2022年高考复习 3.6 定积分与微积分基本定理

112
个运动过程中的平均速度是
14
=8(m/s).
课堂考点探究
[总结反思] (1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程 S 等于其速度函数
v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间 , 上的定积分,即 S=


v(t)dt.
(2)一物体在变力 F=F(x)的作用下,在位移区间 , 内所做的功 W 是函数 F=F(x)在区间
一点做变速直线运动,其速度方程是 v=t+1(v 的单
位:m/s,t 的单位:s).
(1)计算该质点在前 10 s 所走的路程;
(2)计算该质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程;
(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在
整个运动过程中的平均速度.
[思路点拨] 第(1)(2)问只要根据
x=
a ,x=
b ,y=


f(x)dx 表示由直线
0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.
3.定积分的性质
性质 1:常数因子可提到积分号前,即


(k 为常数).
kf(x)dx=
性质 2:代数和的积分等于积分的代数和,即


[f(x)±g(x)]dx=
.
性质 3:(定积分的可加性)如果积分区间[a,b]被点 c 分成两个小区间[a,c]与[c,b],则
课前双基巩固
6.曲线 y=-x2(x∈[-1,1])与 x 轴所围成的封闭图
形的面积为
.
[答案]
2
3
[解析] 所求面积 S=-
1
-1
(-x2)dx=2
1
0
2
3
x2dx= .
课前双基巩固
7.
2
0
4- 2 dx=
.
[答案]
π
[解析] 根据几何意义，画出半圆，
结合图象可求得结果.
课前双基巩固
π
8.直线 x=0,x= 2 与曲线 y=sin x,y=cos x 所围成的封闭图形的
3.6 定积分与微积分基本定理
2022年高考一轮复习
考试说明
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
教学参考
考情分析
考点
考查方向
考查热度
定积分的计算
几何意义法、微积分基本定理法
计算定积分
★☆☆
定积分的几何意义
曲边形面积
★★☆
定积分的物理意义
1- 2 dx+
2
1
(x2-1)dx,根据定积分的几何意义
1
1- 2 dx 是以原点为圆心,以 1 为半径的圆面积的 2 ,∴
π
f(x)dx=2 +
2 π 4
1 3
x -x 1 = 2 +3 ,故选
3
(2)∵y=xcos x 为奇函数,∴
3
2
-1
6
x+ x2 )dx= ,故选 D.
5
1
-1
1
-1
10
5
(t+1)dt
10
1 2 10
=2 t 5 +t 5 =42.5(m).
(3)设质点到达另一点所用的时间为 x,则根据题意有
1

0
(t+1)dt=112,即
1 2

2
+

0
=112,
即2 x2+x=112,即 x2+2x=224,又 x>0,得 x=14,即该质点到达另一点所需要的时间是 14 s,整
课堂考点探究
变式题 (1)已知 a=
a=
(2)
π


2sin 2 cos 2 dx,则
0
[答案]
2
(1)2 (2)ln 2+ln2
.
2
1
1


+ 2 dx=
.
[解析] (1) a=
=
π
π
sin xdx=-cos x
0
2 1
(ln 2+ .
ln2

2

2
2sin cos dx
0
课前双基巩固
2.
3π
0
sin xdx=
.
[答案]
2
[解析]
3π
0
2.
sin xdx = -cos x
3
0
=
课前双基巩固
3. 已知
4
1
f(x)dx=8,则
2
1
f(x)dx+
4
2
f(x)dx=
.
[答案]
8
[解析]
2
1
f(x)dx+
4
2
f(x)dx=
4
1
f(x)dx=8.
课前双基巩固
4. 直线 y=x-4、曲线 y= 2及 x 轴所围成的封闭图形的面
[答案]
1
(1)B (2)
6
[解析] (1)解方程组
2
= ,

= -1,
得
= 2,
2
则曲线 y= 与直线 y=x-1,x=1 所

= 1,
围成的封闭图形如图所示,所求的面积 S=
2
1
2 2
-x+1
1
1
dx= 2ln x- 2 x2+x
1
=(2ln 2-2+2)- 0-2 +1 =2ln 2-2 .
x 0- = .
0 4
2
12
2 6
课堂考点探究
[总结反思] (1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图;解方程得积分上、下限;
把面积表示为已知函数的定积分.
(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.
课堂考点探究
变式题 曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封
闭图形的面积为
π
4
4
3
C. +
2
π
D. +3
4
3
(xcos x+ x2 )dx 的值为 (
3
B.5
5
C.4
)
6
D.5
[思路点拨] (1)根据定积分的几
解;(2)根据奇函数的性质和定
积分的计算法则计算即可.
课堂考点探究
[答案]
(1)A (2)D
[解析] (1)根据定积分性质可得
可知,
2
-1
1
-1
f(x)dx=
1
-1


f(x)dx=
.
4.微积分基本定理
如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有 F'(x)=f(x),那么


f(x)dx=
F(b)-F(a) .
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1.
2
1
2
e
dx=
.
[答案]
[解析]
2
e2-2ln 2-e
2
1
x -
2
=e
-2ln 2-e.
1
2
x
dx=(ex-2ln x)
1
1
1
(2)设曲线 y=4 x2 在点(2,1)处的切线为 l,∵y'=2 x,∴直线 l 的斜率 k=y'|x=2=1,∴直线 l 的方
程为 y-1=x-2,即 y=x-1.当 y=0 时,x-1=0,即 x=1,所围成的封闭图形
如图所示,∴所求面积 S=
2 1 2
1
1 3 2 1 1
x
dx×1×1=
利用定积分求变速运动路程、变
力做功
★☆☆
课前双基巩固
知识聚焦
1.定积分的概念
如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n

-
个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
.
[答案]
1
6
[解析] 先根据题意画出图形,得到积分上限为 1,
积分下限为 0,直线 y=x 与曲线 y=x2 所围成的封
闭图形的面积 S=
1
0
1
1
(x-x2)dx= 2 x2-3 x3
1
1 1
1
= - = .
0 2 3 6
课堂考点探究
探究点三
定积分在物理中的应用
例 3 两点之间相距 112 m,一质点从一点出发,沿直线向另
dx= ln
π
0
=-(cos π-cos 0)=2.
2
x+
ln2
2
4 2
ln2 ln2
=ln 2+
1
课堂考点探究
探究点二
利用定积分求曲边梯形的面积
2
例 2 (1)曲线 y= 与直线 y=x-1,x=1 所围成的封闭图形的面
积为 (
A.2-ln 2
C.2+ln 2
(2)
)
B.2ln 2-
方程组,求得交点坐标,可得被积
1
2
D.2ln 2+
区间,再用定积分表示出曲线围
1
2
1
曲线 y= x2 和曲线在点(2,1)处的切线以及 x 轴围成的封
4
闭图形的面积为
[思路点拨] (1)先联立方程,组成
.
成的封闭图形的面积,即可求得
结论;(2)根据导数的几何意义确
定切线方程,再由定积分的几何
意义求解相应区域的面积.
课堂考点探究
18
8
18
8
F(x)dx=-36x-1
=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)- -
9
2
5
= .
2
5
从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为 J.
2
再见
=1
=1
f(ξi),当
n→∞时,上述和式无限接近某个 常数 ,这个常数叫作函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
作


f(x)dx,即


f(x)dx=
限,b 称为积分 上 限.
.其中 f(x)称为 被积 函数,a 称为积分 下
课前双基巩固
2.定积分的几何意义
如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,那么定积分
面积 S 的定积分表达式是
.
[答案]
S=
π
2
0
x-x dx
课堂考点探究
探究点一
1- 2 ,∈[-1,1),
例 1 (1) 设 f(x)=
则
2 -1,∈[1,2],
值为 (
π
4
2
3
1
-1
A. +
(2)
3
A. 4
2
-1
定积分的计算
f(x)dx 的
何意义、微积分基本定理求
)
π
B. +3
, 上的定积分,即 W=


F(x)dx.
课堂考点探究
36
变式题 一物体在变力 F(x)= 2 (单位:N)的
解:由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)
作用下沿力的正方向运动,求物体从 x=8 m
在[8,18]上的定积分,
处运动到 x=18 m 处这一过程中,变力对物
即
体所做的功.
积是
.
40
[答案]
3
[解析] 画出图形(图略)可知所求
的面积 S=
8
4
4
0
+
4
0
2xd2 2
3
x
3
2
2xdx+
8
4
(-4) d =
8 1
2 8 40
- (x-4) 4 = 3 .
4 2
2 2
3
x
3
2
课前双基巩固
题组二 常错题
5.
1
0
(2x+t)dx=
.
[答案]
1+t
[解析]
1
0
2
1
(2x+t)dx=(x +tx) 0 =1+t.
π
1- 2 dx= 2 ,∴
A.
xcos xdx=0,∵
1 3
-1
3 5 1 3
6
1
2
x dx= x3 -1 = ×(1+1)= ,∴ -1
5
5
5
(xcos
课堂考点探究
[总结反思] (1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.
(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,该函数的导数等于被积函数.
定积分的物理意义求解即可,第(3)
问求在[0,x]上函数 v=t+1 的定积
分,再求使得这个定积分等于 112
时的 x 值,x 的值即为质点的运动
时间.
课堂考点探究
解:(1)质点前 10 s 所走的路程 S=
10
0
10
1 2 10
(t+1)dt=2 t 0 +t 0 =
60(m).
(2)质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程 S'=