2016-2017年山东省济宁市微山一中高二(下)第一次月考数学试卷(创理、重理)(解析版)

2016-2017学年山东省济宁市微山一中高二（下）第一次月考数
学试卷（创理、重理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知函数f（x）＝2ln（3x）+8x，则的值为（）A．10B．﹣10C．﹣20D．20
3．（5分）因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提
x+≥2，…小前提
所以x+≥2，…结论
以上推理过程中的错误为（）
A．小前提B．大前提C．结论D．无错误
4．（5分）函数y＝x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）
A．极大值5，极小值﹣27B．极大值5，极小值﹣11
C．极大值5，无极小值D．极小值﹣27，无极大值
5．（5分）设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）
A．1B．C．D．2
6．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）
A．B．C．D．
7．（5分）下列计算错误的是（）
A．sin xdx＝0
B．dx＝
C．cos xdx＝2cos xdx
D．sin2xdx＝0
8．（5分）已知向量＝（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）
9．（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有＝++，则P，A，B，C四点（）
A．不共面B．共面C．共线D．不共线
10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f （x）＞2x+4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n＝k（k≥2）不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数是（）
A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+1
12．（5分）按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）
A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D （﹣5，﹣4，8），则顶点D到平面ABC的距离为．
14．（5分）垂直于直线2x﹣6y+1＝0并且与曲线y＝x3+3x2﹣5相切的直线方程是
15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．
16．（5分）若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，
在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝
，那么M、N的大小关系是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
17．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx+1的图象经过点（1，﹣3）且在x＝1处f（x）取得极值．求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）f（x）的单调递增区间．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．（1）证明：AC⊥BC1；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值大小．
19．（12分）已知a＞b＞c，求证：．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E﹣ACD的体积．
21．（12分）数列{a n}满足S n＝2n﹣a n（n∈N*）．
（1）计算a1、a2、a3，并猜想a n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．
2016-2017学年山东省济宁市微山一中高二（下）第一次
月考数学试卷（创理、重理）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵＝
＝﹣i
∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）
∴它对应的点在第四象限，
故选：D．
2．（5分）已知函数f（x）＝2ln（3x）+8x，则的值为（）A．10B．﹣10C．﹣20D．20
【解答】解：函数f（x）＝2ln（3x）+8x，
∴f′（x）＝+8，
∴f′（1）＝10，
∴＝﹣2＝﹣2f′（1）＝﹣20，
故选：C．
3．（5分）因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提
x+≥2，…小前提
所以x+≥2，…结论
以上推理过程中的错误为（）
A．小前提B．大前提C．结论D．无错误
【解答】解：∵，
这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，
是小前提，没有写出x的取值范围，
∴本题中的小前提有错误，
故选：A．
4．（5分）函数y＝x3﹣3x2﹣9x（﹣2＜x＜2）有（）
A．极大值5，极小值﹣27B．极大值5，极小值﹣11
C．极大值5，无极小值D．极小值﹣27，无极大值
【解答】解：y′＝3x2﹣6x﹣9＝0，得x＝﹣1，x＝3，当x＜﹣1时，y′＞0；当x＞﹣1时，y′＜0，
当x＝﹣1时，y极大值＝5；x取不到3，无极小值．
故选：C．
5．（5分）设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）
A．1B．C．D．2
【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，
∴x+xi＝1+yi，
即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，
故选：B．
6．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：设AB＝1，则AA1＝2，分别以的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
＝（1，1，0），＝（1，0，﹣2），＝（1，0，0），
设＝（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取＝（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ＝||＝，
故选：A．
7．（5分）下列计算错误的是（）
A．sin xdx＝0
B．dx＝
C．cos xdx＝2cos xdx
D．sin2xdx＝0
【解答】解：∫﹣ππsin xdx＝（﹣cos x）|﹣ππ＝（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）＝0
因为y＝cos x为偶函数所以
＝π
故选：D．
8．（5分）已知向量＝（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【解答】解：不妨设向量为＝（x，y，z），
A．若＝（﹣1，1，0），则cosθ＝＝，不满足条件．
B．若＝（1，﹣1，0），则cosθ＝＝＝，满足条件．
C．若＝（0，﹣1，1），则cosθ＝＝，不满足条件．
D．若＝（﹣1，0，1），则cosθ＝＝，不满足条件．
故选：B．
9．（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有＝++，则P，A，B，C四点（）
A．不共面B．共面C．共线D．不共线
【解答】解：：由＝++，可得＝1，
又A，B，C不共线，∴P，A，B，C四点共面．
故选：B．
10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f （x）＞2x+4的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则∵函数g（x）单调递增，
∴由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B．
11．（5分）用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n＝k（k≥2）不等式成立，推证n＝k+1时，左边应增加的项数是（）
A．2k﹣1B．2k﹣1C．2k D．2k+1
【解答】解：n＝k时，左边＝1+++…+，
当n＝k+1时，左边＝1+++…++++…+．
∴左边增加的项数为2k+1﹣1﹣（2k﹣1）＝2k+1﹣2k＝2k．
故选：C．
12．（5分）按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）
A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12
【解答】解：由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H，
故后一种化合物的分子式是C4H10
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）已知四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D （﹣5，﹣4，8），则顶点D到平面ABC的距离为11．
【解答】解：因为四面体四个顶点分别为A（2，3，1）、B（4，1，﹣2）、C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），
所以＝（2，﹣2，﹣3），＝（4，0，6），＝（﹣7，﹣7，7）．
设平面ABC的法向量为＝（a，b，c）
所以，不妨令a＝3，则c＝﹣2，解得b＝6．
平面ABC的法向量为＝（3，6，﹣2）．
所以顶点D到平面ABC的距离，就是在平面ABC的法向量投影的长度，即：＝＝11．
故答案为：11．
14．（5分）垂直于直线2x﹣6y+1＝0并且与曲线y＝x3+3x2﹣5相切的直线方程是3x+y+6＝0
【解答】解：设切点为P（a，b），函数y＝x3+3x2﹣5的导数为y′＝3x2+6x
切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2+6a＝﹣3，得a＝﹣1，代入到y＝x3+3x2﹣5，
得b＝﹣3，即P（﹣1，﹣3），y+3＝﹣3（x+1），3x+y+6＝0．
故答案为：3x+y+6＝0．
15．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3．
【解答】解：由图知方程f（x）＝0有两个相等的实根x1＝x2＝0，于是b＝0，
∴f（x）＝x2（x+a），有，
∴a＝±3．
又﹣a＞0⇒a＜0，得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．（5分）若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，
在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝
，那么M、N的大小关系是M＝N．
【解答】解：在Rt△ABC中，c2＝a2+b2①，由等面积法得ch＝ab，
∴c2•h2＝a2•b2②，①÷②整理得．
类比得，S△ABC2＝S△P AB2+S△PBC2+S△P AC2①，
由等体积法得，
∴②，
①÷②整理得M＝N．
故答案为：M＝N．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
17．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx+1的图象经过点（1，﹣3）且在x＝1处f（x）取得极值．求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）由f（x）＝ax3+bx+1的图象过点（1，﹣3）得f（1）＝a+b+1＝3，
∵f'（x）＝3ax2+b，
又f'（1）＝3a+b＝0，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴f（x）＝2x3﹣6x+1．
（2）∵f'（x）＝6x2﹣6，
∴由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣1，
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4．（1）证明：AC⊥BC1；
（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值大小．
【解答】解∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．
如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．…（2分）
证明：（1）∵＝（﹣3，0，0），＝（0，﹣4，4），
∴•＝0，
故AC⊥BC1…（4分）
解：（2）平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），
设平面C1AB的一个法向量为＝（x，y，z），
＝（﹣3，0，4），＝（﹣3，4，0），
由得：…（6分）
令x＝4，则z＝3，y＝3则＝（4，3，3）．…（7分）
故cos＜，＞＝＝．
所求二面角的大小为arccos
19．（12分）已知a＞b＞c，求证：．
【解答】证明：∵+＝＝4，（a＞b＞c）
∴+≥4
∴
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E﹣ACD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，（2分）
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∴CD⊥MD．
∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴∠CMD＝60°，
∵AP＝1，AD＝，∠ADP＝30°，
∴PD＝2，
E为PD的中点．AE＝1，
∴DM＝，
CD＝＝．
三棱锥E﹣ACD的体积为：＝＝．
21．（12分）数列{a n}满足S n＝2n﹣a n（n∈N*）．
（1）计算a1、a2、a3，并猜想a n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2﹣a1，∴a1＝1；
当n＝2时，a1+a2＝S2＝2×2﹣a2，∴a2＝；
当n＝3时，a1+a2+a3＝S3＝2×3﹣a3，∴a3＝．
由此猜想a n ＝（n∈N*）
（2）证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，
②假设n＝k（k≥1，且k∈N*）时结论成立，
即a k ＝，
当n＝k+1时，a k+1＝S k+1﹣S k＝2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k＝2+a k﹣a k+1，∴2a k+1＝2+a k
∴a k+1＝＝，
∴当n＝k+1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，a n ＝成立
22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x ）≤，求k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）＝，
令f′（x）＝0，得x＝±k
当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：
所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k），和（k，+∞），单调递减区间是（﹣k，k）；
的变化情况如下：
当k＜0时，f′（x）f（x）随x
所以，f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k），和（﹣k，+∞），单调递增区间是（k，﹣k）；（Ⅱ）当k＞0时，有f（k+1）＝，不合题意，
当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（﹣k）＝，
∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，⇔f（﹣k）＝≤，
解得﹣，
故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范围是﹣．。