宁夏六盘山高级中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题理(含解析)

宁夏六盘山高级中学 2020 届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理
（含解析）
一、选择题.
1.已知 a R ， i 是虚数单位，若 z 1 ai ， z z 4 ，则 a （ ）
A. 1 或-1
B. 15
C. 15
D. 3 或
3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数 z 1 ai ，得到 z 1 ai ，再根据 z z 4 ，利用乘法求解. 【详解】因为复数 z 1 ai ， 所以 z 1 ai ， z z 1 a2 4 ，
a
2
，
b
ab
3
，则
a 2b
（
）
A. 6
B. 3 2
C. 10
D. 4 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据
a
2
，
b
ab
3
，求得
a
b
，再由
a 2b
a 2
b ab 3
【详解】因为
，
，
2
a b 4 9 2a b 9
所以
，
解得 a b 2 ，
2
a 2b
求解.
2
a 2b a 2b 4 36 8 4 3
所以
故选：D
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
x2 5.若双曲线 a2
y2 b2
1
的离心率为
3 ，则其渐近线方程为（ ）
A. y=±2x
B. y= 2x
y1x
C.
2
D.
y 2 x 2
【答案】B
最值，注意分离参数法的应用，此题属于中档题.
12.已知 F1 ， F2 是椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1 (a
b 0) 的左、右焦点，过 F2 的直线交椭圆于
P, Q 两点.若 | QF2 |,| PF2 |,| PF1 |,| QF1 | 依次构成等差数列，且 | PQ | PF1 ，则椭圆 C 的离心率
g x 2x 2x hx 2x 2x
①②两式联立可得
2，
2.
m g x hx 0 m
由
得
2x 2x
2x 2x
4x 4x
1 1 1
2 4x 1 ，
∵
y
1
2 4x
1
在
x
1,1为增函数，
∴ 1
2 4x 1 max
3 5
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求
【解析】
【分析】
先根据对数函数的定义域求法和指数函数值域的求法，化简集合 M，N，然后求解.
M
【详解】因
x | y log2020
10 3x x2
{x | 5 x 2}
，
N y | y 2020x 1 {y | y 1} ，
所以 M N {x |1 x 2}.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及指数函数和对数函数的性质，还考查了运算求解
的能力，属于基础题.
f x 1 x2
3.函数
lg | x | 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数奇偶性特征先排除 A，再找特殊点，当 x 0 时，分析分子和分母的变化，可确定
cos sin
22
sin
15.若
3 5 ，
是第三象限角，则
cos 2
sin 2
______.
1 【答案】 2
【解析】
【分析】
cos sin
22
cos sin 1 sin
sin 3
利用平方关系和二倍角公式化简 2
2 为 cos ，再利用
5 ，得到
sin , cos 代入求解.
AE 1 PD 5 AF 1 PB 13 EF 1 BD 5
由已知得，
2
，
2
2，
2
2，
cos AEF AE2 EF 2 AF 2 8 5
所以
2AE EF
25 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属
于中档题.
10.已知函数
f
x 2sin x b
【详解】第一次循环 i 1, m 7 ，
第二次循环 i 2, m 11，
第三次循环 i 3, m 19 ，
第四次循环 i 4, m 35 ，
终止循环，输出.
故选：C
【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.
8.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周
（f ） 5 又 8 ，所以 2 b 5 或 2 b 5 ，
所以 b 的值是 7 或 3.
故选：B.
【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题
11.已知 g x为偶函数， h x为奇函数，且满足 g x h x 2x .若存在 x 1,1，使得 不等式 m g x h x 0 有解，则实数 m 的最大值为（ ）
由点斜式可得
故答案为: y x 2
【点睛】本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.
x y 0 3x y 6 0 14.若 x, y 满足约束条件 x y 2 0 ，则 z 2x y 的最大值为_________.
【答案】4 【解析】 【分析】
根据可行域，将 z 2x y 变为 y 2x z ，则 z 的最大值即为在 y 轴截距最小值，通过图
所以 a2 b2 c2 2ab 4 6 ，
cosC 3
由余弦定理得
5，
S 1 ab sin C 2
所以 2
.
故选：B. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7.《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，
）
3 A. 5
2 B. 5
65 C. 25
85 D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】
取 PB 中点 F ， E 为 PD 中点，由中位线定理得到 EF BD ，从而 AEF （或补角）为异
面直线 AE 与 BD 所成角，然后再利用余弦定理求解.
【详解】如图所示：
取 PB 中点 F ，连接 AF ， EF ， 因为 E 为 PD 中点，所以 EF BD ， 所以 AEF （或补角）为异面直线 AE 与 BD 所成角.
0 ，
（f ） （x） 8
f
x
（f ）
8 ，且 8
5
，则
b（ ）
A. 3
B. 3 或 7
C. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
x 根据函数的对称轴 8 以及函数值，可得结果.
f x 2sin x b 0
【详解】函数
，
（f ） （x） f 若8
x 8
，则
f
x 的图象关于
x
8
对称，
D. 5 或 8
【答案】 y x 2
【解析】
【分析】
,0
根据导数的几何意义,先求得在点
处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.
【详解】曲线 y x sin x
y ' x'sin x x sin x' sin x x cos x
则
所以在点
,0 处的切线的斜率为
k
sin
cos
y x x 2
B 项正确
f x 1 x2
【详解】由表达式
lg | x | 可知，函数为偶函数，排除 A，当 x 0 时 1 x2 1，
f x 1 x2 0
为正， lg | x | ，所以
lg | x |
，B 正确
故选：B
【点睛】本题考查应用奇偶性和特殊值法识别函数图像，属于基础题
4.设向量 a ， b 满足
末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”
“书”“画”互不相邻的概率为（ ）
1 A. 70
2 B. 35
1 C. 14
1 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先对八雅进行全排列，得到方法总数，再利用插空法得到“琴”“棋”“书”“画”互不相邻
的方法数，然后代入古典概型的概率公式求解.
d) d)
(a1 2d ) a1 2d
(a1
3d )
4a d
，解得
2 5
a a1 ，
2 5
a, a2
4 5
a, a3
6 5 a, a4
8a 5
.
| 所以
QF1
|
8 5
a
| ，
PF1
|
6 5
a
| ，
PF2
|
4 5
a
| ，
PQ
|
6 5
a
.
在 △PF1F2 和 PF1Q 中，由余弦定理得
( 4 a)2 (6 a)2 (2c)2 (6 a)2 (6 a)2 (8 a)2
像得到结果. 【详解】由约束条件可知可行域如下图：
将 z 2x y 变为 y 2x z ，则 z 的最大值即为在 y 轴截距最小值
通过下图可知：
当 y 2x z 过点 A2, 0时，截距最小，则 z 最大
zmax 2 2 0 4 本题正确结果： 4