建筑力学 第3章：平面力系的合成与平衡

∑Fix＝０ ∑Fiy＝０
图
例3-2附图
第一节 汇交力系的合成与平衡
即：
FA cos 30 FB cos 60 F cos 60 0
FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
联立解得：
FA
3FP / 2,
FB FP / 2
结果为正值，表明假设的FA与FB的指向是正确的。 请考虑，怎样选取投影轴， 请考虑，怎样选取投影轴， 可以避免解联立方程。 可以避免解联立方程。
FR = 0
F = F + F
i 1
2
+ +Fn = 0 （2-4）
（二）平衡 ——几何法 平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封 闭，即 或
FR =0 F1+F2+F3+F4=0
F4
O
F1 F2
a
F1 b
F2
c
F3
F4
F3
d
平 衡——解析法 由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是该力系的合力为零，即 F 0 而 则
第一节 力的平移定理
注意：一般说来，在研究变形问题时，力是不能
移动的。
思考：图所示的梁A端受一力Ｆ，如将Ｆ平行移动
至O点成为F′并附加一力偶矩M，其变形效果将如何？
图
悬臂梁
第二节 平面任意力系的简化
3.3 平面一般力系的合成
第二节 平面任意力系的简化
各力作用线位于同一平面内但不全汇交于一点、也 不全相互平行，则该力系称为平面任意力系，简称平面 力系。 例如，厂房建筑中常采用刚架结构，取其中一个刚架 来考察,如图a所示，作用于其上的力可简化为图b所示的 平面力系。
F1
F2
Fn
应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的 某一点o（称为简化中心）平移，再将所得的平面汇交力系和 平面力偶系分别合成。过程为：
合成
合成 Mo（合力偶）
向一点简化
平面一般力系
平面汇交力系
平面力偶系
F’（合力）
F2
Fn F2 ' M 2 Mn
o
F1
（a)
F2
d1 d2 dn o
FR=F1+F2+F3
F1
O
F1 b
F2
c
F2
F3
a
FR
F3
d
二、汇交力系的合成——解析法
y
力在坐标轴上投影
y
A
o
B
图 a 平行光线照射 下物体的影子
a
b
x
b1 Fy a1 A
o
Fy

FB

Fx
图b 力在坐标轴上的投影
a
Fx
b
x
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 ，则力在x、y轴上的投影为 、
F
c
c
m
F
(a)
F
(b)
图
第一节 力的平移定理
工程上有时也将力平行移 动，以便了解其效应。 例如，作用于立柱上A点 的偏心力F，可平移至立柱轴 线上成为F′，并附加一力偶矩 为M=Mo(F)的力偶，这样并不 改变力F的总效应，但却容易 看出，轴向力F′将使立柱压缩， 而力偶矩M将使短柱弯曲。 图 立柱
M=Fd
(a)
(b) 图力线平移定理的证明
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一 个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该 力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力 来等效替换 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心 （球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与 球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。 c
例题
解：
1.取梁AB作为研究对象。
2.画出受力图。
60º
3.作出相应的力三角形。
30º
4.由力多边形解出：
FA = F cos30=17.3 kN FB = F sin30=10 kN
60º
30º
例题
如图轧路碾子自重P = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高 h = 0.08 m碾子中心O处作用一 水平拉力F，试求: (1)当水平 拉力F = 5 kN时，碾子对地面和
第一节 汇交力系的合成与平衡
对于成平衡的空间(或平面)汇交力系，如 用作图法将F1、……、Fn相加，得到的将是闭 合的力多边形。就是说，空间汇交力系成平衡 的图解条件是力多边形闭合。 对于刚体受不平行的三个力作用而成平衡 的情况，有如下结论：若刚体受不平行的三个 力作用而成平衡，则此三个力的作用线必共面 且汇交于一点。这就是所谓的三力平衡定理。
第二节 平面任意力系的简化
有些空间力系的问题，可近似地简化为平面力系问 题来分析计算。 如水利工程上常见的重力坝，如图a所示。在对其进行 力学分析时，往往取单位长度（如１ｍ）的坝段来考察， 而将坝段所受的力简化成为作用于坝段中央平面内的平面 力系，如图b所示。
一、平面任意力系的简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2、…Fn，如 图所示。显然无法象平面汇交力系那样，用力的平行四边形 法则来合成它。
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi
Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
这个定理也可很直观地理解，如下图表示
F3
o
F2
y
D
F3
C
F
A
B
F1
b d
F2
x
F1
o
c Fx1 ab, Fx 2 bc, Fx3 cd, Fx ad
a
第一节 汇交力系的合成与平衡
y
F4
用解析法求图所示 平面汇交力系的合力 。
其中：
F1 = 500 N，F2 = 1000 N， F3 = 600 N，F4 = 2000 N。 F3 F2
O
x
F1 图 例3-1附图
第一节 汇交力系的合成与平衡
解：根据合力投影定理，得合力
在轴x，y上的投影分别为：
FRx Fix 0 1000cos 450
第一节 汇交力系的合成与平衡
实际工程中的汇交力系实例 如起重机起吊重 物时(图a)，作用于 吊钩C 的力有：钢绳 拉力F3及绳 AC 和 BC 的拉力F1及F2 (图b)，它们都在同 一铅直平面内并汇交 于C 点，组成一平面 汇交力系。
图 吊钩受力图
第一节 汇交力系的合成与平衡
图b为图a所示的 屋架的一部分， 其中各杆所受的 力F1、F2、F3、 F4在同一平面内 并汇交于一点， 也组成一平面汇 交力系。
Fx F cos
Fy F cos F sin
即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹 角的余弦。这样当 、 为锐角时, Fx、Fy 均为正值； 为钝角时， Fx、Fy可能为负值。 当 、 故力在坐标轴上的投影是个代数量。
合力投影定理
定义：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。即
Fy tan Fx
式中 表示合力 F 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向 由 Fx、Fy的正负号用图判定。这种运用投影求 合力的方法，称为解析法。 用图可表示为：
F F
y
Fy
F3
Fn
o
F2
F F1
Fx
x
第一节 汇交力系的合成与平衡
二、汇交力系的平衡 如果一个汇交力系的合力等于零，则该 力系成为平衡力系。反过来，如果一个汇交 力系成平衡，其该力系的合力必为零。所以， 汇交力系成平衡的必要与充分条件是：汇交 力系的合力等于零。 即： 亦即
F1
(b)
Fn
y
FR '
F1 '
M1
(c)
o
Mo
x
Fn '
(d)
图 平面一般力系的简化
第二节 平面任意力系的简化
根据汇交力系合成的理论， FR 应等于所有汇交力的
矢量和，即
FR = F1 + F2 + + Fn
亦即
FR = F1 + F2 + + Fn = Fi
根据力偶系合成的理论， M O 应等于各附加力偶矩的 代数和，又等于原力系各力对点O 的矩的代数和， 即:
第三章
平面力系的合成与平衡
第一节 汇交力系的合成与平衡
3.1 汇交力系的合成与平衡
第一节 汇交力系的合成与平衡
若力系中各力的作用线汇交于一点，则该力 系称为汇交力系。 若一个汇交力系的各力的作用线都位于同一 平面内，则该汇交力系称为平面汇交力系，否则 称为空间汇交力系。
根据力的可传性，各力作用线的汇交点可 以看作各力的公共作用点，所以汇交力系有 时也称为共点力系。
MO M1 M 2 M n MO Fi
平面一般力系的三种简化结果 1 . 力系简化为力偶
FR' 0, Mo 0
F
C
力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。 例
a
a
F
A
a
B
F
FR' 0, M A M B MC 0.866Pa
第一节 力的平移定理
3.2 力的平移定理
定理 ：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动到刚体 上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。 证明：如下图所示： M B ( F ) Fd M M B ( F )
F
B
F
B
d
A
F
F”
B
F
d
A
d A (c)
例题
2. 碾子能越过障碍的力学条 件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。
F
FB
B
O
由此可得
P
A
F P tan q 11.5 kN
a
q
FA FB
q
FB P c Fmin F
P FB 23.09 kN cos q
P b
3. 拉动碾子的最小力为
FA F
Fmin P sin q 10 kN
因 ad ab bc cd ,故 同理可得
Fx Fx1 Fx 2 Fx3
Fy Fy1 Fy 2 Fy 3
合成 当应用合力投影定理求出力系的合力的投影Fx、Fy后， 可用下式求出合力的大小和方向
F
Fx Fy
2 2
( Fxi)2 ( Fyi)2
yi xi
2 2 F xi F yi 0
F
xi
0 ， Fyi 0
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个 坐标轴中上的投影之代数和均等于零。 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
第一节 汇交力系的合成与平衡
对于空间汇交力系，有三个独立平衡方程， 可用来求解三个未知数；而平面汇交力系只有两 个独立平衡方程，可以求解两个未知数。 虽然上述方程是由直角坐标系导出的，但在实 际运算中，并不一定取直角坐标，只须取互不平行 且不都在同一平面内的三轴为投影轴即可。根据具 体情况，适当选取投影轴，往往可以简化计算。 解答平衡问题时，未知力的指向可以任意假设， 如结果为正值，表示假设的指向就是实际的指向； 如结果为负值，则表示实际的指向与假设的指向相 反。
600 2000cos300 425 N
FRy Fiy 500 1000sin 450
0 2000sin 300 207 N
第一节 汇交力系的合成与平衡
合力的大小：
FR F F 473 N
2 Rx 2 Ry
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
425 cos( FR , x) cos 0.9 473 207 cos( FR , y ) cos 0.438 473
R
F B
O
障碍物的压力；(2)欲将碾子拉
过障碍物，水平拉力至少应为多 大；(3)力F 沿什么方向拉动碾 子最省力，此时力F为多大。
q
A
h
例题
解：
1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。
R
F
O
各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条 件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
B
q P
A
(a)
图 节点O受力图
第一节 汇交力系的合成与平衡
图是一索道运输设 备的示意图，其中钢 绳及立柱作用于滑轮A 上的力F1、F2、F3及 F4 都通过轮的中心， 但不在同一平面内， 组成一空间汇交力系。
图 滑轮A受力图
一、汇交力系的合成 ——几何法 应用力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。 如图所示。用解析式表达为
合力与轴x，y的夹角分别为：
26
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第一节 汇交力系的合成与平衡
梁AB 支承和受力情况如图所示，求支 座A、B 的反力。
第一节 汇交力系的合成与平衡
解：根据铰支座的性质，FA的方向本属未定，
但因梁只受三个力，而FP与FB交于C，故FA必沿 AC作用，并由几何关系知FA与水平线成30°。 假设FA与FB的指向如图所示。取x、y轴如图2-6b 所示，由平衡方程为：
h
由已知条件可求得 Rh cos q 0.866 R q 30
再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得
F FB
B
O
P
A
FB
(b)
q
FB sin q F FA FB cos q P
解得
FA
FA F
(c)
P
F FB 10 kN, sin q
FA P FB cos q 11.34 kN