高中数学同步导学---(102)三个二次及其关系

第一讲 一元二次方程
（一）、一元二次方程的解法：
【基础知识】
1. 直接开平方法: 方程n m x =+2)(,(n>0)的解是________________.
2．配方法：用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的基本思路是：
∵a ≠0，方程两边同时除以a 得_______________________，
移项得_________________, 配方得（x +___）2=________ 当___________时，原方程的解为 2,1x =_______________ 3．求根公式法：
4．因式分解法：如ax 2+bx =0可化为_________________
5．十字/交叉相乘法：依据 211221221)(c c x c a c a x a a +++=())(2211c x a c x a ++
规律：左左相乘得到二次项；右右相乘得到常数项；交叉相乘之和得到中间项；
口诀：斜着乘，横着加，放进括号乐开花。

【典型习题】
1．用适当的的方法解下列方程：
(1) x 2-2x+1=0 （2） x 2=3x （3）3（x －5）2=x （5－x ）；
（4）3x 2－8x +2=0 （5）x 2 —（23+）x +6=0
2．用十字/交叉相乘法解下列方程
（1）x 2 + 3x + 2 =0 （2）x 2 - 9x + 18=0
（3）x 2 +7x - 18=0 （4） x 2 - 2x - 15=0
（5） 3x 2 - 11x +6=0 （6） 6x 2 -5x -4=0
（二）、一元二次方程根的判别式及其应用：
【基础知识】
△=________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，
当_________时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；
当_________时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；
当_________时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。

【基础训练】
1．若方程x2－2x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围是（）
A．m >0 B．m ≥0 C．m >2 D．m < 0
2．如果方程x2+k2－16=0与x2－3k+12=0有相同的实数根，那么k的值是（）A．－7 B．－7或4 C．－4D．4
3．若关于x的一元二次方程kx2－2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
4．若方程2x2－（2m+1）x+m=0的根的判别式Δ=9，则m为（）
A．2 B．－1 C．2或－1 D．－2或1
5．已知关于x的方程（2m－1）x2－8x+4=0有两个实数根，则非负整数m的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0、1、2
6．对任意实数m，关于x的方程（m2+1）x2－2mx+m2+4=0一定（）A．有两个不相等的实数根 B．无实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
7．若集合｛x| kx2+2x－1=0｝= ，则k的取值范围是___________________．
8．不解方程，判别关于x的方程x2－2kx+（2k－1）=0的根的情况．
9．已知集合A={x| (m－2)x2－2(m－1)x+m +1=0}，问当m为何非负整数时
（1）集合A中只有一个元素；（2）集合A中有两个元素．
（三）、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
【基础知识】
如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个根，那么 x 1+x 2=________ , x 1x 2=________.
特例：如果x 1，x 2是方程02=++q px x 的两个实根，那么 x 1+x 2=________ , x 1x 2=________. 【基础训练】
1．以3和－5为根的一元二次方程是（ ）
A ．x 2－2x －15=0
B ．x 2－2x +15=0
C ．x 2+2x －15=0
D ．x 2+2x +15=0
2．两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A ．7x 2－12x+5=0
B ．6x 2－13x －5=0
C ．4x 2+21x+5=0
D ．2x 2+3x+5=0
3、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个
根是 ，a 的值为 。

4、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。

5、已知12,x x 是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么
2
11
1x x + ； 2212x x + = ； ｜12x x -｜= ； (2x 1－3)(2x 2－3)=_____．
第二讲：二次函数
（一）基础知识回顾：
1. 函数y =0)c(a bx ax 2
≠++叫做_____________函数,它的图像是_____________. 2．抛物线y ＝ax 2
(a ≠0)的顶点是_______，对称轴方程是_______.
3. 二次函数y=0)c(a bx ax 2
≠++通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+_____)2
+________。

二次函数f(x)=0)c(a bx ax 2
≠++图像的对称轴方程是__________,顶点坐标是________. 当a>0时，图像开口______，当x=_______时，函数取得最_____值___________ 当a<0时，图像开口______，当x=_______时，函数取得最_____值___________
4.抛物线)0a )(x x )(x x (a y 21≠--=与x 轴的交点是________________,对称轴方程是______,
5.抛物线k )h x (a y 2
++=的对称轴方程是____________,顶点坐标是___________。

（二）例题分析：
例1．如果抛物线的顶点坐标是（3，－1）且过（0，－4），则它的解析式是（ ）
A ．y ＝31x 2－2x －4
B ．y ＝－31
x 2＋2x －4
C ．y ＝－3
1
（x ＋3）2－1 D ．y ＝－x 2＋6x －12
例2.（2003春招北京理科）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
（三）基础训练：
1．抛物线y ＝2x 2
－4x ＋7的顶点坐标是（ ）
A ．（－1，13）
B ．（－1，5）
C ．（1，9）
D ．（1，5）
2．直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝2x 2的交点坐标是（ ）
A ．(1,2)
B ．(－21,21)
C ．(2,1)
D ．(1,2)、(－21,2
1
)
3．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图1所示，
则a 、b 、c 的符号是（ ）
A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
B ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
4．将一个二次函数向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得到的函数图象解析式
为y ＝21
x 2，则这个函数的解析式为（ ）
A ．y ＝21(x ＋3)2－2
B ．y ＝21(x －3)2－2
C ．y ＝21(x ＋3)2＋2
D ．y ＝2
1
(x －3)2＋2
5．（2003北京春招理科）函数)
1(11)(x x x f --=的最大值是( )
A ．54
B ．45
C ．43
D ．3
4
6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （－1，0），B （1，2），C （3，－4）． 则此函数的解析式是_______________．
2015—2016学年度 高一数学 同步导学 《必修一》 三个二次及其关系 海南省保亭中学 王 生
第三讲： 一元二次不等式
（一）基础知识：
1. 一元一次不等式的解法：（依据、步骤、注意的问题，利用数轴表示）
2. 一元一次不等式组的解法（口诀）：大大取大，小小取小，小大大小取中间，小小大大是空集。

3.一元二次不等式的解法： 设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2
-=∆，则
（注：a > 0且0>∆时，不等式的解集可简记为：小在中间，大在两边）
4.区间（区间是不等式解集的简单表示方法）：设a,b 是两个实数，而且a<b, 规定：
（1)满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合{x |a ≤x ≤b }叫做闭区间，表示为[a,b]； （2)满足不等式b x a <<的实数x 的集合{x |a <x <b }叫做开区间，表示为
(a,b)；
（3)另外 {x |a ≤x <b }=[,)a b ，{x |a <x ≤b }=(,]a b ，{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞
{|}(,)x x b b <=-∞， {|}(,]x x b b ≤=-∞， (,)R =-∞+∞.
符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.
（二）例题分析：
例1．(2009福建理)已知全集U=R ，集合2
{|20}A x x x =->，则A C U 等于（ ）
A ．{ x ∣0≤x ≤2}
B ．{ x ∣0<x<2}
C ．{ x ∣x<0或x>2}
D ．{ x ∣x ≤0或x ≤2}
例2．（2005全国卷Ⅱ理）已知集合M={x∣2x -3x -28 ≤0},N = {x|2
x -x-6>0}，则M∩N 为（ ） （A ）{x|- 4≤x< -2或3<x≤7} （B ）{x|- 4<x≤ -2或 3≤x<7 } （C ）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D ）{x|x<- 2或x≥3}
例3. (2014全国大纲理)设集合2
{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （ ）
A ．(0,4]
B ．[0,4)
C ．[1,0)-
D ．(1,0]-
（三）基础训练：
1. (2014江西文)设全集为R ，集合2
{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B = ( )
.(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -
2.(2014全国新课标Ⅰ理)已知集合A={x |2
230x x --≥}，B={}
22x x -≤<，则A B ⋂=( )
A.[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）
3、(2013全国新课标Ⅰ理) 已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( )
A 、A ∩B=∅
B 、A ∪B=R
C 、B ⊆A
D 、A ⊆B
4．(2013上海文、理) 设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若
A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）
(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞
(D) [2,)+∞
5．(2013浙江理) 设集合{}}043|{,2|2≤-+=->=x x x T x x S ，则(=⋃T S R )( )
（A ）]21(- （B ）]4,(--∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),1[+∞
6． (2010山东文)已知全集U R =，集合{}
2
40M x x =-≤，则U C M =（ ）
A. {}
22x x -<< B. {
}22x x -≤≤ C ．{}22x x x <->或 D. {}22x x x ≤-≥或
7.(2012重庆理)不等式
01
21
≤+-x x 的解集为（ ） A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝
⎛
-∞-,121,
8．(2011广东文)不等式2
210x x -->的解集是（ ） A ．1(,1)2-
B ．(1,)+∞
C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞
D ．1
(,)(1,)2
-∞-⋃+∞
9.(2013重庆文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )
A .52 B.72 C.154 D.152
10.(2004全国卷Ⅱ文、理)已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2
－2x －3＜0},则集合M ∩N ＝( )
（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}
11..（2005北京春招理）
若关于x 的不等式02
>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是______________； 若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是______________。

12.(2012福建文)已知关于x 的不等式x 2-ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_____。

13. (2015广东文)不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）
集合与“三个二次”综合练习题
1．方程（x －3）2=3－x 的根是( )
A ．x =2
B ．x =4
C ．x =3
D ．x =2或x =3
2．关于x 的方程x 2-mx+m+3=0有两个负实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜0 B ．m ＞-3 C ．-3＜m ＜0 D ．-3＜m ≤-2
3．若a ＜0、b ＞0、c ＞0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是（ ）
4．(2014四川理)已知集合2
{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=( )
A ．{1,0,1,2}-
B ．{2,1,0,1}--
C ．{0,1}
D ．{1,0}-
5．(2012浙江理)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝（ ）
A ．(1，4)
B ．(3，4)
C ．(1，3)
D ．(1，2)
6. (2010江西理)不等式x
x x 2
2-x ->
的解集是（ ） A. (02)，
B. (0)-∞，
C. (2)+∞，
D. (0)∞⋃+∞（-，0），
7. (2015山东理)已知集合{}
2
430A x x x =-+<，{}
24B x x =<<,则A B = （ ）
（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）
8．(2009北京文)设集合21
{|2},{1}2
A x x
B x x =-
<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1
{|1}2
x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<
9. (2015山东文)已知集合A={x|2<x<4}，B={x|（x-1）（x-3）<0}，则A ⋂B=( ) （A ）（1,3） （B ）（1,4） （C ）（2,3） （D ）（2,4）
10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2所示，这个
二次函数的解析式是________， 11．已知抛物线y ＝mx 2＋2（m ＋2）x ＋m ＋3与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是________．
12．(2011上海文)不等式1
1x
<的解集为 。

13．(2008江苏)A={()}2
137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 _______ ．
14、不等式ax 2
+2x-3 > 0的解集为∅，则a 的取值范围是__________________.
15．（2007山东文）当(12)x ∈，时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ______ ．
16、若不等式ax 2
+bx+2>0的解集为{x|—
21<x<3
1
}，则a+b=_____________.
17．已知方程x 2－3x+m=0有两个正根，则m 的取值范围是______________．
18．已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，则（a －1）（b －1）=__________．
19．(2005全国卷Ⅰ文科)已知二次函数)(x f 的二次项系数为a,且不等式x x f 2)(->的解集为(1，3). （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
20.（2001春招北京、内蒙古、安徽文、理）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润=（出厂价–投入成本）⨯年销售量．
（Ⅰ）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？
【参考答案】
第一讲 一元二次方程
（一）、一元二次方程的解法：
【典型习题】
1．用适当的的方法解下列方程：
(1)121x x == （2）120,3x x == （3）12155,2
x x ==
（4）1x =
，2x =（5）12x x ==
2．用十字/交叉相乘法解下列方程
（1）121,2x x =-=- （2）123,6x x == （3）122,9x x ==-
（4）125,3x x ==- （5）122,33x x =
= （6）1214,23
x x =-=
（二）、一元二次方程根的判别式及其应用：
【基础训练】
1．A ． 2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．D ． 6．B ． 7.｛k|k<-1｝.
8．24(k 1)∆=-, 当k=1时方程有两个相等的实数根，
当k ≠1时方程有两个不相等的实数根，
9．（1）若m=2,则集合A=32⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，此时A 中只有一个元素，
若m ≠2,但4(3)0m ∆=-+=，即m=3,则集合A={}2，此时A 中也只有一个元素； 所以，当m=2,或者m=3时，A 中只有一个元素；
（2）要使集合A 中有两个元素．须有 4(3)0m ∆=-+>且m ≠2,
解得m<3且m ≠2, 符合条件的非负整数有m=0,或者m=1 所以，当m=0,或者m=1时，A 中有两个元素；
（三）、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
【基础训练】
1．C ． 2．C ． 3、-1 ， 4
5、34 ； 254 2
；10 ．
第二讲：二次函数
（二）例题分析：
例1. B ．
例2.本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力..
解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为1250
30003600=-，所以这时租出了
88辆车.
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为
5050
3000
)150)(503000100()(⨯-----
=x x x x f ， 整理得
307050)4050(50
1
2100016250)(22+--=-+-=x x x x f
所以，当x =4050时，
)(x f 最大，最大值为307050)4050(=f ，
（三）基础训练：
1．D ． 2．D ． 3．A ． 4．D ． 5．D ． 6．22y x x =-++ ．
第三讲： 一元二次不等式
（二）例题分析：
例1．A ． 例2．（A ） 例3. B ．
（三）基础训练：
1. A.
2.A 3、B 、 4. B 5．C 6．C ． 7.A . 8．D 9.A 10. C 11.. ()4,0- ，()
,62,-∞-+∞⎤⎡⎦⎣ ； 12.()0,8； 13. ()
4,01-
集合与“三个二次”综合练习题
1．D ． 2．D ． 3．A ． 4．A ． 5．B ． 6. A. 7. C 8．A ． 9.C
10．22y x x =- ， 11. ()4,0(0,)-+∞ ； 12.()(),01,-∞+∞ ； 13. 0 ；
14、1,3
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
； 15. ()
,5-∞- ； 16. -14 ；17. 90,4⎛⎤ ⎥⎝
⎦
； 18. 1 ；
19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.
解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为
>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f .3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①
2015—2016学年度 高一数学 同步导学 《必修一》 三个二次及其关系 海南省保亭中学 王 生
第11页 （共11页） 由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②
因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，
即 .5
11.
01452-===--a a a a 或解得 由于5
1.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式 .5
35651)(2---=x x x f （Ⅱ）由a
a a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02a
a a x f a ++-<的最大值为可得 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞
20. 本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ，
整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y ．
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
⎩
⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y 即 ⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x 解不等式得 3
10<<x ． 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x ．。