福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)

福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷(理科)
高三数学理试题 第2页
⊂
≠ 福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）
如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n P P C k P --=)1()(
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，
共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）
高三数学理试题 第3页
A ．2个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 2．复数Z 1=－3+i ，Z 2=1+ i ，则Z =Z 1·Z 2在复平
面内对应点位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期
为π”的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分
也非必要条件 4．曲线2
3
-+=x x
y 在点P 0处的切线平行于直线
1
4-=x y ，则点P 0的坐标为
（ ） A ．（1，0）或（0，－2） B ．（0，－2）或（2，8）
C ．（2，8）或（－1，－4）
D ．（1，0）或
（－1，－4） 5．若函数b
a
x f x
+=)(的图象过点（1，7），且0
)4(1
=-f
，
则)(x f 的表达式是（ ）
高三数学理试题 第4页
A ．43)(+=x
x f B ．
3
4)(+=x x f C ．5
2
)(+=x
x f
D ．2
5
)(+=x
x f
6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为 （ ） A ．6 B ．12 C ．24
D ．48
7．若18
30,0=+>>y
x y x 且，则xy 有
（ ） A ．最大值96 B ．最小值96
1 C ．最小值48
D ．最小值96
8．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10
B ．24
C ．48
D ．60
高三数学理试题 第5页
9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那 么原来的函数解析式是 （ ）
A ．x y sin =
B ．x y cos =
C ．
x
y sin =+2
D ．x y cos =+4
10．有20个零件，其中16个一等品，4个二等
品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ） A ．3202
4
116C C C B ．320
219
116C C C C ．
320
316
24116C C C C + D ．
3
20
341C C -
11．若9)2
22
(-x
的展开式的第7项为4
21
，则
)
(lim 32n n x x x x ++++∞
→ 等于
（ ） A ．43 B ．41 C ．－4
1 D ．－4
3 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和
高三数学理试题 第6页
地区人民的生活水平，它的计算公式:(x y
x n =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y
各种类型家庭分类如下表：
王先生居住地2004年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2004年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2004年属于 （ ）
A ．富裕
B ．小康
C ．温饱
D ．贫困
高三数学理试题 第7页
第Ⅱ卷（非选择题，共
90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．设随机变量ξ分布列为P （===k k
k ,10)ξ1、2、
3、4，则=≤≤)2
5
21(ξP . 14．数列}{n
a 是等比数列，若)
0(1752
≠=⋅⋅m m a a a
，则
=
⋅97a a .
15．圆1
)
1(22
=++y x 在不等式组⎩
⎨
⎧≤+≤-0
y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为 .
16．在△ABC 中，有命题：（1）=- （2）=++
（3）若0)()(=-⋅+，则△ABC 为等腰三角形，
（4）若0>⋅，则△ABC 为锐角三角形. 其
中
真
命
题
的
编
号
为
（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），
从里到外的三个区域分别记为A、B、C，（B、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A、B、C区域的概率分别为P（A）=0.4，
P（B）=0.25，P（C）=0.2，没有中靶的概率为P（D）.
（1）求P（D）；
求击中A区或B区的概率；
（3）该射手共射击三次，
求恰有两次击中A区的概率.
高三数学理试题第8页
高三数学理试题 第9页
18．（本小题满分12分）
解关于x 的不等式1|232|≥---a
x a x .
高三数学理试题第10页
19．（本小题满分12分）
已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2
sin ,2(cos C C =， )2sin ,2(cos C C -=，且与的夹角为.3
π （1）求角C 的值；
（2）已知2
7=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.
20．（本小题满分12分）
各项均为正数的数列{}n
a ，对于任意正整数n ，都有.22n n n a a S +=
（1）求证数列{}n a 是等差数列；
（2）若数列{}n b 满足n n n a b 2⋅=，求数列{}n
b 的前n 项和.n
T
21．（本小题满分12分） 已知函数t R x x x t x g ,,)2(4)2(2)(3
∈---=为常数，函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称. （1）求)(x f 的解析式； （2）是否存在常数),4[+∞∈t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.
22．（本小题满分14分）
在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若点G 满足2
1=，问是否存在不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点
M 、N ，是||||NG MG =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，说
明理由.
福州市2004—2005学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）参考答案
一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题
13．103；14．3
2m ；15．12+π；16．（2）（3） 三、解答题
17．解：（1）
415.02
.025.04.01)
()()(1)('=---=---=C P B P A P D P
（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65
答：击中A 区或B 区的概率为
0.65…………………………8′ （3）288.0)4.01()4.0(22
3=-=C P
答：恰有两次击中A 区的概率为0.288…………………………12′
18．解法1：
由原不等式得
1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x a x ……（2）……2′
由（1）得：
0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或
3+≥a x ………………6′
由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-a
x a x 解
得1+≤<a x a …………………………………………
10′ ∴ 原不等式的解为
a x <或1+≤<a x a 或
3+≥a x …………………………12′ 解法2：由原不等式
得⎩⎨⎧-≥--≠|
||232|a x a x a x ……………………………………2′
⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x a x ⇒0)()232(22≥⎩⎨⎧----≠a x a x a x
⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x a x …………………
………6′
⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0
)]1()][3([3a x a x a x ⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x a x 或…………………………………
…10′
∴
原不等式的解为a
x <或
1
+≤<a x a 或3
+≥a x …………………………12′
19
．
解
：
（
1
）
1
||||,3
cos ||||==⋅⋅=⋅且π
…………………………
2′
3
cos )2sin (2sin 2cos 2cos
π=-+∴C C C C 即
3
c o s c o s π
=C ………………4′
又
3
)
,0(π
π=
∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由
C
ab b a c cos 2222-+= 得
ab b a -+=224
49
………………①
由
6sin 2
1
=⋅=
∆ab c ab S 得………………
②………………………………10′ 由（1）（2）得4
121)
(2
=
+b a a 、+
∈R b
2
11
=
+∴b a …………………………………………
……………………12′ 20．解：（1）当
1
=n 时，1
2112a a a +=
1
11=∴>a a ……………………1′
当2≥n 时，)
(2212
121---+-+=-n n n n n n
a a a a S S
1
2
122---+-=⇒n n n n n a a a a a ………………………………
………………3′
)
())((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a
由已知得0
1≠+-n n
a a
1
1=-∴-n n
a a
（常数）
∴
数列}{n
a 是首项为1，公差为1的等差数
列…………………………6′ （2）由（1）得n
n n
n b n
a 2⋅=∴=
n
n n T 22322232⋅++⋅+⋅+= ……………………………
………8′ 21
43222)1(23222+⋅+-++⋅+⋅+=n n n
n n T
两式相减
得
－
1
3222222+⋅-++++=n n n n T …………………………10′
1
1
2)21(222
1)
21(2++⋅---=⋅---=n n n n n n
2
2)1(1+⋅-=∴+n n n T ……………………………………
………………12′
21．解：（1）设),(y x P 是)(x f y =图象上任一点，点P 关于直线1=x 的对称点为),2(y x P -'， 由已知点
P '
在
)
(x g y =的图象上……………………2′ 3
3
42)]2(2[4)]2(2[2)2(x tx x x t x g y -=-----=-=∴
即
3
42)(x tx x f -=…………………………………………
……4′
（2）当),4[],1,0(+∞∈∈t x 时
2
122)(x t x f -='，由
)(='x f 得
6
0t x ±
=……………………6′
当6
0t x <<时)(,0)(x f x f >'在（0，
6
t ）内单调递增；
当6
t x >时)(,0)(x f x f <'在（
6
t ，+∞）内单调递减；
6t x =
∴是)(x f 的极大点.…………………………
8′ 若
16
<t
，即64<≤t 时，)(x f 在（0，1]上只有一个
极值，即为最大值.
8)6
(
)(max ==∴t
f x f 解得6=t
此时不存在满足要求的t
值.………………………………10′ 若16
≥t ，即6≥t 时，)(x f 在（0，1]上单调递增.
8
42)1()(max =-==∴t f x f ∴6=t
综上，存在常数6=t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8………………12′
22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以
直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为：
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x ……………………2′
双曲线过点c ，2||||2=-=∴a ,1=∴a 又3
,2222
=-=∴=a c b
c
∴
双曲线方程为
1
3
2
2
=-y x ………………6′
（2）依题意，可设直线l 方程为)0(≠+=k m kx y 由
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+=132
2y x m kx y 得
)3(2)3(222=+---m kmx x k ……………………8′
∵直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设M
（),(),,2
2
1
1
y x N y x
)3)(3(44,0322222>+-+=∆≠-∴m k m k k 且
解得：3
,322->±
≠k m k 且……………………①
2
213k km
x x -=
+…………………………9′
又设MN 中点为
F （
)
,00y x ，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=-=+=2002210333)(21k m m kx y k km x x x ……………………10′ 由已知得
G （0，3），又
k
x y l GF 1
3,|
|||00-=-⊥∴=即
消去0
x 、0
y 得
4
392
k m -=
……………………②
把
②
代
入
①
得
（
3)4
3922
2->-k k ………………………………
12′ 解得0
3
4333343≠><<--
<k k k k 但或或
综上：存在直线l ，它的斜率取值范围为
),3
43()0,3()343,(+∞⋃-⋃-
-∞∈k
…………………………………………14′。