普陀区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(1)

普陀区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．8
D ．﹣8
2． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关
3． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）
A.x y e -=
B.3
y x = C.ln y x = D.y x = 4． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ） A ．（﹣1，2]
B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
5． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则
()()
21
0x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()()11-∞-+∞，
，
C ．()1-∞-，
D ．()1+∞，
6． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定
7． 已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5），则向量在方向上的投影为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
8． 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，则log 2
（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
9． 设为虚数单位，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．三个数a=0.52，b=log 20.5，c=20.5之间的大小关系是（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a
11．已知双曲线的方程为﹣
=1，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
或 D ．
或
12．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )
A5 B4 C3 D2 二、填空题
13．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC=5，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．
14． 设函数()x
f x e =，()ln
g x x m =+．有下列四个命题：
①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；
②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2
ln 2m e <-；
③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22
e
m <
-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.
15．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
16．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号）
①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
17．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数
a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 18
由表中数据算出线性回归方程为=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
三、解答题
19．已知p ：x ∈A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0，x ∈R}，q ：x ∈B={x|x 2﹣2mx+m 2﹣4≤0，x ∈R ，m ∈R} （1）若A ∩B=[0，3]，求实数m 的值；
（2）若p 是￢q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
20．已知f （x ）=lg （x+1）
（1）若0＜f （1﹣2x ）﹣f （x ）＜1，求x 的取值范围；
（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，g （x ）=f （x ），求函数y=g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数．
21．.已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
22．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0
（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．
23．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面
积．
24．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的
最小值和最大值．
普陀区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵f （x+4）=f （x ）， ∴f （2015）=f （504×4﹣1）=f （﹣1）， 又∵f （x ）在R 上是奇函数， ∴f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2．
故选B ．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得； 甲得分的众数为a=85， 乙得分的中位数是b=85； 所以a=b ． 故选：C ．
3． 【答案】B
【解析】
试题分析：对于A ，x y e =为增函数，y x =-为减函数，故x y e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B.
考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
4． 【答案】C
【解析】解：由f （x ）=x 2﹣6x+7=（x ﹣3）2
﹣2，x ∈（2，5]． ∴当x=3时，f （x ）min =﹣2．
当x=5时，
．
∴函数f （x ）=x 2
﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是[﹣2，2]． 故选：C ．
5． 【答案】B 【解析】
试题分析：由
()()()()()2121
02102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()
()11-∞-+∞，，．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 6． 【答案】C
【解析】解：由点P （x 0，y 0）在圆C ：x 2+y 2=4外，可得x 02+y 02
＞4，
求得圆心C （0，0）到直线l ：x 0x+y 0y=4的距离d=＜=2，
故直线和圆C 相交， 故选：C ．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
7． 【答案】D
【解析】解：∵；
∴
在
方向上的投影为
==
．
故选D ．
【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．
8． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=+6x ﹣1，可得f ′（x ）=x 2﹣8x+6，
∵a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，
∴a 2014，a 2016是方程x 2
﹣8x+6=0的两实数根，则a 2014+a 2016=8．
数列{a n }中，满足a n+2=2a n+1﹣a n ， 可知{a n }为等差数列，
∴a 2014+a 2016=a 2000+a 2030，即a 2000+a 2012+a 2018+a 2030=16， 从而log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）=log 216=4． 故选：C ．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．
9． 【答案】C
【解析】【知识点】复数乘除和乘方
【试题解析】
故答案为：C
10．【答案】A
【解析】解：∵a=0.52=0.25，
b=log20.5＜log21=0，
c=20.5＞20=1，
∴b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
11．【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，
焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，
离心率e=．
焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，
离心率e==．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
12．【答案】C
【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.
二、填空题
13．【答案】5．
【解析】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，
∵CD⊥BC，∴CD∥AE，
∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，
在RT△ACE，CE===，
由得BC=2CE=5，
在RT△BCD中，BD===10，
则AD=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．
14．【答案】①②④
【解析】
15．【答案】6．
【解析】解：双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，即为：
﹣=1，
可得a=3，
则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．16．【答案】①③④
【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
17．【答案】2
【解析】
18．【答案】 ．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8， =（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以
=
x ﹣
，
当x=8时，y=
，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：
．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由已知得：A={x|﹣1≤x ≤3}， B={x|m ﹣2≤x ≤m+2}． （1）∵A ∩B=[0，3]
∴
∴，
∴m=2；
（2）∵p是¬q的充分条件，∴A⊆∁R B，
而C R B={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}
∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，
∴m＞5，或m＜﹣3．
20．【答案】
【解析】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则
由解得：﹣1＜x＜1．
由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，
∵x+1＞0，
∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，
∴．
由，得：．
（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3﹣10y，
∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．
21．【答案】
【解析】解：（1）因为f（x）为R上的奇函数
所以f（0）=0即=0，
∴a=1 …
（2）f（x）==﹣1+，在（﹣∞，+∞）上单调递减…
（3）f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0⇔f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k），
又f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，
∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，
即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，
∴k＜﹣．…（利用分离参数也可）．
22．【答案】
【解析】解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0
⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；
当a=1时，p：1＜x＜3；
命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；
故x的取值范围是[2，3）
（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；
∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1＜a＜2
∴实数a的取值范围是（1，2）．
【点评】考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2
x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，
函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，
（Ⅱ）∵f（A）=2
∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…．
又∵0＜A＜π，∴A=．…
∵a=，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…
∵sinB=2sinC∴b=2c ②…
由①②得c2=．…
∴S△ABC=．…
24．【答案】
【解析】解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：
于是f（θ）===2
（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，
其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．
因为P∈Ω，所以0≤θ≤，
∴f（θ）==，
且，
故当，即时，f（θ）取得最大值2；
当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．
【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．。