2019高三数学人教A版 文一轮教师用书：第2章 第1节 函

第章函数、导数及其应用
第一节函数及其表示
[考纲传真](教师用书独具)1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
(对应学生用书第7页)
[基础知识填充]
1．函数与映射的概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两
个函数为相等函数．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． [知识拓展]
求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为R ； (2)分式的分母不为零；
(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝tan x 的定义域为；
(6)x 0中x ≠0；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )
(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )
(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1
x －3
的定义域为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫
32，＋∞
B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，3∪(3，＋∞)
D ．(3，＋∞)
C [由题意知⎩⎨⎧
2x －3≥0，x －3≠0，
解得x ≥3
2且x ≠3.]
3．(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，x ≤1log 1
2
x ，x ＞1则f [f (4)]＝________.
【导学号：79170012】
1
4
[f (4)＝log 124＝－2，所以f [f (4)]＝f (－2)＝2－2＝14.] 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.
－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，
∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数．
其中正确命题的序号是________．
① [由函数的定义知①正确．
∵满足⎩⎨⎧
x －3≥0，2－x ≥0
的x 不存在，∴②不正确．
∵y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点， ∴③不正确．
∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．]
(对应学生用书第8页)
( )
A ．(－2,1)
B ．[－2,1]
C ．(0,1)
D ．(0,1]
(2)(2017·郑州模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝
f (2x )
x －1
的定义域是________． (1)C (2)[0,1)
[(1)由题意得⎩⎨⎧
－x 2－x ＋2≥0
ln x ≠0
x ＞0
，解得0＜x ＜1，故选C ．
(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．]
[规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．
[变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x ＋1
x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．
(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎨⎧ 1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎨
⎧
x ≤0，x ＞－3，
∴－3＜x ≤0.
(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2.]
(1)已知f
⎝ ⎛⎭
⎪2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．
(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．
(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．
[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2
t －1，
∴f (t )＝lg
2t －1，即f (x )＝lg 2x －1
(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎨
⎧
2a ＝1，
a ＋
b ＝－1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－3
2，
∴f (x )＝12x 2－3
2x ＋2.
(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋2f (x )＝1x .
联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＋2f (x )＝1x ，
解得f (x )＝23x －x
3(x ≠0)．
[规律方法] 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出
另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；
(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．
[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 【导学号：79170013】 (2)已知f (x )是一次函数，且2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )＝________. (1)x 2
－1(x ≥1) (2)2x ＋2
3 (3)
2x ＋1
－2－x
3
[(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，
又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 由2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，得
2[k (x －1)＋b ]＋k (x ＋1)＋b ＝6x ，即3kx －k ＋3b ＝6x ， ∴⎩
⎨⎧
3k ＝6－k ＋3b ＝0，
∴k ＝2，b ＝23，即f (x )＝2x ＋23. (3)由f (－x )＋2f (x )＝2x ①， 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ②， ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋
1－2－
x .
即f (x )＝2x ＋1－2－x
3
.
∴f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1－2－x
3
.]
角度1 求分段函数的函数值
(1)(2017·湖南衡阳八中一模)若f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ，x ≤0，
log 3x ，x ＞0，则
f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．9
D ．－9
(2)(2017·东北三省四市一联)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧
2sin x ，x ≥0，lg (－x )，x ＜0，那么f (2 016＋π4)·f (－7 984)＝( )
A ．2 016
B ．1
4 C ．4
D ．12 016
(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ，x ≤0，
log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2
＝9.故选C ．
(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0
时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C ．] 角度2 已知分段函数的函数值求参数
(1)(2017·成都二诊)已知函数f (x )＝
⎩⎨⎧
log 2x ，x ≥1，
x 2＋m 2
，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或－1 C ． 3
D ．3或－ 3
(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )
A ．1
B ．78
C ．3
4
D ．12
(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D ．
(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫
52－b －b ＝152－4b ＝4，
解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则25
2－b ＝4，解得b ＝12.]
角度3 解与分段函数有关的方程或不等式
(1)(2017·石家庄一模)已知函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
sin πx 2
，－1＜x ≤0，
log 2(x ＋1)，0＜x ＜1，且f (x )
＝－1
2，则x 的值为________. 【导学号：79170014】 (2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
e x －1，x <1，x 1
3，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值
范围是________．
(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－1
3； 当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－1
3. (2)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2.
当x ≥1时，x ≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．]
[规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．。