全国数学能力竞赛试题及答案

全国数学能力竞赛试题及答案
试题一：代数基础
题目：解下列方程组：
\[ \begin{cases}
x + y = 5 \\
2x - y = 1
\end{cases} \]
答案：将第一个方程乘以2得到 \( 2x + 2y = 10 \)，然后将其与第
二个方程相加，得到 \( 3x = 11 \)，解得 \( x = \frac{11}{3} \)。

将 \( x \) 的值代入第一个方程，解得 \( y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{4}{3} \)。

试题二：几何问题
题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长度。

答案：根据勾股定理，AB的长度可以通过以下公式计算：
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
试题三：概率统计
题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少
有1个红球的概率。

答案：首先计算没有红球的概率，即两个球都是蓝球的概率，为
\( \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{56} \)。

因此，至少有1个红球的概率为 \( 1 - \frac{6}{56} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28} \)。

试题四：数列与级数
题目：数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \) 且 \( a_{n+1} = 2a_n \)，求 \( a_5 \) 的值。

答案：根据数列的递推关系，可以依次计算出：
\[ a_2 = 2a_1 = 2 \]
\[ a_3 = 2a_2 = 4 \]
\[ a_4 = 2a_3 = 8 \]
\[ a_5 = 2a_4 = 16 \]
试题五：组合数学
题目：从10个人中选出3个人组成一个委员会，求不同的委员会组合数。

答案：根据组合数的计算公式，从10个人中选出3个人的方法数为：\[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9
\times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]
结束语：
本次全国数学能力竞赛试题涵盖了代数、几何、概率统计、数列与级数以及组合数学等多个领域，旨在考查参赛者的数学综合能力。

希望每位参赛者都能发挥出自己的最佳水平，取得优异的成绩。