精品数学 高中数学人教A版选择性必修三第八章 §8.2 一元线性回归模型及其应用

§8.2 一元线性回归模型及其应用
学习目标 1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义.2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
知识点一 一元线性回归模型
称⎩
⎪⎨⎪⎧
Y ＝bx ＋a ＋e ，
E (e )＝0，D (e )＝σ2为Y 关于x 的一元线性回归模型．其中Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是Y 与bx ＋a 之间的随机误差，如果e ＝0，那么Y 与x 之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 知识点二 最小二乘法
将y ^
＝b ^
x ＋a ^
称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b ^
，a ^
叫做b ，a 的最小二
乘估计，其中b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x )2
，a ^＝y －b ^
x 思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的某一点吗？ 答案 不一定．
思考2 点(x ，y )在经验回归直线上吗？ 答案 在．
知识点三 残差与残差分析 1．残差
对于响应变量Y ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y ^
称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 知识点四 对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法
在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 2
．残差平方和法
残差平方和∑i ＝1n
(y i －y ^
i )2越小，模型的拟合效果越好．
3．R 2法
可以用R 2＝1－
∑i ＝1
n
(y i －y
^
i )2
∑i ＝1
n
(y i －y )2
来比较两个模型的拟合效果，R 2越大，模型拟合效果越好，R 2越
小，模型拟合效果越差．
思考 利用经验回归方程求得的函数值一定是真实值吗？ 答案 不一定，他只是真实值的一个预测估计值．
1．求经验回归方程前可以不进行相关性检验．( × )
2．在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( √ ) 3．利用经验回归方程求出的值是准确值．( × )
4．残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好．( √ ) 5．R 2越小，线性回归模型的拟合效果越好．( × )
一、求经验回归方程
例1 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12 y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
； (3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
参考公式：b ^
＝∑i ＝1
n
x i y i
－n x ·y ∑i ＝1
n
x 2
i
－n x 2
，a ^
＝y －b ^
x 解 (1)散点图如图所示：
(2)x ＝
6＋8＋10＋12
4
＝9，
y ＝
2＋3＋5＋6
4
＝4， ∑i ＝1
4
x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344，
∑i ＝1
4
x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
b ^
＝158－4×9×4344－4×92
＝1420＝0.7，
a ^＝y －
b ^
x ＝4－0.7×9＝－2.3， 故经验回归方程为y ^
＝0.7x －2.3.
(3)由(2)中经验回归方程可知，当x ＝9时，y ^
＝0.7×9－2.3＝4，即预测记忆力为9的同学的判断力为4.
反思感悟 求经验回归方程可分如下四步来完成 (1)列：列表表示x i ，y i ，x 2i ，x i y i . (2)算：计算x ，y ，∑
i ＝1n
x 2i ，∑i ＝1
n
x i y i .
(3)代：代入公式计算a ^
，b ^
的值．
(4)写：写出经验回归方程．
跟踪训练1 随着我国经济的发展，居民储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
(1)求y 关于t 的经验回归方程y ^
＝b ^
t ＋a ^
；
(2)用所求经验回归方程预测该地区2021年(t ＝7)的人民币储蓄存款．
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
参考公式：b ^
＝∑i ＝1
n t i y i
－n t y ∑i ＝1
n t 2
i
－n t 2
，a ^
＝y －b ^
t 解 (1)由题意可知，n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1
n t i ＝15
5
＝3，
y ＝1n ∑i ＝1
n y i ＝36
5
＝7.2.
又∑i ＝1
n
t 2i ＝55，
∑i ＝1
n
t i y i ＝120，
计算得，b ^
＝1.2，a ^
＝y －b ^
t ＝7.2－1.2×3＝3.6. 故所求经验回归方程为y ^
＝1.2t ＋3.6.
(2)将t ＝7代入y ^
＝1.2t ＋3.6，可得y ^
＝1.2×7＋3.6＝12(千亿元)， 所以预测该地区2021年的人民币储蓄存款为12千亿元． 二、线性回归分析
例2 已知某种商品的价格x (单位：元)与需求量y (单位：件)之间的关系有如下一组数据：
求y 关于x 的经验回归方程，并借助残差平方和和R 2说明回归模型拟合效果的好坏． 解 x ＝1
5×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
y ＝1
5
×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
∑i ＝1
5
x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
∑i ＝1
5
x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以b ^
＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x y
∑i ＝1
5
x 2i －5x
2
＝620－5×18×7.4
1 660－5×182
＝－1.15，
a ^
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求经验回归方程是y ^
＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：
所以∑i ＝15
(y i －y ^
i )2＝0.3，
∑i ＝1
5
(y i －y )2＝53.2，
R 2＝1－
∑i ＝15
(y i －y ^
i )2
∑i ＝1
5
(y i －y )2
≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好． 反思感悟 刻画回归效果的三种方法
(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． (2)残差平方和法：残差平方和∑i ＝1n
(y i －y ^
i )2越小，模型的拟合效果越好．
(3)R 2法：R 2＝1－
∑
i ＝1n
(y i －y ^
i )2
∑i ＝1
n
(y i －y )2
越接近1，表明模型的拟合效果越好．
跟踪训练2 为研究重量x (单位：克)对弹簧长度y (单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30 y
7.25
8.12
8.95
9.90
10.9
11.8
(1)作出散点图并求经验回归方程； (2)求出R 2; (3)进行残差分析． 解 (1)散点图如图 .
x ＝1
6
×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
y ＝1
6
×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
∑
i ＝1
6
x 2i ＝2 275，∑
i ＝1
6
y 2i ＝554.659 4，∑i ＝1
6
x i y i ＝1 076.2，
计算得，b ^
≈0.183，a ^
≈6.285， 所求经验回归方程为y ^
＝0.183x ＋6.285. (2)残差表如下：
y i －
y ^
i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025 y i －y
－2.237
－1.367
－0.537
0.413
1.413
2.313
所以∑
i ＝16
(y i －y ^
i )2≈0.013 18，
∑i ＝1
6
(y i －y )2≈14.678 3.
所以R 2≈1－0.013 18
14.678 3≈0.999 1，
所以回归模型的拟合效果很好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有，则需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与重量成线性关系． 三、非线性回归
例3 下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35 y
7
11
21
24
66
115
325
(1)作出x 与y 的散点图，并猜测x 与y 之间的关系； (2)建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预测x ＝40时y 的值．
解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数型曲线y ＝c 12e c x 的周围，其中c 1，c 2为待定的参数．
(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围，这样就可以利用经验回归模型来建立y 与x 之间的非线性经验回归方程了，数据可以转化为
x 21 23 25 27 29 32 35 z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784
求得经验回归方程为z ^
＝0.272x －3.849， ∴y ^
＝e 0.272x －3.849. 残差表如下：
y i 7 11 21 24 66 115 325 y ^
i 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325 e ^
i 0.557
－0.101
1.875
－8.950
9.23
－13.381
34.675
(3)当x ＝40时，y ^
＝e 0.272
×40－3.849
≈1 131.
反思感悟 非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型y ＝e bx ＋a
①函数y ＝e bx ＋a 的图象，如图所示；
②处理方法：两边取对数得ln y ＝ln e bx ＋a ，即ln y ＝bx ＋a .令z ＝ln y ，把原始数据(x ，y )转化为(x ，z )，再根据线性回归模型的方法求出a ，b . (2)对数函数型y ＝b ln x ＋a
①函数y ＝b ln x ＋a 的图象，如图所示；
②处理方法：设x ′＝ln x ，原方程可化为y ＝bx ′＋a ， 再根据线性回归模型的方法求出a ，b . (3)y ＝bx 2＋a 型
处理方法：设x ′＝x 2，原方程可化为y ＝bx ′＋a ，再根据线性回归模型的方法求出a ，b .
跟踪训练3为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x 12345 6
繁殖个数y 612254995190
求y关于x的非线性经验回归方程．
解作出散点图如图(1)所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y＝c e bx的周围，则ln y＝bx＋ln c.
令z＝ln y，a＝ln c，则z＝bx＋a.
x 12345 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图(2)所示．从图(2)可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合．
由表中数据得到经验回归方程为z^＝0.69x＋1.115.因此细菌的繁殖个数y关于天数x的非线性经验回归方程为y^＝e0.69x＋1.115.
1．(多选)以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是()
答案AC
解析AC中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
甲 乙 丙 丁 R 2
0.98
0.78
0.50
0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 答案 A
解析 决定系数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
3．已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的经验回归方程为y ＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( ) A ．一定是20.3%
B ．在20.3%附近的可能性比较大
C ．无任何参考数据
D ．以上解释都无道理 答案 B
解析 将x ＝36代入经验回归方程得y ＝0.577×36－0.448≈20.3，故这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.
4．由变量x 与y 相对应的一组成对样本数据(1，y 1)，(5，y 2)，(7，y 3)，(13，y 4)，(19，y 5)得到的经验回归方程为y ^
＝2x ＋45，则y ＝________. 答案 63
解析 ∵x ＝1
5(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y ＝2x ＋45，
∴y ＝2×9＋45＝63.
5．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝e bx
＋a
的周围．令z ^
＝ln y ，求得经验回归方程为z ^
＝0.25x －2.58，则该模型的非线性经验回归方程为________． 答案 y ^
＝e 0.25x
－2.58
解析 因为z ^＝0.25x －2.58，z ^
＝ln y ， 所以y ^
＝e 0.25x －2.58.
1．知识清单： (1)一元线性回归模型．
(2)最小二乘法、经验回归方程的求法．
(3)对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R 2法． 2．方法归纳：数形结合、转化化归．
3．常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误．
1．如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其R 2的值应接近于( ) A ．0.5 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D
解析 R 2越接近于1，相关程度越高，故选D.
2．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
答案 A
解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
3．工人工资y (元)与劳动生产率x (千元)的相关关系的经验回归方程为y ^
＝50＋80x ，下列判断正确的是( )
A ．劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元
B ．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C ．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D ．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元 答案 B
解析 因为经验回归方程的斜率为80，所以x 每增加1，y 平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
4．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是(
)
A ．y ＝a ·x b
B ．y ＝a ＋b ln x
C ．y ＝a ·e bx
D ．y ＝a ·e b
x
答案 B
解析 由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y ＝a ＋b ln x 模型进行拟合． 5．(多选)对于经验回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
(b ^
>0)，下列说法正确的是( ) A ．当x 增加一个单位时，y ^
的值平均增加b ^
个单位 B ．点(x ，y )一定在y ^
＝b ^
x ＋a ^所表示的直线上 C ．当x ＝t 时，一定有y ＝b ^
t ＋a ^
D ．当x ＝t 时，y 的值近似为b ^
t ＋a ^
答案 ABD
解析 经验回归方程是一个模拟函数，它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律，所以有些散点不一定在经验回归直线上．
6．某地区近10年居民的年收入x 与年支出y 之间的关系大致符合y ^
＝0.8x ＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元． 答案 12.1
解析 将x ＝15代入y ^
＝0.8x ＋0.1，得y ^
＝12.1.
7．若经验回归直线方程中的回归系数b ^
＝0，则样本相关系数r ＝________. 答案 0
解析 样本相关系数r ＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x
)2∑i ＝1
n
(y i －y )2
与b ^
＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x )2
的分子相同，
故r ＝0.
8．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y (件)与平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
时间 二月
上旬 二月 中旬 二月 下旬 三月 上旬 旬平均气温x (℃) 3 8 12 17 旬销售量y (件)
55
m
33
24
由表中数据算出经验回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
＝－2，样本点的中心为(10,38)． (1)表中数据m ＝________；
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为________件． 答案 (1)40 (2)14
解析 (1)由y ＝38，得m ＝40.
(2)由a ^
＝y －b ^
x 得a ^
＝58，故y ^＝－2x ＋58， 当x ＝22时，y ^
＝14，
故三月中旬的销售量约为14件． 9．已知变量x ，y 有如下对应数据：
x 1 2 3 4 y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x ，y 的经验回归方程． 解 (1)散点图如图所示．
(2)x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝1＋3＋4＋54＝13
4
，
∑i ＝1
4x i y i ＝1＋6＋12＋20＝39，∑i ＝1
4
x 2i ＝1＋4＋9＋16＝30，
b ^＝39－4×52×13430－4×⎝⎛⎭
⎫522＝1310，
a ^＝134－1310×5
2
＝0，
所以y ^
＝13
10
x 即为所求的经验回归方程．
10．由某种设备的使用年限x i (年)与所支出的维修费y i (万元)的数据资料算得如下结果，∑i ＝1
5
x 2i ＝
90，∑i ＝1
5
x i y i ＝112，∑i ＝1
5
x i ＝20，∑i ＝1
5
y i ＝25.
(1)求所支出的维修费y 关于使用年限x 的经验回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
； (2)①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？ 解 (1)∵∑i ＝1
5
x i ＝20，∑i ＝1
5
y i ＝25，
∴x ＝15∑i ＝1
5x i ＝4，y ＝15
∑i ＝1
5
y i ＝5，
∴b ^
＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x y
∑i ＝1
5
x 2i －5x
2
＝
112－5×4×5
90－5×42
＝1.2，
a ^
＝y －b ^
x ＝5－1.2×4＝0.2. ∴所求经验回归方程为y ^
＝1.2x ＋0.2.
(2)①由(1)知b ^
＝1.2>0，∴变量x 与y 之间是正相关． ②由(1)知，当x ＝8时，y ^
＝1.2×8＋0.2＝9.8， 即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元．
11．设两个变量x 和Y 之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是r ，Y 关于x 的经验回归方程的回归系数为b ^
，回归截距是a ^
，那么必有( ) A.b ^
与r 的符号相同 B.a ^
与r 的符号相同 C.b ^与r 的符号相反 D.a ^
与r 的符号相反
答案 A
解析 b ^
与r 的符号相同．
12．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重．据某机构预测，n (n ≥10)个城市职工购买食品的人均支出y (千元)与人均月消费支出x (千元)具有线性相关关系，且经验回归方程为y ^＝0.4x ＋1.2，若其中某城市职工的人均月消费支出为5千元，则该城市职工的月恩格尔系数约为( )
A ．60%
B ．64%
C ．58%
D ．55% 答案 B
解析 把x ＝5代入经验回归方程y ^
＝0.4x ＋1.2中，得y ^
＝0.4×5＋1.2＝3.2，则该城市职工的月恩格尔系数约为3.2
5
＝0.64＝64%，故选B.
13．(多选)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的经验回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．经验回归方程过样本点的中心(x ，y )
C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可判定其体重必为58.79 kg 答案 ABC
解析 A ，B ，C 均正确，是经验回归方程的性质，D 项是错误的，经验回归方程只能预测学生的体重，应为大约58.79 kg.
14．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm,182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm. 答案 185
解析 因为儿子的身高与父亲的身高有关，所以设儿子的身高为Y (单位：cm)，父亲身高为X (单位：cm)，根据数据列表：
X 173 170 176 Y
170
176
182
由表中数据，求得回归系数b ^
＝1，a ^
＝3. 于是儿子身高与父亲身高的关系式为Y ＝X ＋3， 当X ＝182时，Y ＝185.
故预测该老师的孙子的身高为185 cm.
15．已知变量y 关于x 的非线性经验回归方程为y ^
＝e
b ^
x －0.5
，其一组数据如下表所示： x 1 2 3 4
y
e
e 3
e 4
e 6
若x ＝5，则预测y 的值可能为( ) A ．e 5 B ．112
e C ．e 7 D ．152
e 答案 D
解析 将式子两边取对数，得到ln y ^
＝b ^
x －0.5， 令z ＝ln y ^
，得到z ＝b ^
x －0.5， 列出x ，z 的取值对应的表格如下：
x 1 2 3 4 z
1
3
4
6
则x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，z ＝1＋3＋4＋6
4＝3.5，
∵(x ，z )满足z ＝b ^
x －0.5， ∴3.5＝b ^
×2.5－0.5，解得b ^
＝1.6， ∴z ＝1.6x －0.5，∴y ^
＝e 1.6x －0.5，
当x ＝5时，y ^
＝e
1.6×5－0.5
＝152
e .
16．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
(1)求经验回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
，其中b ^
＝－20；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 解 (1)由于x ＝1
6×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
y ＝1
6×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以a ^
＝y －b ^
x ＝80＋20×8.5＝250， 从而经验回归方程为y ^
＝－20x ＋250.
(2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －8.25)2＋361.25.
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。