高考数学一轮复习课时训练 全称量词与存在量词、逻辑联结词 北师大版

A 级 基础达标演练
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列命题中的假命题是( )．
A ．存在x ∈R ，lg x ＝0
B ．存在x ∈R ，tan x ＝1
C ．任意x ∈R ，x 3＞0
D ．任意x ∈R,2x ＞0 解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0正确；对于B ，当x ＝π4
时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0错误；对于D ，任意x ∈R,2x ＞0，正确．
答案 C
2．(2012·杭州高级中学月考)命题“任意x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )．
A ．存在x ＞0，x 2＋x ＞0
B ．存在x ＞0，x 2＋x ≤0
C ．任意x ＞0，x 2＋x ≤0 D．任意x ≤0，x 2＋x ＞0
解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：存在x ＞0，x 2＋x ≤0. 答案 B
3．(★)(2012·郑州外国语中学月考)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是
( )．
A ．0＜a ≤1 B．a ＜1
C ．a ≤1 D．0＜a ≤1或a ＜0
解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C.
答案 C
4．(2012·上饶质检)已知p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )．
A ．a ＜－1或a ＞6
B ．a ≤－1或a ≥6
C ．－1≤a ≤6
D ．－1＜a ＜6
解析 解不等式可得p ：－4＋a ＜x ＜4＋a ，q ：2＜x ＜3，因此綈p ：x ≤－4＋a 或x ≥4＋a ，綈q ：x ≤2或x ≥3，于是由綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知2≥－4＋a 且4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6.
答案 C
5．若函数f (x )＝x 2＋a x
(a ∈R)，则下列结论正确的是( )．
A ．任意a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数
B ．任意a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数
C ．存在a ∈R ，f (x )是偶函数
D ．存在a ∈R ，f (x )是奇函数
解析 对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则f (x )为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．
答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2012·西安模拟)若命题“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
解析 因为“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则“任意x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.
答案 －22≤a ≤2 2
7．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x
＞1，若綈q 且p 为真，则x 的取值范围是________．
解析 因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，
x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，
所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3.
故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．
答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
8．(2012·南京五校联考)令p (x )：ax 2
＋2x ＋a ＞0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析 ∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．
∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立，
当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，
当a ≠0时，若不等式恒成立，
则{ a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1. 答案 a ＞1
三、解答题(共23分)
9．(11分)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2
＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
解 由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，
所以命题p：a≤1；
q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，
只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，
所以命题q：a≥1或a≤－2.
∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.
10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)q：任意x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些质数是奇数；
(3)s：存在x∈R，|x|＞0.
解(1)綈q：存在x∈R，x是5x－12＝0的根，真命题．
(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈s：任意x∈R，|x|≤0，假命题．
B级综合创新备选
(时间：30分钟满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．下列命题错误的是( )．
A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则綈p：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0
解析依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．
答案 C
2．(★)(2011·广东广雅中学模拟)已知p：存在x∈R，mx2＋2≤0.q：任意x∈R，x2－2mx ＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( )．
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
解析(直接法)∵p或q为假命题，∴p和q都是假命题．
由p ：存在x ∈R ，mx 2＋2≤0为假，得任意x ∈R ，mx 2
＋2＞0，∴m ≥0.①
由q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得存在x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②
由①和②得m ≥1.
答案 A
【点评】 本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．命题“存在x ∈R ，x ≤1或x 2＞4”的否定是______________．
解析 已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．
答案 任意x ∈R ，x ＞1且x 2≤4
4．(2012·太原十校联考)已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152
a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．
解析 由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152
a ＞0”的否定为假命题，可知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152
a ＞0对任意实数x 恒成立． 设f (x )＝x 2－5x ＋152
a ，则其图像恒在x 轴的上方． 故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56，＋∞ 三、解答题(共22分)
5．(10分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2
＋mx ＋1＞0.如果对任意x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．
解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又∵对任意x ∈R ，当s (x )为真命题时，
即x 2＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2
－4＜0，∴－2＜m ＜2.
∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2.
综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2. 6．(12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时，函数f (x )
＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围． 解 由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52
要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12.
又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假， 当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12.
当p 为假，q 为真时，c ≥1.
综上，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬
⎪
⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12或c ≥1.。