高考数学总复习 3.5两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版

高考数学总复习 3.5两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切
公式提高分课时作业（含2013年模拟题） 新人教A 版
【考点排查表】
考查考点及
角度 难度及题号 错题记录
基础 中档 稍难 两角和与差的三角函数 2
8,9
11
二倍角的三角函数 1,3 6,7,10 12
角的变换及求角问题
4 5 13
一、选择题
1．(2011·辽宁高考)设sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋θ＝13
，则sin 2θ＝( )
A ．－79
B ．－19
C.19
D.79
【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin 2θ)
＝19，∴sin 2θ＝－7
9
. 【答案】 A 2.
2cos10°－sin20°
sin70°
的值是( )
A.12
B.3
2 C.3D. 2
【解析】 原式＝2cos 30°－20°－sin20°
sin70°＝ 3.
【答案】 C
3.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是( ) A ．4cos 4－2sin 4B ．2sin 4 C ．2sin 4－4cos 4 D ．－2sin 4 【解析】 原式＝4cos 2
4＋2
sin 4－cos 4
2
＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|， ∵
5π4＜4＜3π
2
，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4. ∴原式＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4. 【答案】 D 4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010
，α、β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3
C.π4
D.π
6
【解析】∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π
2，
∵cos(α－β)＝1－sin
2
α－β＝
31010，sin α＝5
5
， ∴cos α＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫552＝25
5， ∴sin β＝sin[ α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22
. ∵0<β<π2，∴β＝π
4.
【答案】 C
5．已知A 、B 均为钝角，且sin A ＝55，sin B ＝10
10
，则A ＋B 等于( ) A.5π4B.7π4 C.
5π4或7π4 D.9π4
【解析】 由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－310
10，
∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22
， 又∵π2＜A ＜π，π
2＜B ＜π，
∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π
4
. 【答案】B
6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3＋2α的值为()
A.13B ．－1
3 C.79D ．－79
【解析】∵c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13
，
故c os ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋α－1＝－79. 【答案】 D 二、填空题
7. (2013·临沂模拟)在△ABC 中，若cos A ＝13，则sin 2B ＋C
2＋cos 2A 的值为________．
【解析】 sin
2
B ＋C
2
＋cos 2A ＝sin
2
π－A 2＋cos 2A ＝cos 2A 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2
＋2cos 2
A －1＝2cos 2
A ＋12cos A －12，代入cos A ＝13
可得．
【答案】 －1
9
8．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．
【解析】 原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30° ＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30° ＝tan 45°＝1. 【答案】1
9．已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝2
5，则
tan(α＋π
4
)的值为________．
【解析】 由a ·b ＝25，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝2
5，
即1－2sin 2α＋2sin 2
α－sin α＝25，即sin α＝35.
又α∈(π2，π)，∴cos α＝－4
5，
∴tan α＝－3
4
，
∴tan(α＋π4)＝1＋tan α
1－tan α＝1－341＋34＝17
.
【答案】1
7
三、解答题
10．(2013·衡阳模拟)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
－x 2＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
π－x 2，x ∈R .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．
【解】 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π
4.
∴f (x )的最小正周期T ＝2π
12＝4π.
(2)由f (α)＝210
5
，
得sin α2＋cos α2＝2105
，
两边平方并整理得1＋sin α＝85.∴sin α＝35.
又α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，π2.
∴cos α＝1－sin 2
α＝1－925＝45
. ∴tan α＝sin αcos α＝3
4
.
∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan
π
41－tan αtan π4＝34＋11－
34
＝7.
11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .
(1)求f (x )最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β ≤π
2，
求证：[f (β)]2
－2＝0.
【解】 (1)f (x )＝sin x cos 7π4＋cos x sin 7π4＋cos x cos 3π4＋sin x sin 3π
4＝2sin x
－2cos x ＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫
x －π4，
∴f (x )的最小正周期T ＝2π，最小值f (x )min ＝－2. (2)证明：由已知得cos αcos β＋sin αsin β＝4
5，
cos αcos β－sin αsin β＝－4
5，
两式相加得 2cos αcos β＝0. ∵0＜α＜β≤π
2，
∴cos β＝0，则β＝π
2，
∴[f (β)]2
－2＝4sin
2
π
4
－2＝0.
12．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4＋α＝2. (1)求tan α的值；
(2)求sin 2αcos α－sin α
cos 2α的值．
【解】 (1)tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α
，
所以1＋tan α
1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，
所以tan α＝1
3
.
(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2
α－sin αcos 2α
＝sin α2cos 2
α－1cos 2α＝sin αcos 2α
cos 2α＝sin α.
因为tan α＝1
3，所以cos α＝3sin α，
代入sin 2α＋cos 2α＝1可得sin 2
α＝110，
又α为锐角，所以sin α＝
1010
， 所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010
.
四、选做题
13．已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(1
2，
－12
)． (1)若a ·b ＝
22，a ·c ＝3－14
，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．
【解】 (1)∵a ·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝
2
2
，① a ·c ＝(cos α，sin α)·(12
，－12
)
＝12cos α－12sin α＝3－14，② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，
∴－π2＜α－β＜π
2
.
由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.
由α、β为锐角，∴β＝5π
12.
从而2β－α＝2
3π.
(2)由a ＝b ＋c 可得
⎩⎪⎨⎪⎧
cos β＝cos α－1
2， ③sin β＝sin α＋12， ④
③2＋④2
得cos α－sin α＝12，
∴2sin αcos α＝3
4
.
又∵2sin αcos α＝2sin αcos α
sin 2α＋cos 2
α ＝
2tan αtan 2
α＋1＝3
4
，
∴3tan 2
α－8tan α＋3＝0. ∴tan α＝8± 82
－4×3×3
6
＝
8±286＝4±7
3
. 又∵cos α－sin α＝12，
∴cos α＞sin α， 又∵α为锐角， ∴0＜tan α＜1， ∴tan α＝4－7
3.。