切蛋糕的学问

切蛋糕的学问
有这么一道经典的题目：给你一把刀和一个蛋糕，只允许在同一面上切三刀，问最多能切成几块。

答案大家都很清楚，最多可切成7块。

就像这样：
如果可以切四刀、五刀，或者更多，那么最多分别可以切成几块呢？
由于只能在一个平面上“动刀”，我就把它简化成直线分割平面的问题。

一、探究直线分割平面的问题。

我们很容易得到直线分割平面的不同情况（直线不重叠），如下表：
表一
直线条数分割平面的不同可能最大值
2
1 2个
部分
4
2 3个 4个
部分部分
7
3 4个 5个 6个 7个
部分部分部分部分
11
4 10个 11个
……部分部分
……
那么直线数量和平面最多被分割成的数量之间有什么关系呢？我把上表稍加整理，得到下表：
表二
直线数量平面被分割成的最大数量
1 2
2 4
3 7
4 11
5 16
…………
通过对数字的观察，我发现每上下两个数字的差依次是2、3、4、5、…为什么会出现
这个规律呢？
我发现，只有当每条直线与其他各条直线都有交点时，平面被直线分割成的数量最多。

此时，每增加一条直线，就会增加相应数量的平面。

平面数量n 与直线数量m 的关系是
2
2n n m 2++=。

同样的情景，如果没有要求一定要在同一平面上“动刀”，那么最多又可以切成几块呢？
二、探索切圆柱体的问题。

表三
那么刀数和圆柱体被分成的块数之间又有什么关系呢？看上去似乎简单得多。

n
2m =。

这又是怎么做到的呢？先把这个圆柱体一分为二，然后叠在一起再切一刀……如此下去，便能得到最多的块数。

但问题又来了。

这是切蛋糕，蛋糕怎么能切一刀再叠起来呢？下表是只允许横着切一刀的情况下蛋糕最多被分成的块数。

表四
刀数 圆柱体被分的不同可能性 最大值
1
2块
2
2 3块、4块 4
3 4块、5块、6块、7块、8块 8
4
5块、6块、7块、8块、9块、10块、11块、12块、13块、14块、15块、16块
16
5 6块、7块、8块、9块、10块、……、30块、31块、32块
32
……
刀数 蛋糕最多被切成的块数 1 2块 2 4块 3
8块
这其中又有什么奥秘呢？它们不就相当于表二数字的两倍吗？所以它们之间的规律是
2n n m 2+-=。

如果允许最多横着切2刀，又会出现什么情况呢？如下表所示： 表五
似乎与上面没什么区别。

那么如果允许横着切任意刀，又会是什么情况呢？ 表六
看上去这种是最多了。

又是什么原因呢？还有待探究……
4 14块
5 22块 ……
刀数 蛋糕最多被切成的块数 1 2块 2 4块 3 8块 4 14块 5 22块 ……
刀数 蛋糕最多被切成的块数 1 2块 2 4块 3 8块 4 14块 5 22块 ……。