2022版高考物理一轮复习第2章相互作用第2节力的合成与分解教案

第2节力的合成与分解
一、力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，那几个力叫作这一个力的分力。

(2)关系：合力与分力是等效替代关系。

2．共点力
作用在一个物体上，作用线或作用线的延长线交于一点的几个力。

如图所示均是共点力。

3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)运算法则：
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。

如图甲所示。

②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。

如图乙所示。

甲乙
二、力的分解
1．矢量、标量
(1)矢量
既有大小又有方向的物理量。

运算时遵从平行四边形定则(或三角形定则)。

(2)标量
只有大小没有方向的物理量。

运算时按算术法则相加减。

有的标量也有方向。

2．力的分解
(1)定义
求一个力的分力的过程。

力的分解是力的合成的逆运算。

(2)遵循的原则
①平行四边形定则。

②三角形定则。

(3)分解方法
①力的效果分解法。

②正交分解法。

一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．两个力的合力一定大于任何一个分力。

(×)
2．对力分解时必须按作用效果分解。

(×)
3．两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。

(×)
4．合力一定时，两个分力的夹角越大，分力越大。

(√)
5．位移、速度、加速度、力、时间均为矢量。

(×)
二、走进教材
1．(人教版必修1P64T4)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F。

以下说法正确的是( ) A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
B．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的
[答案] AD
2．(人教版必修2P65例题改编)如图所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力。

图中F N为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力
B．物体受到mg、F N、F1、F2共四个力的作用
C．F2是物体对斜面的压力
D．力F N、F1、F2这三个力的作用效果与mg、F N这两个力的作用效果相同
D [F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，施力物体是地球，故选项A错误；物体受到重力mg和支持力F N两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误；F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但二者的受力物体不同，F2的受力物体是物体本身，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误；合力与分力共同作用的效果相同，故选项D正确。

]
3．(人教版必修1P66T2改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力，一个分力在水平方向上并等于240 N，则另一个分力的大小为( )
A．60 N B．240 N
C．300 N D．420 N
[答案] C
力的合成[依题组训练]
1．两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大。

2．三个共点力的合成
(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。

(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和。

3．几种特殊情况的共点力的合成
类型作图合力的计算互相垂直
F＝F21＋F22
tan θ＝
F1
F2
两力等
大，夹角为θ
F＝2F1cos
θ
2
F与F1夹角为
θ
2两力等大，
夹角为120°
合力与分力等大
F′与F夹角为60°
(1)作图法
(2)计算法
若两个力F1、F2的夹角为θ，如图所示，合力的大小可由余弦定理得到，
F＝F21＋F22＋2F1F2cos θ，tan α＝F2sin θ
F1＋F2cos θ。

[题组训练]
1．(多选)在探究共点力合成的实验中，得到如图所示的合力F与两力夹角θ的关系图象，则下列说法正确的是( )
A．2 N≤F≤14 N
B．2 N≤F≤10 N
C．两分力大小分别为2 N和8 N
D．两分力大小分别为6 N和8 N
AD [由图可知F21＋F22＝10 N，F1－F2＝2 N。

所以F1＝8 N，F2＝6 N，合力最大值为14 N，最小值为2 N。

]
2．某物体同时受到2个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格的边长均表示1 N大小的力)，物体所受合外力最大的是( )
A B C D
C [A图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3 N，如图甲所示；B图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝32＋42 N＝5 N，如图乙所示；C图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝4 2 N，如图丙所示；D图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3 N，如图丁所示，故选项C符合题意。

]
甲乙丙丁
3．(惠州市2021届高三第二次调研)如图为汽车的机械式手刹(驻车器)系统的结构示意图，结构对称。

当拉动手刹拉杆时，手刹拉索(不可伸缩)就会拉紧，拉索OD、OC分别作用于两边轮子的制动器，从而实
现驻车的目的。

则以下说法正确的是( )
A．当OD、OC两拉索夹角为60°时三根拉索的拉力大小相等
B．拉动手刹拉杆时，拉索AO上拉力总比拉索OD和OC中任何一根拉力大
C．若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，则拉索OD、OC拉力越大
D．若保持OD、OC两拉索拉力大小不变，OD、OC两拉索越短，则拉动拉索AO越省力
D [A．当OD、OC两拉索夹角为120°时，三根拉索的拉力大小才相等，选项A错误；B．拉动手刹拉杆时，当OD、OC两拉索夹角大于120°时，拉索AO上拉力比拉索OD和OC中任何一个拉力小，选项B 错误；C．根据平行四边形法则可知，若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越小，选项C错误；D．若保持OD、OC两拉索拉力不变，OD、OC两拉索越短，则两力夹角越大，合力越小，即拉动拉索AO越省力，选项D正确。

故选D。

]
力的分解[讲典例示法]
1．力的分解常用的方法
正交分解法效果分解法
分解方法将一个力沿着两个互相垂直的方向进行
分解的方法
根据一个力产生的实际效果进行分解
实例
分析
x轴方向上的分力
F x＝F cos θ
y轴方向上的分力
F y＝F sin θF1＝
G
cos θF2＝G tan θ
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，优先选用正交分解法。

(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。

3．力的分解中的多解问题
已知条件示意图解的情况
已知合力与两个分力的方向
有唯一解
已知合力与两个分力的大小
在同一平面内有两解或无解(当
F<|F1－F2|或F>F1＋F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方
向
有唯一解
已知合力与一个分力的大小及另
一个分力的方向
在0<θ<90°时有三种情况：(1)
当F1＝F sin θ或F1>F时，有一组
解；(2)当F1<F sin θ时，无解；
(3)当F sin θ<F1<F时，有两组解。

若90°<θ<180°，仅F1>F时有一
组解，其余情况无解[典例示法] (一题多法)如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。

一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。

在绳上距a端
l
2
的c点有一固定绳圈。

若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比
m1
m2
为( )
A． 5 B．2
C．
5
2
D． 2
思路点拨：解此题要抓住以下三点：
(1)绳子上的拉力一定沿绳。

(2)“光滑钉子b”，说明bc段绳子的拉力等于重物的重力m1g。

(3)依据“ac段正好水平”画出受力分析图。

C [方法一：力的效果分解法
钩码的拉力F 等于钩码重力m 2g ，将F 沿ac 和bc 方向分解，两个分力分别为F a 、F b ，如图甲所示，其中F b ＝m 1g ，由几何关系可得cos θ＝F F b ＝
m 2g
m 1g
， 又由几何关系得cos θ＝
l l 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫l 22，
联立解得m 1m 2＝
52。

方法二：正交分解法
绳圈受到F a 、F b 、F 三个力作用，如图乙所示，将F b 沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m 1g cos θ＝m 2g ；
由几何关系得cos θ＝
l
l 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 22， 联立解得m 1m 2＝
5
2。

] 力的正交分解的两点注意
(1)力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。

(2)一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，这样解方程较简单。

[跟进训练]
1．(多选)已知力F 的一个分力F 1跟F 成30°角，大小未知，另一个分力F 2的大小为3
3
F ，方向未知，则F 1的大小可能是( )
A ．
3F 3 B ．3F 2 C ．23F 3
D ．3F
AC [如图所示，因F 2＝33
F ＞F sin 30°，故F 1的大小有两种可能情况，由ΔF ＝F 2
2－F sin 30°2
＝
36F ，即F 1的大小分别为F cos 30°－ΔF 和F cos 30°＋ΔF ，即F 1的大小分别为33F 和233
F ，A 、C 正确。

]
2.刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景。

劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F ，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。

设劈背的宽度为d ，劈的侧面长为l ，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力约为( )
A ．d l
F B ．l d F C ．l
2d
F
D ．d
2l
F
B [斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F 1、F 2且F 1＝F 2，利用几何三角形与力的三角形相似有d F ＝l F 1，得推压木柴的力F 1＝F 2＝l d
F ，所以B 正确，A 、C 、D 错误。

]
3.(多选)如图所示，质量为m 的木块在推力F 作用下，在水平地面上做匀速运动。

已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，那么木块受到的滑动摩擦力为( )
A ．μmg
B ．μ(mg ＋F sin θ)
C ．μ(mg －F sin θ)
D ．F cos θ
BD [木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg 、推力F 、支持力F N 、摩擦力F f 。

沿水平方向建立
x 轴，将F 进行正交分解，如图所示(这样建立坐标系只需分解F )，由于木块做匀速直线运动，所以在x
轴上，向左的力等于向右的力(水平方向二力平衡)；在y 轴上，向上的力等于向下的合力。

即F f ＝F cos θ，
F N ＝mg ＋F sin θ，又F f ＝μF N ，解得，F f ＝μ(mg ＋F sin θ)，故选项B 、D 正确。

]
4.如图所示，力F 1、F 2、F 3、F 4是同一平面内的共点力，其中F 1＝20 N ，F 2＝20 N ，F 3＝20 2 N ，F 4
＝20 3 N ，各力之间的夹角如图所示。

求这四个共点力的合力的大小和方向。

[解析] 以F 2的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系。

将F 1、F 3、F 4向两坐标轴上分解得
F 1x ＝F 1cos 60°＝20×12
N ＝10 N F 1y ＝F 1sin 60°＝20×
3
2
N ＝10 3 N F 3x ＝F 3cos 45°＝202×
2
2
N ＝20 N F 3y ＝－F 3sin 45°＝－202×2
2
N ＝－20 N F 4x ＝－F 4sin 60°＝－203×
3
2 N ＝－30 N F 4y ＝－F 4cos 60°＝－203×12
N ＝－10 3 N
则x 轴上各分力的合力为F x ＝F 1x ＋F 2＋F 3x ＋F 4x ＝20 N
y轴上各分力的合力为F y＝F1y＋F3y＋F4y＝－20 N
故四个共点力的合力为F＝F2x＋F2y＝20 2 N，合力的方向与F3的方向一致。

[答案] 20 2 N 方向与F3的方向一致
“活结”和“死结”及“动杆”和“定杆”模型
“活结”和“死结”模型
模型概述模型示例
“死结”：理解为绳子的结点是固定的，“死结”两侧的是两根独立的绳，
两根绳产生的弹力不一定相等
“活结”：理解为绳子的结点可以移动，一般是由绳跨过滑轮或光滑挂钩
而形成的。

“活结”两侧的两个弹力大小一定相等，它们合力的方向一定
沿两绳的角平分线
小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g取10 m/s2。

若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 3 N，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 3 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
ABC [O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P 处为“活结”。

由m A g＝F O′a，F OP＝2F O′a cos 30°可解得：F O′a＝20 N，m A＝2 kg，选项B正确；OP的方向沿细线张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间的夹角为30°，选项D错误；对O′受力分析，由平衡条件可得：F弹＝F O′a sin 30°，F O′b＝F O′a cos 30°，对物体B有：f B＝F O′b，联立解得：F弹＝10 N，f B＝10 3 N，选项A、C均正确。

]
[跟进训练]1．(多选)与砂桶P连接的质量不计的细绳系在C点，如图所示，在两砂桶中装上一定质量的砂子，砂桶(含砂子)P、Q的总质量分别为m1、m2，系统平衡时，∠ACB＝90°、∠CAB＝60°，忽略滑
轮的大小以及摩擦。

则下列说法正确的是( )
A．m1∶m2＝1∶1
B．m1∶m2＝2∶1
C．若在两桶内增加相同质量的砂子，C点的位置上升
D．若在两桶内增加相同质量的砂子，C点的位置保持不变
BC [以结点C为研究对象，受力分析如图所示，其中F＝m1g、F B＝m2g，由力的平衡条件可知F A＝F cos
30°＝m1g cos 30°，由几何关系可知F A＝F B
tan 30°
，整理解得m1∶m2＝2∶1，选项A错误，B正确；由以上分析可知当砂桶(含砂子)P、Q的总质量的比值为2时，AC与BC保持垂直状态，C点的位置保持不变，而若在两桶内增加相同质量的砂子，则两砂桶(含砂子)质量的比值会小于2，则桶Q向下移动，C点的位置上升，选项C正确，D错误。

]
“动杆”和“定杆”模型
模型概述模型示例
“动杆”：是可以绕轴自由转动的轻杆。

当杆处于平衡时，杆所受到的弹
力方向一定沿着杆
“定杆”：被固定了的不发生转动的轻杆。

杆所受到的弹力方向可以沿着
杆，也可以不沿杆
kg的物体M1，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过细绳EP拉住，EP 与水平方向也成30°，轻杆的P点用细绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体M2。

g取10 m/s2，求：
甲 乙
(1)轻绳AC 段的张力F AC 与细绳EP 的张力F EP 之比；
(2)横梁BC 对C 端的支持力；
(3)轻杆HP 对P 端的支持力。

[解析] 分别对C 点和P 点受力分析如图所示。

甲 乙
(1)图甲中轻绳AD 跨过定滑轮拉住质量为M 1的物体，物体处于平衡状态，
绳AC 段的拉力F AC ＝F CD ＝M 1g
图乙中由F EP sin 30°＝F PQ ＝M 2g 得
F EP ＝2M 2g
所以得F AC F EP ＝M 1g 2M 2g ＝12。

(2)图甲中，根据几何关系得
F C ＝F AC ＝M 1g ＝100 N
方向和水平方向成30°角斜向右上方。

(3)图乙中，根据平衡条件有
F EP sin 30°＝M 2g ，F EP cos 30°＝F P
所以F P ＝M 2g
tan 30°
＝3M 2g ≈173 N ，方向水平向右。

[答案] (1)1∶2 (2)100 N ，方向与水平方向成30°角斜向右上方 (3)173 N ，方向水平向右
[跟进训练]
2.(2020·河北唐山二调)如图所示，一光滑小球与一过球心的轻杆连接，置于一斜面上静止，轻杆通过光滑铰链与竖直墙壁连接，已知小球所受重力为G ，斜面与水平地面间的夹角为60°，轻杆与竖直墙壁间的夹角也为60°，则轻杆和斜面受到球的作用力大小分别为( )
A ．G 和G
B ．12G 和32G
C ．32G 和12G
D ．3G 和2G
A [对小球受力分析，杆对小球的弹力F 方向沿杆斜向上与水平方向成30°角，斜面对球的弹力F N 方向垂直于斜面斜向上与水平方向成30°角，重力方向竖直向下，如图所示，由几何关系可知三力互成120°角，根据平衡条件知，三力可以构成一首尾相连的等边三角形，则小球受到斜面和轻杆的力有F N ＝F ＝G ，根据牛顿第三定律可知，斜面和轻杆受到小球的作用力大小有F ′N ＝F ′＝G ，选项A 正确。

]。