高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新单元《平面向量》专题解析
一、选择题
1．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B
C ．2
D ．98
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入225+=8
λμ求出双曲线的离心率. 【详解】 由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2
(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a
- 因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a a
λλ=+-. 所以,,b u c u c λλ+=-=
解之得,.22b c c b u c c λ+-=
=
因为225+=
8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A
【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
求出,u λ. 2．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）
A ．83-
B ．1-
C ．1
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得
直接求得结果即可．
【详解】
由已知可得：7 ， 又23tan BED 33
BD ED ∠=== 所以221tan 1cos 1tan 7
BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
3．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，22
20OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r ，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y =-⎧⎨
=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.
【详解】 设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r .
由3PB PA =u u u r u u u r 可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，
【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r 方向上的投影为( )
A ．165-
B ．165
C ．1613-
D ．1613
【答案】C
【解析】
【分析】 先计算出16a b r r ⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r r 可得 【详解】 ()4,3a =r Q ，()5,12b =-r ，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r ， 则向量a r 在b r 方向上的投影为1613a b b
⋅-=r r r ， 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r 的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r r
5．在ABC V 中，4AC AD =u u u r u u u r ，P 为BD 上一点，若14
AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则实数λ的值（ ）
A ．34
B ．320
C ．316
D ．38
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意，可得出144
λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ，由于B ，P ，D 三点共线，根据向量共线定理，即可求出λ.
解：由题知：4AC AD =u u u r u u u r ，14AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ， 所以144
λ=+u u u r u u u r u u u r AP AB AD ， 由于B ，P ，D 三点共线，
所以1414
λ+=， ∴316
λ=． 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的共线定理以及平面向量基本定理的应用.
6．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）
A ．1162DF A
B A
C =--u u u r u u u r u u u r B ．1134
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r C ．3142DF AB AC =-+u u u r u u u r u u u r D ．1126
DF AB AC =--u u u r u u u r u u u r 【答案】A
【解析】
【分析】
设AB AF λ=u u u r u u u r ，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r ，即可得出答案. 【详解】
设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444
AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u u r u u u r r u u u r u u u r 因为C E F 、、三点共线，则1=144
λ+，=3λ 所以1111132262
DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.
7．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．32
C ．1
D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】 由1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r ，然后套用公式向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||
AF BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】
因为点E 为BC 的中点，所以1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又因为EF BC ⊥， 所以()
22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||AF BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r . 故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
8．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3
π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.
【详解】 由题意，可得222|2|||4||4444||||cos
43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ， 所以|2|2a b -=r r ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，3AE EO =u u u v u u u v ，则•EC ED u u u v u u u v
的值是（ ）
A ．45-
B ．1516-
C ．14-
D ．5
8
- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】 ()()()()
•••EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC =++=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2221151416EO OC ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ,选B. 【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u r
A ．12A
B AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u u r u u u r
C ．12AB A
D +u u u r u u u r D ．12
AB AD -u u u r u u u r 【答案】A
【解析】
【分析】
由平面向量的加法法则运算即可.
【详解】 如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法
则可知1.2
BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 故选A.
【点睛】
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r ，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ）
A ．1005
B ．1006
C ．2010
D ．2012 【答案】A
【解析】
【分析】 根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.
【详解】
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ；
∴{a n }为等差数列； 由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线；
∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，
∴S 2010()
12010201020101100522
a a +⨯===. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能
力，属于中档题.
12．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v （ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．1
【答案】C
【解析】
【分析】 利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v ，再利用数量积的定义得解．
【详解】
依据已知作出图形如下：
()
11213333
CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v . 所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v 221211cos 13333
π=
⨯⨯⨯+⨯= 故选C
【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．
13．如图，两个全等的直角边长分别为3AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+等于（ ）
A．
323
3
-+
B．
32
3
3
+
C．31
-D．31
+
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐标系，求出D点坐标，从而得出λ，μ的值．
【详解】
解：1
AC=
Q，3
AB=，30
ABC
∴∠=︒，60
ACB
∠=︒，以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则
13
,1
2
D
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
．
()3,0
AB=
u u u r
，()
0,1
AC=
uu u r
，
∴
13
,1
2
AD
⎛⎫
=+
⎪
⎪
⎝⎭
u u u r
．
Q AD AB AC
λμ
=+
u u u r u u u r u u u r
，
∴
1
3
2
3
1
2
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，∴
3
3
1
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
23
1
λμ
∴+=+．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
14．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为 A ．12 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以2221||()12112
a b a b -=-=-⨯+=r r r r ，故选B. 点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r ，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
15．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v
的值是
A ．－8
B ．－1
C ．1
D ．8
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2
AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2
BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则 1()()4
AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v
221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2211(||)()42
AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)[()]42
AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)()42
AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2211(||)42
AC AB AO BC =-+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 所以221(||)82
AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D
16．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v 的最小值是（ ）
A ．21-
B ．2
C ．0
D ．1
【答案】D
【解析】 试题分析：由题意得，设
，,,又因为,所以
，所以PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值为1，故答案选D. 考点：1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.
17．设()1,a m =r ，()2,2b =r ，若()
2a mb b +⊥r r r ，则实数m 的值为（ ） A ．12 B ．2 C ．1
3- D ．-3
【答案】C
【解析】
【分析】 计算()222,4a mb m m +=+r r ，根据向量垂直公式计算得到答案.
【详解】 ()222,4a mb m m +=+r r ，
∵()2a mb b +⊥r r r ，∴()
20a mb b +⋅=r r r ，即()22280m m ⋅++=，解得1
3
m =-. 故选：C . 【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
18．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r
，则AE BF ⋅=u u u r u u u r （ ）
A ．24
B ．7-
C ．10-
D ．12- 【答案】D
【解析】
【分析】 根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r 用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.
【详解】
由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12
BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r ,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13
BF AF AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||16(8)16126666
AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：D
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 19．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()
0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=
，故ABC ∆为直角三角形.
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
20．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()22
2001x x +=-解得01x =-
(
E ∴-
(
C Q ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r
()1,343E x M x -=--u u u r
()()()
3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.。