不等式常见考试题型总结

《不等式》常见考试题型总结
一、高考与不等式
高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以
及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。

不等式常与下列知识相结合考查：
①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；
②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；
③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．
二、常见考试题型
（1）求解不等式解集的题型
（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题
（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较
常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

（4）不等式求函数最值技巧一：凑项例：已知，求函数的最大值。

5
4x <
14245
y x x =-+-技巧二：凑系数
例. 当时，求的最大值。

(82)y x x =-技巧三： 分离
例. 求的值域。

2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+
技巧四：换元
例. 求的值域。

2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+技巧五：函数的单调性
（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。

）()a
f x x x
=+
例：求函数的值域。

y =
技巧六：整体代换
（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

）例：（1）已知，且，求的最小值。

0,0x y >>19
1x y
+=x y +（2）若且，求的最小值
+
∈R y x ,12=+
y x y
x
11+(3)已知且，求的最小值
+
∈R y x b a ,,,1=+y
b x a y x +
技巧七、利用转换式子
1cos sin
22
=+αα技巧八、已知x ，y 为正实数，且
x 2＋
＝1，求x 的最大值.
y 2
2
1＋y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤。

a 2＋
b 2
2
同时还应化简中y 2前面的系数为 ， x ＝x ＝x ·1＋y 21
2
1＋y 22·2＋
下面将x ，分别看成两个因式：
＋x ·≤＝＝ 即x ＝·x ≤ ＋x 2＋()22x 2＋＋2341＋y 22＋3
42
技巧九：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝
的最小值.1
ab
这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，
一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。

例：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧十：取平方
例、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝＋的最值.3x 2y （5）证明不等式
常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。

基本不等式—最值求法的题型
基础题型一：指数类最值的求法1.已知，求的最小值。

3a b +=33a b +变式1.已知，求的最小值。

23a b +=39a b +变式2.已知，求的最小值。

2x y -=1
33x y
+
变式3.已知，求的最小值。

23x y -=-1
24x y +变式4.已知点在直线上，求的最小值。

(,)x y 112y x =-1
39
x y +基础题型二：对数类最值的求法
2.已知，且，求的最大值。

0,0x y >>24x y +=22log log x y +变式1.已知，且，求的最小值。

0,0x y >>24x y +=112
2
log log 3x y +变式2.已知点是圆在第一象限内的任一点，求的最大值。

(,)x y 226x y +=
x y +能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）1.已知,求的最小值。

2x >1
()12
f x x x =++-变式1.已知,求的最小值。

3x >4
()232f x x x =-+-变式2.已知,求的最大值。

1x <4
()21f x x x =+-能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）
1.已知,且，求的最小值。

0,0x y >>21x y +=21
x y +2.变式1.已知,且，求的最小值。

0,0x y >>23x y +=23
x y +变式2.已知,且，求的最大值。

0,0x y <<32x y +=-12
x y
+能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）
1.已知,且，求的最大值。

0,0x y >>2221x y +=
变式1.已知,且，求的最大值。

0,0x y >>2223x y +=2
变式2.已知,且，求的最小值。

0,0a b >>223a b +=-能力题型四：对勾函数及其应用
【对勾函数】，由得顶点的横坐标为。

1y x x =+
1
x x
=1x =±
,由得顶点的横坐标为。

b y ax x =+
b
ax x
=x =
,由得顶点的横坐标为。

(1)11b b y ax a x a x x =+
=-++--(1)1
b
a x x -=
-1x =例1.求的值域。

2
([1,4])y x x x =+
∈变式1.求的值域。

2
([2,1])y x x x =+∈--变式2.求的值域。

2
3([2,4])y x x x =+∈例2.求的值域。

4
(2)1
y x x x =+
≥+变式1.求的值域。

1
2(3)2
y x x x =+
≥-变式2.求的值域。

2
(2)1
y x x x =+
≤--例3.求的值域。

4sin (0)sin 2y x x x π
=+
≤≤变式1.求的值域。

4
sin (0)sin 1
y x x x π=+
≤≤-变式2.求的值域。

2
cos (0)cos 1
y x x x π=+
≤≤+基本不等式例题
例1.已知, 且，求的最小值及相应的值.
例2. 的最小值为________。

例3．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
（　）
例4．函数
的图象恒过定点，若点在直线上，则
的最小值为_________．
例5. 若，则的最小值是（　）
例6．下列各函数中，最小值为2的是(　)
A B. C. D.
例7（1）已知，求函数的最大值.54x <
14245
y x x =-+-（2）求函数的最小值求的最大值.
1422++=x x y 2
2242
y x x =--+练习. 设，则的最大值为
例8.已知
,
，且
. 求
的最大值及相应的
的值
例9若x ，y 是正数，则的最小值是22)21
()21(x
y y x +++
练习：已知实数x ，y 满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值例10.若实数a 、b 满足a+b=2，是3a +3b 的最小值是
基本不等式证明
例 已知a ，b 为正数，求证：
a
b b
a +
≥b a +．
例
实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为8，问x y 分别为多少时用料最省？
2
m
基 本 不 等 式 应 用
一．基本不等式
1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）
R b a ∈,ab b a 22
2
≥+R b a ∈,2
2
2b a ab +≤b a =2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”
）*,R b a ∈ab b a ≥+2
*
,R b a ∈ab b a 2≥+b a =(3)若，则 (当且仅当时取“=”
）*
,R b a ∈2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤b a ab b a =3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”）0x >12x x +
≥1x =0x <1
2x x
+≤-1x =-若，则 (当且仅当时取“=”）0x ≠11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或b a =3.若，则 (当且仅当时取“=”）0>ab 2≥+a b b a b a =若，则
(当且仅当时取“=”
）0ab ≠22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或b a =4.若，则（当且仅当时取“=”）R b a ∈,2
)2(2
22b a b a +≤
+b a =注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们
的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋ （2）y ＝x ＋
12x
21
x 解：（1）y ＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）
1
2x
23x 2·66（2）当x ＞0时，y ＝x ＋≥2＝2；
1
x x·当x ＜0时， y ＝x ＋= －（－ x －）≤－2=－2
1x 1
x
x·∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧：技巧一：凑项
例1：已知，求函数的最大值。

5
4x <
14245
y x x =-+-解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，450x -<1
(42)45
x x --
42x -，5,5404x x <∴-> 11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝
⎭231≤-+=当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

1
5454x x
-=
-1x =1x =max 1y =评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。

(82)y x x =-
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

2(82)8x x +-=(82)y x x =-
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，的最大值为8。

(82)y x x =-评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

变式：设，求函数的最大值。

2
3
0<
<x )23(4x x y -=解：∵∴∴230<<x 023>-x 2922322)23(22)23(42
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当即时等号成立。

,232x x -=⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 技巧三： 分离
例3. 求的值域。

2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当,即
时,（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

59y ≥+=技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5
t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t =时,（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

59y ≥+=评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
值。

即化为，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

()(0,0)()
A
y mg x B A B g x =++>>技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。

()a
f x x x
=+
例：求函数的值域。

y =
，则(2)t t =≥y =1
(2)
t t t ==+≥因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

1
0,1t t t >⋅=1t t
=1t =±[)2,+∞因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

1y t t =+[)1,+∞[)2,+∞52
y ≥所以，所求函数的值域为。

5,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1） （2） (3)231
,(0)x x y x x
++=
>12,33y x x x =+>-12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数.
01x <<y =2
03
x <<y =条件求最值
1.若实数满足，则的最小值是 .
2=+b a b
a
33+分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，b
a
33⋅解： 都是正数，≥b
a
33和b
a
33+6
3
2332==⋅+b a b
a
当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．
b
a
33=2=+b a b
a
33=1==b a 1==b a b
a
33+变式：若，求的最小值.并求x ,y 的值
44log log 2x y +=11
x y
+技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知，且
，求的最小值。

0,0x y >>19
1x y
+=x y +
错解：，且， 故 0,0x y >>191x y +=∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭
()min 12x y += 。

错因：解法中两次连用基本不等式，在，在x y +≥x y =19x
y
+≥条件是
即,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用基本不等式处理问题时，列出19
x y
=9y x =等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：，19
0,0,1x y x y >>+= ()1991061016
y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当
时，上式等号成立，又，可得时， 。

9y x
x y
=191x y +=4,12x y ==()min 16x y +=变式： （1）若且，求的最小值
+
∈R y x ,12=+
y x y
x
11+(2)已知且，求的最小值
+
∈R y x b a ,,,1=+y
b x a y x +
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋
＝1，求x 的最大值.
y 2
2
1＋y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤。

a 2＋
b 2
2
同时还应化简中y 2前面的系数为 ， x ＝x ＝x ·1＋y 21
2
1＋y 22·2＋
下面将x ，分别看成两个因式：
＋x ·≤＝＝ 即x ＝·x ≤ ＋x 2＋()22x 2＋＋2
341＋y 22＋3
42
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝
的最小值.1
ab
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝， ab ＝·b ＝
30－2b b ＋130－2b
b ＋1－2 b 2＋30b b ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝＝－2（t ＋）＋34∵t ＋≥2＝8
－2t 2＋34t －31t 16t 16
t
t ·∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

1
18
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥2 ∴ 30－ab ≥22 ab 2 ab 令u ＝　则u 2＋2u －30≤0， －5≤u ≤3ab 222
∴≤3，ab ≤18，∴y ≥
ab 21
18点评：①本题考查不等式
的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式230ab a b =++）
（+
∈R b a ,ab ab b a 与+，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,ab ab 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝＋的最值.
3x 2y 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单
a ＋
b 2a 2＋b 2
2
＋ ≤＝＝23x 2y 2（）2＋（）223x ＋2y 5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20
3x 2y 3x 2y 3x 2y ∴ W ≤＝2205
变式: 求函数的最大值。

15
(22
y x =<<解析：注意到与的和为定值。

21x -52x -
2244(21)(52)8
y x x ==+≤+-+-=
又，所以0y >0y <≤
当且仅当=，即时取等号。

故21x -52x -3
2
x =
max y =评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

应用二：利用基本不等式证明不等式
1．已知为两两不相等的实数，求证：c b a ,,ca
bc ab c b a
++>++222
1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c ，且。

求证：R +
∈1a b c ++=1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又
，可由此变形入手。

111a b c a a a -+-==≥
解：a 、b 、c ，。

同理 R +
∈1a b c ++=∴
111a b c a a a -+-==≥
11b -≥11c -≥上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。

当且仅当时取等号。

1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
13a b c ===应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知且
，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

0,0x y >>19
1x y
+=x y m +≥m 解：令，,0,0,
x y k x y +=>>191x y +=99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky
∴++= 。

，103
12k k
∴-
≥⋅16k ∴≥(],16m ∈-∞应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b
a R
b a Q b a P b a +=+=
⋅=
>>R Q P ,,分析：∵ ∴1>>b a 0
lg ,0lg >>b a （2
1
=
Q p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg ∴R >Q >P 。

Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg(不等式求解集积题型
【知识要点】
1．绝对值符号里含有未知数的不等式叫做绝对值不等式。

（1）的解集是x a <a x a
-<<（2）的解集是或x a >x a >x a
<-2．含字母系数的一元一次不等式的解法与普通不等式的解法是一致的，所不同的是：前者在最后一步要根据题中附加条件或隐含条件，去判断未知数系数的符号，从而决定不等号是否反向。

或对其系数进行分类讨论，写出各种情况下不等式的解集。

一般的讨论方法：对于；
ax b >当时，0a >b x a
>
当时，若解集为任意实数；
0a =0,b <若，无解
0b ≥当时，0a <b x a
<
【典型例题】
题型一：与整数解个数有关的不等式
例1．如果不等式的正整数解是1，2，3，那么的取值范围是多少？
03<-a x a 例2．已知关于的不等式组的整数解共有5个，求的取值范围。

x ⎩
⎨
⎧-<-≤-1230
x a x a 题型二: 已知不等式解集求未知数
例3．（1）已知不等式
的解集为，求的解集。

42213x a x +>-2>x ()a x a ->-23
1（2）方程组的解x ，y 都是正数，则整数k 应等于。

⎩
⎨⎧=+=+205273y x k
y x 题型三：系数含有字母的不等式
（其中）
0a >
例4．解关于的不等式：
x 6
223+>-x ax x 例5．k 为何值时，不等式
永远成立？()x kx 382
1
>+若不等式的解集为，求不等式的解集。

0)32()(<-++b a x b a 3
1
->x 0)2()3(>-+-a b x b a 题型四：绝对值不等式
例6．解下列不等式
（1）
（2）213x +>4
52+<-x x 题型五：比较大小
例7．比较下列各式的大小
（1）和
（2）1232
++x x 2232
-+x x b
a b a 22+-与例8．如果成立，则实数的取值范围是（ ）4
235a a a a a <<<<a A 、 B 、 C 、 D 、10<<a 1>a 01<<-a 1
-<a 【巩固练习】
x
1．如果关于x 的方程的解是一个负数，那么m 的取值范围是 。

()x x m 211-=-2．关于x 的方程的解若为正数，那么k 的取值范围为（ ）。

()()x k x x k 4212+-=-+A
B
C
D 2<k 1-<k 2-<k 2
->k 3．如果的解集是，那么满足（ ）
()11m x m -<-1x >m A ．
B ．
C ．
D ．1-<m 1->m 1<m 1>m 4．已知关于的一次方程无解，则是（ ）x ()0783=++x b a ab A 、正数 B 、非正数
C 、负数
D 、非负数5．解下列不等式
（1）
（2）求不等式的非负整数解。

214x -<31≤+x 6．若不等式只有两个正整数解，则的取值范围是多少？
03≤-a x a 7．解关于的不等式
x （1）
（2）11kx x ->+2
16k x x
->-8．若满足不等式的必满足，求的取值范围．
()51323≤---≤a x a x 53≤≤x a 9．一次函数的图像是射线，的图像是射线，如图所示，1y 1l 2y 2l 若，则的值为_______________；21y y =x 若，则的取值范围是____________；
21y y >x
若，则的取值范围是____________．
21y y <x 10．己知不等式，（1）若它的解是，求的范围；（2）若它的解集是，32mx x m ->+32m x m +<-m 4
3
x >求的值。

m 11．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么，适合这个不等式组的整数、的有序对（，）共
90
80x a x b -≥⎧⎨-<⎩
a b a b 有（
）
A 、17个
B 、64个
C 、72个
D 、81个
12．已知方程组的解的乘积小于零，求的值。

⎩
⎨⎧-=-=+12
my x y mx y x ,221212++-
--m m m m 高中数学不等式知识点经典习题
典型例题一
例1 解不等式2
321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念，将不等式中的绝对符号去掉，
⎩
⎨⎧<-≥=)0()
0(a a a a a 转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于
零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．
解：令，∴ ，令，∴，如图所示．01=+x 1-=x 032=-x 2
3
=
x （1）当时原不等式化为∴与条件矛盾，无解．
1-≤x 2)32()1(--->+-x x 2>x （2）当时，原不等式化为．∴ ，故．231≤
<-x 2)32(1--->+x x 0>x 230≤<x （3）当时，原不等式化为．∴，故．综上，原不等式的解为
23>x 2321-->+x x 6<x 62
3
<<x ．
{}60<<x x 说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、
不重不漏．
典型例题二
例2 求使不等式有解的的取值范围．
a x x <-+-34a 分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为三个区间(]),4(],4,3[,3,+∞∞-当时，原不等式变为有解的条件为
，即；3<x 27,)3()4(a x a x x ->
<-+-32
7<-a
1>a 当时，得，即；
43≤≤x a x x <-+-)3()4(1>a 当时，得，即，有解的条件为
∴．4>x a x x <-+-)3()4(27+<
a x 42
7
>+a 1>a 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为．
1>a
解法二：设数，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式
x 的意义是P 到A 、B 的距离之和小于．
a PB PA <+a 因为，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即，故当时，
1=AB 134≥-+-x x 1>a 有解．
a x x <-+-34
典型例题三
例3 已知，求证．),0(,20,2M y a
b y M a x ∈ε<-<ε<
-ε<-ab xy 分析：根据条件凑．b y a x --,证
明
：
ab
ya ya xy ab xy -+-=-．ε=ε
⋅+ε⋅
<-⋅+-≤-+-=a
a M M
b y a a x y b y a a x y 22)()(说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．
典型例题四
例4 求证
b
a a
b a -≥-2
2分析：使用分析法
证明 ∵，∴只需证明，两边同除，即只需证明
0>a b a a b a -≥-2
2
2
2
b ，即 当时，；当
b
a b
a b
b a -
≥
-2
22
2
2b a b a b a -≥-22)(1)(1≥b a b a
b a b a b a -≥-=-222)(1)(1(时，，原不等式显然成立．∴原不等式成立．1<b
a
0<-b a 说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：
b
a
b a a b a a
b a ⋅-=-≥-2
22
2（1）如果
，则，原不等式显然成立．1≥b
a
0≤-b a （2）如果
，则，利用不等式的传递性知，，∴原不等式也成立．1<a b b a b ->-a
b
a -
b a b ->典型例题五
例5 求证
．
b
b a
a b
a b a ++
+≤
+++111分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们
联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．
证明：设．x
x x x x x f +-=+-+=+=
1111111)(定义域为｛，且｝，分别在区间，区间上是增函数．
R x x ∈1-≠x )(x f )1,(--∞),1(∞+-
又，∴即
b a b a +≤+≤0)()(b a f b a f +≤+b
a b a b
a b a +++≤
+++11b
b a
a b
a b b
a a ++
+≤+++++=
1111∴原不等式成立．
说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：∵，，∴
．b a b a +≤+01>++b a b a b b a a b a b a b a b
a +++++=+++≤+++1111b
b a a ++
+≤11错误在不能保证，．绝对值不等式在运用放缩法证明不等a b a +≥++11b b a +≥++11b a b a +≤±式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．
型例题六
例6 关于实数的不等式与的解集依次为x 2)1(2)1(2
2-≤
+-a a x 0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈与，求使的的取值范围．
A B B A ⊆a 分析：分别求出集合、，然后再分类讨论．
A B 解：解不等式，，2
)1(2)1(2
2-≤
+-a a x 2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ∴．
{}
R a a x a x A ∈+≤≤=,122解不等式，．0)13(2)1(32≤+++-a x a x 0)2)](13([≤-+-x a x 当时（即时），得．31>
a 213>+a ⎭⎫
⎩⎨⎧>+≤≤=31,132a a x x B 当时（即时），得．31≤
a 213≤+a ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≤≤≤+=31,213a x a x B 当时，要满足，必须故；31
>
a B A ⊆⎩
⎨⎧+≤+≥,131,222a a a 31≤≤a 当时，要满足，必须　∴．31
≤a B A ⊆⎩
⎨⎧+≥+≥;12,1322
a a a ⎩⎨⎧≤≤--≤,11,1a a 1-=a 所以的取值范围是．
a {}
311≤≤-=∈a a R a 或说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．
B A ⊆a a 典型例题七
例6 已知数列通项公式对于正整数、，当时，求证：n
n na
a a a a 2
sin 23sin 22sin 2sin 32++++=
m n n m >．n
n m a a 21
<
-分析：已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式
n ，问题便可解决．
n n a a a a a a +++≤+++ 2121证明：∵n
m >∴m n n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++=
-++ m
n n ma
a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+
++++≤++ ．
2
11)
21
1(2
1
2
1
212
11
21
-
-=+++
≤-+++n m n m n n )12110(21211(21<-<<-=--n m n n m n 说明：
是以为首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为
m n n 2121
21
21+
++
++ 1
21
+n 21n m -共有项是常见错误．
1--n m 正余弦函数的值域，即，，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、个变1sin ≤α1cos ≤αn 量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．
典型例题八
例8 已知，，求证：13)(2+-=x x x f 1<-a x )
1(2)()(+<-a a f x f 分析：本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件)(x f 1<-a x x 1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质
11+<<-a x a x 进行替换．
11+<⇒<-≤-a x a x a x 证明：∵，∴，∵，∴．13)(2+-=x x x f 13)(2+-=a a a f 1<-a x 1<-≤-a x a x ∴，∴1+<a x x a a x a f x f -+-=-22)()()())((a x a x a x --+-=)
1)((-+-=a x a x ，即．
1-+⋅-=a x a x )1(21111+=+++<++<-+<a a a a x a x )1(2)()(+<-a a f x f 说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．
1<-a x 典型例题九
例9 不等式组的解集是（ ）．
⎪⎩
⎪
⎨⎧+->+->x x x x x 22330A ． B ．
C ．
D ．{}20<<x x {}
5.20<<x x {}
60<<x x {}
3
0<<x x
分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由
，知，∴，又，∴x
x
x x +->
+-2233033>+-x x 33<<-x 0>x ，解原不等式组实为解不等式
（）．30<<x x
x
x x +->
+-223330<<x 解法一：不等式两边平方得：．
2222)2()3()2()3(x x x x -+>+-∴，即，
2222)6()6(-+>--x x x x 0)66)(66(2222>+-----++--x x x x x x x x ∴，又．∴　∴．选C ．
0)6(2
>-x x 30<<x ⎩
⎨⎧<<<-300
62x x 60<<x 解法二：∵，∴可分成两种情况讨论：
0>x (1)当时，不等式组化为
（）．解得．20≤<x x x x x +->+-223320≤<x 20≤<x (2)当时，不等式组可化为（），解得．2>x x
x x x +->+-22
332>x 62≤<x 综合(1)、(2)得，原不等式组的解为，选C ．
60<<x 说明：本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，0>x 必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．
典型例题十
例10 设二次函数(，且)，已知，，，c bx ax x f ++=2)(0>a 0≠b a b ≤1)0(≤f 1)1(≤-f 1)1(≤f ，当时，证明．1≤x 4
5
)(≤
x f 分析：从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从且，知，要求证
0>a 1≤x 1)1(≤-f 1)1(≤f 的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方．因此抛物线的顶点4
5
)(≤
x f x x 的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．
证明：∵，∴．又∵
)()(2c b a c b a b +--++=c b a c b a +-+++≤11)1()1(+≤-+=f f 2=1≤b ，∴．∴．又，，a b ≤1≤a b 12
1
2<≤-a b 1)0(≤=f c a b c a b ac a b f 444)2(22-=-=
-∴．而的图像为开口向上的抛物线，
a b c a b c a b f 44)2(22+≤-=-4
5
1141141=⋅⋅+≤⋅⋅+=b a b c )(x f 且，，∴的最大值应在，或处取得．∵，，1≤x 11≤≤-x )(x f 1=x 1-=x a
b
x 2-
=1)1(≤f 1)1(≤-f ，4
5)2(≤-
a b f
∴．4
5)(≤
x f 说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键
是通过对参数，，的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在范围内的最a b c 1≤x 大值．
不等式题型总结
1、
高考与不等式
纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必
考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。

单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查：
①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；
②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；
③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．
2、命题趋势及典型例题解释
（1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来．
例1：设命题甲：x 和y 满足，命题乙：x 和y 满足 ，那么 甲是乙的（）
2403x y xy <+<⎧⎨<<⎩01
23x y <<⎧⎨<<⎩
A 充分但不必要条件
B 必要但不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
［思路］
根据同向不等式的可加性，从乙甲和甲乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分⇒⇒析。

［破解］易知即乙甲；但当时，显然满足01
23x y <<⎧⇒
⎨
<<⎩2403x y xy <+<⎧⎨<<⎩⇒2301x y <<⎧⎨<<⎩24
03
x y xy <+<⎧⎨
<<⎩不满足故甲乙 不成立。

从而甲是乙的必要但不充分条件 。

故选B
01
23x y <<⎧⎨
<<⎩
⇒
［收获］
本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。

做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。

例2：已知.设
0>c 函数在R 上单调递减.
:P x c y =不等式的解集为R .
:Q 1|2|>-+c x x 如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.
P Q c ［思路］
此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.
［破解］:函数在R 上单调递减，不等式的解集为R 函数
x
c y =10<<⇔c 1|2|>-+c x x ⇔在R 上恒大于1，∵∴函数在R 上的最
|2|c x x y -+=，，，
，
c x c x c c x c x x 22222|2|<≥⎩⎨⎧-=-+|2|c x x y -+=小值为，∴不等式的解集为R ，即，若正确，且不正确，则；若c 21|2|>-+c x x ⇔12>c 21>
c P Q 2
1
0≤<c 正确，且不正确，则；
Q P 1≥c 所以的取值范围为.c )1[]2
10(∞+，
， ［收获］
“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.
（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论．例3：解关于的不等式。

x 2
680kx x k ++-<分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号．解 364(8)4(9)(1)
k k k k ∆=--=--+(1)当时：若，则，不等式解集为；若，则，解集为
0k >k ≥90∆≤∅09k <<0∆>
.
x <<(2)当时：不等式为，解集为．0k =680x -<43x x ⎧
⎫<
⎨⎬⎩⎭
(3)当时：若，则，解集为
0k <10k -<<0∆>。