【名师推荐资料】2020-2021学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理(C卷02)江苏版(精品)

2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（C卷02）江苏
版
一、填空题
13 ______ ．
函数有3个不同的零点，
点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2．已知函数()21
,0
{ln ,0x x e
f x x x x
--<=>若关于x 的方程()f x t =有三个不同的解，其中最小的解为a ，则t a 的取值
范围为_____________. 【答案】21,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】
令ln x y x =
()21ln '00,,'x y x e x e y x
-==⇒=⇒∈ 0;> (),,x e ∈+∞ '0y < max y ⇒= ln 110,e t e e e ⎛⎫
=⇒∈ ⎪⎝⎭
，又2
21211111(0)22t t e t t t a e a e e e e ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫--=⇒=-+<<⇒-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 0t
a <
<⇒ 22110,0t t e a a e ⎛⎫-<<⇒∈- ⎪⎝⎭
.
3．已知椭圆22221x y a a b
+=>>（ｂ０）
的离心率为2, A 为左顶点,点,M N 在椭圆C 上,其中M 在第一象限,
M 与右焦点的连线与x 轴垂直,且4?10AM AN k k +=,则直线MN 的方程为_______.
【答案】y x
=
又4?10
AM AN
k k+=，
∴
1
1
4
AN
AM
k
k
=-==-。

设点N的坐标为()
00
,x y，
则
22
00
22
1
2
{
1
4
y
x b
x y
b b
=-
+
+=
，解得
{
2
x
b
y
=
=-。

故N
的坐标为,
2
b
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭。

所以点,
M N关于原点对称，从而直线MN过原点，且
6
MN
b b
k
⎛⎫
-- ⎪
==。

所以直线MN
的方程为y x
=。

答案：
y x
=
4．已知椭圆
22
:1
43
x y
C+=的右顶点为A, 点()
2,4
M,过椭圆C上任意一点P作直线MA的垂线,垂足为H,则2PM PH
+的最小值为_________.
【答案】2
答案：
2
点睛：本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷，如在本题中运用了连接两点间的线中线段最短的结论。

5．已知函数()()
,(0)
{
21,
0lnx x f x x x >=+≤， ()g x ax =，若两函数()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点
()()()()()(),,,,,,A m f m B n f n C t f t m n t <<，则
1
2n m
++的范围为__________． 【答案】11,
e e ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
【解析】 作出函数()()
,(0)
{
21,
0lnx x f x x x >=+≤的图象，如图所示，
设直线y ax =与ln y x =相切与点()0,ln x x ，所以()00
1
f x x '=
， 所以曲线ln y x =在切点处的切线方程为()000
1
ln y x x x x -=-， 把原点代入切线方程得0ln 1x -=-，得0x e =，
要使得直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点，则()1,n e ∈，
联立1{ 21
y x e y x =
=+，解得12e x e =
-，所以1,122e
m e ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，则112,2m e ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭，
所以
12n m ++的取值范围是11,e e ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭.
点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
6．已知函数()()
23x f x x e =-，设关于x 的方程()()2
0f x af x -=（a R ∈）有4个不同的实数解，则a 的取
值范围是__________． 【答案】3
6
a e =
或20e a -<< 【解析】 由题意， ()()()
222323x x x f x xe x e e x x =+-=++'， 令()0f x '=，解得1x =或3x =-，
所以当3x <-或1x >时， ()0f x '>，当31x -<<时， ()0f x '<，
所以()f x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以当3x =-时， ()f x 取得极大值36
e
；当1x =时， ()f x 取得极大值2e -， 作出函数()f x 的图象，如图所示， 由()()2
0f
x af x -=得()0f x =或()f x a =，
由图象可知()0f x =有两解，所以()f x a =也有两解， 所以36
a e
=
或20e x -<<.
点睛：本题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系的应用，其中解答中涉及到利用导数判定函数的单调性、利用导数求解函数的极值等知识点综合应用，其中把方程的根的个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.
7．椭圆E：
22
1
43
x y
+=的左顶点为A，点,B C是椭圆E上的两个动点，若直线,
AB AC的斜率乘积为定值
1
4
-，则动直线BC恒过定点的坐标为__________．【答案】()
1,0
则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=()()
22
2
14412
34
k m
k
+-
+
+（2+4km）
2
8km
34k
-
+
+4m2+4=0
则m 2
﹣km ﹣2k 2
=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．
当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．
当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1， 32），（1，﹣3
2
），满足k AB •k AC =﹣
1
4
． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 8．已知函数()()
23x f x x e =-，设关于x 的方程()()2
0f x af x -=（a R ∈）有3个不同的实数解，则a 的取
值范围是__________． 【答案】36
a e
>
或2a e =-
点睛：利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
9．设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()'0f x xf x +>，则不等式
f
f
>的解集为________．
【答案】12x ≤<
即g
g
>，
>
∴2
2
10
{10
11
x
x
x x
+≥
-≥
+>-
，解得12
x
≤<。

所以原不等式的解集为[)
1,2。

答案：[)
1,2。

10．已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的一个顶点为()
0,4
B
，离心率e=，直线l交椭圆于,
M N两点，如果BMN
∆的重心恰好为椭圆的右焦点F，直线l方程为________．
【答案】65280
x y
--=
【解析】
由题意得4
b=，
设线段MN的中点为()
00
,
Q x y，
由三角形重心的性质知2
BF FQ
=，从而()()
00
2,422,
x y
-=-，
解得
00
3,2
x y
==-，
所以点Q的坐标为()
3,2
-。

答案： 65280x y --= 点睛：弦中点问题的解决方法
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程；
③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解。

（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交。

11．已知函数()()ln m
f x x m R x
=-∈在区间[]1,e 取得最小值4，则m = ． 【答案】3e -
【解析】试题分析：因为,当
时,
是[]
1,e 上的增函数,函数
在
处取最小值,则
,即不合题意；当
时, 当
时,即
是增函数函数
在
处取最小值,则
,即
不合题意, 当
时,即时,
是减函数,函数
在处取最小值,则,故
合题意, 当
时,即,函数
在
处取最小值,则
,即
,不合题意.综上
.
考点：导数在求函数的最值问题中的运用及分类整合的数学思想．
【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,而且是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间[]
1,e 取得最小值4这一条件和信息,先对函数()()ln m
f x x m R x
=-
∈进行求导,进而分类讨论参数的取值
情形,分别情况求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数的值,从而写出
符合题设条件的参数
的值.
12A
____________．
【解析】
，
【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐
近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将的不等式，从而求出. 13．有下列命题： ①双曲线
与椭圆
有相同的焦点；
②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；
③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；
④若p是q的充分条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，则s是p的必要条件；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）
【答案】①③④
解：①直接根据焦点的定义求出双曲线与椭圆有相同的焦点都为
②∵2x2﹣5x﹣3＜0的解集为（）
∴“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”充分不必要条件
③若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是：“若xy≠0，则x、y都不为0”故是真命题．
④∵p是q的充分条件
∴p⇒q
∵r是q的必要条件
∴q⇒r
∵r是s的充要条件
∴r⇒s
∴p⇒s
故s是p的必要条件
答案为：①③④
考点：圆锥曲线的共同特征；命题的真假判断与应用．
14．已知函数()212(0)3
x f x x e x =+-<与()()2
2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取
值范围是__________. 【答案】23
a e <
如图所示，可得12
ln 133
a <-=，解得2
3a e < .
二、解答题
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ： 22221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的一条准线方程为x ，
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，设A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM ，AN ，分别与椭圆C 相交于M ，N 两点，且直线MN 垂直于x 轴．
① 设直线AM ，AN 的斜率分别是k 1， k 2，求k 1k 2的值；
② 过M 作直线l 1⊥AM ，过N 作直线l 2⊥AN ，l 1与l 2相交于点Q ．试问：点Q 是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
2
4
x
＋y2＝1．(2) ①
1
4
② 点Q在一条定直线y＝－1上
②设Q(x1，y1)，用坐标表示斜率，通过垂直得斜率之积为-1，可得(y0－1)(y1－y0)＝－x0(x1－x0)，(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，化得(y1＋1) y0＝0，所以y1＝－1，得证.
试题解析：
（1）设椭圆C：＋＝1的半焦距为c．
由题意，得解得从而b＝1．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，
故可设M(x0，y0)，N(x0，－y0)( x0≠0，y0≠0)，
从而k1k2＝·＝．
因为点M在椭圆C上，所以＋y02＝1，所以1－y02＝，
所以k 1k 2＝＝．
②设Q (x 1，y 1)，依题意A (0，1)． 因为l 1⊥AM ，所以·＝－1，即(y 0－1)(y 1－y 0)＝－x 0 (x 1－x 0)； 因为l 2⊥AN ，所以
·
＝－1，即(－y 0－1)(y 1＋y 0)＝－x 0 (x 1－x 0)，
故 (y 0－1)(y 1－y 0)－(－y 0－1)(y 1＋y 0)＝0， 化得(y 1＋1) y 0＝0． 从而必有y 1＋1＝0，即y 1＝－1． 即点Q 在一条定直线y ＝－1上．
16．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，焦距长为2，左准线为1l ： 4x =-． （1）求椭圆C 的方程及其离心率； （2）若过点11,
2N ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 交椭圆C 于A ， B 两点，且N 为线段AB 的中点，求直线l 的方程； （3）过椭圆C 右准线2l 上任一点P 引圆Q ： ()2
218x y +-=的两条切线，切点分别为M ， N ．试探究直线
MN 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
【答案】（1）22143x y +=， 12
e =（2）3240x y +-=（3）()2,1.
试题解析：（1）设椭圆C 方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，则22c =，所以1c =，
又其准线为2
4a x c =-=-，所以2a =，则b =
所以椭圆C 方程为22143x y +=，其离心率为12
e =．
所以直线l 的斜率为12123
2
y y k x x -=
=--，
所以直线l 的方程为()13
122
y x -
=--，即3240x y +-=． （3）直线MN 恒过定点()2,1．
因为椭圆的右准线方程为4x =，所以设P 点坐标为()4,t ，圆心Q 坐标为()0,1， 因为直线PM ， PN 是圆Q 的两条切线，所以切点M ， N 在以PQ 为直径的圆上. 所以该圆方程为()()()410x x y y t -+--=，
两圆方程相减，得直线MN 的方程()4170x t y t +---=， 即()1470y t x y -+--=，由10,{ 470,
y x y -=--=得2,
{
1.
x y == 所以直线MN 必过定点()2,1. 点睛：定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx b =+，然后利用条件建立,k b 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
17．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y （万只）与时间x （年）（其中*x N ∈）的关系为2x
y e =．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值
2
1
ay
M x x =
-+（其中a 为常数，且0a >）来进行生态环境分析．
（1）当1a =时，求比值M 取最小值时x 的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值M 不超过4e 时不需要进行环境防护．为确保恰好．．3年不需要进行保护，求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底， 2.71828e =）
【答案】(1)M 在x 2=时取最小值(2) 137(
22e ⎤
⎥⎦
， 【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.
试题解析：（1）当1a =时， 22(1)1x
e M x x x =>-+，∴ ()()()
2
2212'1
x x x e M x x --=-+ 列表得：
∴M 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增 ∴M 在2x =时取最小值；
答：实数a 的取值范围为137,22e ⎛⎤
⎥⎝
⎦． 18．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b
+=>>的右准线方程为2x =，又离心率为2，椭圆的左顶点为A ，上顶点
为B ，点P 为椭圆上异于,A B 任意一点． （1）求椭圆的方程；
（2）若直线BP 与x 轴交于点M ，直线AP 与y 轴交于点N ，求证： AM BN ⋅为定值．
【答案】(1) 2
212
x y += (2)见解析
（2）方法（一）设点()00,P x y ，则2
20012
x y +=，
()
(),0,1A B ，即220022x y +=． 当00x =时， ()0,1P -，则()0,0M ， ()0,1N -
∴2AM BN ⋅==∵点P 异于点A
∴0x ≠
当0x ≠00x ≠时，设直线AP 方程为：
y x =
，它与y
轴交于点N ⎛⎫
⎝ 直线BP 方程为： 001
1y y x x -=
+，它与x 轴交于点00,01x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭
∴0
01
x AM y =-
+-，
|1BN == ∴
AM BN
⋅=
=
=为定值．
方法（二）若直线BP 斜率不存在，则直线BP 方程为： 0x =，此时()0,1P -，则()0,0M ， ()0,1N - ∴2AM BN ⋅=
=若直线BP 斜率存在，设直线BP 方程为： 1y kx =+，且0k ≠
∴1,0M k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
且
1AM k =-+ 则联立方程： 2
21
{ 1
2
y kx x y =++=，消去y 得： ()222140k x kx ++=，解得： 10x =或22421
k
x k =-
+，
即点222
421,2121k k P k k ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭
∵点P 异于点A
∴2k ≠
∴
222221
21421
AP
k k k k k -++===-+ ∴直线AP 的方程为：
y x =，
则0,N ⎛ ⎝
且1BN =
∴AM BN ⋅=
= 19．已知函数()ln (0)x
f x e x x =->的最小值为m ． ⑴设()()'
g x f x =，求证： ()g x 在()0,+∞上单调递增； ⑵求证： 2m >；
⑶求函数()ln x
m
h x e e x =-的最小值．
【答案】（1）见解（2）见解析（
3）见解析
∴()g x 在()0,+∞上单调递增
所以()f x 的最小值()000ln x
m f x e x ==-
∵0010x
e x -
= ∴001
x e x = ∴00ln x x =- ∴00
1
2m x x =
+≥（当且仅当01x =时取等号） ∵0x 1,12⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
∴2m > （第二问也可证明1,ln 1x
e x x x ≥+≤-，从而得到2m >）
⑶()'m
x
e h x e x
=-
同⑴方法可证得()'h x 在()0,+∞上单调递增 ∵2m > ∴()()()1'10,'0m
m m
m
m e
e h e e
h m e m m
-=-=-=
∴()'h x 存在唯一的零点，设为1x ，则1x ()1,m ∈且1
1
0m
x e e x -=
所以()h x 的最小值为()111ln x
m
h x e e x =-
∵1
10m x e e x -= ∴11m x e e x = ∴11ln x m x =-，即11ln m x x =+ 由⑵可知0000
111ln ln m x x x x =-=+ ∴11ln x x +=00
11ln x x + ∵ln y x x =+在()0,+∞上单调递增 ∴10
1x x = 所以()h x 的最小值为
()()00000001111111
ln 1000000011111ln ln ln ln 0x x x x x x x m h x e e e e e e e x x x x x x x +=-=-=-⋅⋅=⋅+= 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为A ， B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ， Q 两点(点P 在x 轴上方)．
（1）若2QF FP =，求直线l 的方程；
（2）设直线AP ， BQ 的斜率分别为1k ， 2k ．是否存在常数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：设直线l 的方程，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系，解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出λ的值.
试题解析：（1）因为24a =， 23b =
，所以1c ==，所以F 的坐标为 ()1,0， 设()11,P x y ， ()22,Q x y ，直线l 的方程为1x my =+，
代入椭圆方程，得()
2243690m y my ++-=，
则1y =，
2y =．
若2QF PF =20+=，
解得5
m =，故直线l 20y -=．
【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设λ存在，利用所求的12y y +， 12y y ，结合已知条件12k k λ=，得出坐标关系，再把12y y +， 12y y 代入求出λ符合题意，则λ存在，否则不存在.。