临江市第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

临江市第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）
A ．3y x =
B ． 21y x =-+
C ．||1y x =+
D ．2x y -=
2． 若f （x ）为定义在区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1），总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）
+（1﹣λ）f （x 2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ） ①f （x ）
=
，②f （x ）
=
，③f （x ）
=
，④f （x ）
=
．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3． 执行如图的程序框图，如果输入的100N =， 则输出的x =（ ）
A ．0.95
B ．0.98
C ．0.99
D ．1.00
4． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ） A ．（0，10） B
．（
，10）
C
．（
，+∞）
D ．（0
，
）∪（10，+∞） 5．
函数
是（ ）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
6． 已知直线l 1：（3+m ）x+4y=5﹣3m ，l 2：2x+（5+m ）y=8平行，则实数m 的值为（ ）
A ．﹣7
B ．﹣1
C ．﹣1或﹣7 D
．
7． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B
．
C
．
D ．1
8．
定义行列式运算：
．若将函数
的图象向左平移m
（m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A
． B
．
C
．
D
．
9． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
，若
﹣
+1=0，则角B 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
10．若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）
=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，1]
B ．[0，1]
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
11．若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0
D ．0＜a ＜1且b ＜0
12．函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞
二、填空题
13．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +
），向量=（0，1），θn 是向量
与i 的夹角，则
+
+…+= ．
14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ．
15．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin
2
，则该数列的前16项和为 ．
16．已知α为钝角，sin （
+α）=，则sin （
﹣α）= ．
17．已知直线：043=++m y x （0>m ）被圆C ：062222=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍，则=m .
18．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .
三、解答题
19．已知函数f （x ）=ax 2+bx+c ，满足f （1）=﹣，且3a ＞2c ＞2b ． （1）求证：a ＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f （x ）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点，求|x 1﹣x 2|的取值范围．
20．在数列中，，
，其中
，
．
（Ⅰ）当
时，求
的值；
（Ⅱ）是否存在实数
，使
构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；
（Ⅲ）当时，证明：存在，使得．
21．已知在等比数列{a n }中，a 1=1，且a 2是a 1和a 3﹣1的等差中项．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）若数列{b n }满足b 1+2b 2+3b 3+…+nb n =a n （n ∈N *
），求{b n }的通项公式b n ．
22．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c=asinC ﹣ccosA ．
（1）求A ；
（2）若a=2，△ABC 的面积为，求b ，c ．
23．已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程．
24．（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（α为参数），经过伸缩变
换
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
后得到曲线
2
C．
（1）求曲线
2
C的参数方程；
（2）若点M的在曲线
2
C上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．
临江市第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：函数3y x =为奇函数，不合题意；函数21y x =-+是偶函数，但是在区间()0,+∞上单调递减，不合题意；函数2x y -=为非奇非偶函数。

故选C 。

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。

2． 【答案】C
【解析】解：由区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1）， 总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2），
等价为对任意x ∈G ，有f ″（x ）＞0成立（f ″（x ）是函数f （x ）导函数的导函数），
①f （x ）=的导数f ′（x ）=，f ″（x ）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故①为“上进”函数；
②f （x ）=的导数f ′（x ）=
，f ″（x ）=﹣•
＜0恒成立，故②不为“上进”函数；
③f （x ）=的导数f ′（x ）=
，f ″（x ）=
＜0恒成立，
故③不为“上进”函数；
④f （x ）=
的导数f ′（x ）=
，f ″（x ）=
，当x ∈（2，3）时，f ″（x ）＞0恒成立．
故④为“上进”函数． 故选C ．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
3． 【答案】C 【解析】111112233499100x =
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111199(1)()()()2233499100100
=-+-+-+⋅⋅⋅+-=．
4． 【答案】D
【解析】解：因为f （x ）为偶函数，所以f （x ）=f （|x|），
因为f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）内单调递增，
由f （﹣1）＜f （lg x ），得|lg x|＞1，即lg x ＞1或lg x ＜﹣1，解得x ＞10或0＜x ＜．
故选：D ． 【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础
题．
5．【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos（2x+）=﹣sin2x．
所以函数的周期为：=π．
因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
6．【答案】A
【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
7．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos（45°﹣15°）
=cos30°
=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8．【答案】C
【解析】解：由定义的行列式运算，得
=
==
=．
将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，
所得图象对应的函数解析式为．
由该函数为奇函数，得，
所以，则m=．
当k=0时，m有最小值．
故选C．
【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．
9．【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有：=，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即﹣1=，
整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
又∵A+B+C=180°，
∴sin（B+C）=sinA，
可得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=，
则B=60°．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
10．【答案】D
【解析】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，
∴单调间区间为[a，+∞）
又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴a≤1
∵函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，
∵g（x）=在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a＞2，或﹣a＜1，
即a＜﹣2，或a＞﹣1，
综上得a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，
故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．
11．【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x
﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0
﹣b ﹣1＜0，
即a ＞1，b ＞0， 故选：B
12．【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
（1）
（2）
考点：1
、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题
.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数
()y f x
=零点个数就是方程
()
0f
x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）
可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()
(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：点An （n ，
）（n ∈N +
），向量=（0，1），θn 是向量
与i 的夹角，
=
，
=
，…， =，
∴++…+=+…+=1﹣=，
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【答案】．
【解析】解：∵数列{S n}是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n．
故a1=s1=3，n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=3n﹣3n﹣1=2•3n﹣1，
故a n=．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an 的关系，属于中档题．
15．【答案】546．
【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，．
∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16）
=（1+2+...+8）+（2+22+ (28)
=+
=36+29﹣2
=546．
故答案为：546．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【答案】﹣．
【解析】解：∵sin（+α）=，
∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]
=sin（+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜﹣，
∴sin
（﹣α）＜0， ∴sin
（﹣α）=
﹣
=
﹣
=
﹣
，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
17．【答案】9
【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.
18．【答案】 6,12
,2,n n a n n n n *
=⎧⎪
=+⎨≥∈⎪⎩N
【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11:6n a ==；
()()()
123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
故2
2:n n n a n
+≥=
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵f （1）=a+b+c=﹣， ∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b，
故3a＞0，2b＜0，
从而a＞0，b＜0，
又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0，∴3＞﹣3﹣＞2，
即﹣3＜＜﹣．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c．
下面对c的正负情况进行讨论：
①当c＞0时，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0
所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0
所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；
综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点
∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根．
故x1+x2=﹣，x1x2===
从而|x1﹣x2|===．
∵﹣3＜＜﹣，
∴|x1﹣x2|．
【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．
20．【答案】
【解析】【知识点】数列综合应用
【试题解析】（Ⅰ），，．
（Ⅱ）成等差数列，，
即，
，即．
，．
将，代入上式，解得．
经检验，此时的公差不为0．
存在，使构成公差不为0的等差数列．
（Ⅲ）,
又，令．
由，
，
……
，
将上述不等式相加，得，即．
取正整数，就有
21．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项得：
2a2=a1+a3﹣1，∴，
∴2q=q2，∵q≠0，∴q=2，
∴；
（2）n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n，得b1=a1=1．
n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n ①
b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1②
①﹣②得：．
，
∴．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．
22．【答案】
【解析】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，
又，sinC≠0，
所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，
所以A=；
（2）S
△ABC =bcsinA=
，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，即4=b 2+c 2﹣bc ， 即有
，
解得b=c=2．
23．【答案】
【解析】解：由题意可设抛物线的方程y 2
=2px （p ≠0），直线与抛物线交与A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
联立方程可得，4x 2
+（4﹣2p ）x+1=0
则
，，y 1﹣y 2=2（x 1﹣x 2）
=
=
=
=
解得p=6或p=﹣2
∴抛物线的方程为y 2=12x 或y 2
=﹣4x
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用
24．【答案】（1）3cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（为参数）；（2【解析】
试
题解析：
（1）将曲线1cos :sin x C y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数），化为
221
x y
+=，由伸缩变换
3
2
x x
y y
'=
⎧
⎨'
=
⎩
化为
1
3
1
2
x x
y y
⎧'
=
⎪⎪
⎨
⎪'
=
⎪⎩
，
代入圆的方程
2
11
1
32
x y
⎛⎫⎛⎫
''
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，得到
()()
22
2
:1
94
x y
C
''
+=，
可得参数方程为
3cos
2sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
；
考点：坐标系与参数方程．。