最新数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案
Chapter 1
（P10）5. 求2的近似值*
x ，使其相对误差不超过%1.0。

解： 4.12=。

设*
x 有n 位有效数字，则n
x e -⨯⨯≤10
105.0|)(|*。

从而，1
105.0|)(|1*
n
r x e -⨯≤。

故，若%1.010
5.01≤⨯-n
，则满足要求。

解之得，4≥n 。

414.1*
=x 。

（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12
cm 。

解：设边长为a ，则cm a 100≈。

设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。

按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2
105.0||-⨯≤e 。

Chapter 2
（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=011012111A 。

解：设()γβα=-1
A。

分别求如下线性方程组：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。

先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。

即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---=300210111U 。

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，
⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=100α；
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3231
31β；
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3132
31γ。

所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---=-313
2132310
313101
A 。

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816
2115153114015052
31214321x x x x 解:
平方根法：
先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3
)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=12133210012
0001
L ，其中，T
L L A ⨯=。

经平方根法的回代程，分别求解方程组
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x L T =，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1111x 。

改进平方根法：
先求系数矩阵A 的形如T
L D L A =的分解，其中44)(⨯=ij l L 为单位下三角矩阵，
},,,{4321d d d d diag D =为对角矩阵。

利用计算公式，得
11=d ；
;1,2,222121===d l t
;9,2,1,2,1332313231=-==-==d l l t t
1,3
2
,1,3,6,1,34434241434241==
=-===-=d l l l t t t 。

分别求解方程组，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=81621Ly 和y x DL T =，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1111x 。

（P48）12. 已知方程组⎩
⎨⎧=+=+198.099.0199.02121x x x x 的解为100,10021-==x x 。

（1） 计算系数矩阵的条件数；
（2） 取T
T x x )5.99,5.100(,)0,1(*2*1-==，分别计算残量)2,1(*=-=i Ax b r i i 。

本题的计算结果说明了什么？
解：（1）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=98.099.099.01A ，求得，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-100009900990098001
A 。

从而，39601)(1=A Cond 。

（2）计算得，T
r )01.0,0(1=，01.01
1
=r ；T r )985.0,995.0(2--=，98.11
2
=r 。

这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。

Chapter 3
（P72）3. 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=-+1
221122321
321321x x x x x x x x x 取初值T x
)0,0,0()
0(=，迭代4次，并比较它们的计算结果。

解：由方程组得，
1
221122213312321+--=+--=++-=x x x x x x x x x
从而，Jacobi 迭代格式为：
1
2211
22)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)
(3)(2)1(1+--=+--=++-=+++k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，.,2,1,0 =k Gauss-Seidel 迭代格式为：
1
2211
22)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1+--=+--=++-=++++++k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，.,2,1,0 =k 整理得，
1
232122)(3)1(3)
(3
)(2)1(2)(3)(2)1(1-=-=++-=+++k k k k k k k k x x x x x x x x ，.,2,1,0 =k
Jacobi 迭代：
T
T T T T x x x x x )1,3,3()1,3,3()3,1,1()1,1,1()0,0,0()4()3()2()1()0(-=→-=→--=→=→=Gauss-Seidel 迭代：
T
T T T T x x x x x )15,51,43()7,15,11()3,3,1()1,0,1()0,0,0()4()3()2()1()0(--=→--=→--=→-=→=Jacobi 迭代中)
3(x
已经是方程组的精确解，而从Gauss-Seidel 迭代的计算结果，可以预见它
是发散的。

（P73）9.设有方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=++33122113214b
x ax b x ax b ax ax x （1） 分别写出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的计算公式，
（2） 用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的a 的取值范围。

解: 由方程组得，
3
132********b ax x b x ax x b ax ax x +-=+--=+--= 从而，Jacobi 迭代格式为：
3
)(1)1(32)(1)
1(21
)
(3)(2)1(14b ax x b ax x b ax ax x k k k k k k k +-=+-=+--=+++，.,2,1,0 =k
迭代矩阵为：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=000040
a a
a a B 设0||=-B I λ，求得，||5|,|5,0321a a -===λλλ，故||5)(a B =ρ。

另由Jacobi 迭代格式，得Gauss-Seidel 迭代格式为：
3
1)(32)(22)1(321)
(32)(22)1(21
)
(3)(2)1(1444b ab x a x a x b ab x a x a x b ax ax x k k k k k k k k k +-+=+-+=+--=+++，.,2,1,0 =k 迭代矩阵为：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=2222
04400a a a a
a a G 设0||=-G I λ，求得，23215,0,0a ===λλλ，故2
5)(a G =ρ。

另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得，5
5
±
≠a 。

由迭代收敛的充要条件得， Jacobi 迭代收敛55||<
⇔a ；Gauss-Seidel 迭代收敛5
5||<⇔a 。

故，使得两种迭代法都收敛的a 的取值范围是相同的：5
5
||<
a 。

（P74）12.证明对称矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111a a a a a a A 当12
1<<a 时为正定矩阵，且只有当21
||<a 时，
Jacobi 迭代解b Ax =才收敛。

解: A 为正定当且仅当以下三个不等式同时成立：
01
11,01
1,01>>>a a a a a
a a a ，
解之得，
12
1
<<a 。

此时解方程组的Gauss-Seidel 迭代收敛。

另外，可得解方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛------=000a a a a a a B
解得，||2)(a B =ρ。

由收敛的充要条件，Jacobi 迭代收敛当且仅当2
1||<
a 。

Chapter 5
（P140）7.设n x x x ,,,10 为1+n 个互异节点，),1,0)((n j x l j =为这组节点上的n 次Lagrange 插值基函数，试证：
（1）
∑===n
j k j
k j n k x x l x
,1,0,)( ；
（2）
∑==≡-n
j j k j
n k x l x x
,1,0,0)()( 。

证：（1）对于固定的},,2,1{n k ∈，设∑==n
j j
k
j x l x
x P 0
)()(，则)(x P 为次数不超过n 的多
项式，且
k i i x x P =)(，n i ,,1,0 =
而对于多项式函数k
x 当然也满足如上的等式条件以及次数n ≤，由Lagrange 插值问题的适定性，k
x x P =)(。

（2）对于固定的},,2,1{n k ∈，
∑∑∑∑∑==---===--=-=-n
j j
i j k
i i
k i
k i k
i
k i j
n
j n j k
i i
k i k
j j k
j
x l
x x
C x
x C x l x l x x
)
()
1()
1()()()(
0)()1(0
≡-=-=∑=--k i k
i i k i k i k x x x x C ，证完。