}；
当x ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，
此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．
综上所述，A ∪B ＝{－8，－4,4，－7,9}．
15．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
解：A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}．
∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1.
16．已知集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R}．
(1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；
解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．
(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，得
⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝－2－8a <0，
∴a >98.
即实数a 的取值范围是(98，＋∞)．
(2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝23；
当a ≠0且Δ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43.
∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.。