江苏高一高中数学期末考试带答案解析

江苏高一高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.（2015秋•溧阳市期末）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁
U
B= ．
2.（2008•南京二模）cos300°的值是．
3.（2015秋•溧阳市期末）函数的最小正周期为．
4.（2015秋•溧阳市期末）已知向量=（1，2），=（﹣2，2），则|﹣|的值为．
5.（2015秋•溧阳市期末）已知tan（α+）=2，则tanα=．
6.（2015秋•溧阳市期末）若cos2α=，则sin4α﹣cos4α=．
7.（2015秋•溧阳市期末）已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 cm2．
8.（2015秋•溧阳市期末）已知sinα﹣cosα=m﹣1，则实数m的取值范围是．
9.（2015秋•溧阳市期末）已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．
10.（2015秋•溧阳市期末）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若
，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．
11.（2015秋•溧阳市期末）已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．
12.（2015秋•溧阳市期末）对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：
．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．
二、解答题
1.（2015秋•溧阳市期末）已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为．
2.（2015秋•溧阳市期末）已知，，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
3.（2015秋•溧阳市期末）已知||=3，||=5，|+|=7．
（1）求向量与的夹角θ；
（2）当向量k+与﹣2垂直时，求实数k的值．
4.（2015秋•溧阳市期末）已知向量，，θ为第二象限角．
（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；
（2）若∥，求的值．
5.（2015秋•溧阳市期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系
y=e kx+b（e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．
（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
6.（2015秋•溧阳市期末）已知函数f（x）=4﹣log
2x，g（x）=log
2
x．
（1）当时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．
7.（2015秋•溧阳市期末）已知函数．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；
（2）已知函数g（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]⊆D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．
三、选择题
（2015秋•溧阳市期末）已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．
江苏高一高中数学期末考试答案及解析
一、填空题
B= ．
1.（2015秋•溧阳市期末）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁
U
【答案】{1}
【解析】直接利用交、并、补集的混合运算求得答案．
解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}，
∴∁
B={1，3}，
U
又A={1，4}，
∴A∩∁
B={1}．
U
故答案为：{1}．
【考点】交、并、补集的混合运算．
2.（2008•南京二模）cos300°的值是．
【答案】
【解析】根据诱导公式，可先借助300°=360°﹣60°，再利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出．
解：cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°=
故答案为
【考点】运用诱导公式化简求值．
3.（2015秋•溧阳市期末）函数的最小正周期为．
【答案】
【解析】根据正切函数的周期性进行求解即可．
解：的周期为T=．
故答案为：．
【考点】正切函数的图象．
4.（2015秋•溧阳市期末）已知向量=（1，2），=（﹣2，2），则|﹣|的值为．
【答案】3
【解析】首先求出﹣的坐标，然后求模．
解：因为向量=（1，2），=（﹣2，2），所以﹣=（3，0），所以|﹣|=3；
故答案为：3．
【考点】平面向量数量积的运算．
5.（2015秋•溧阳市期末）已知tan（α+）=2，则tanα=．
【答案】
【解析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得tanα 的值．
解：∵已知tan（α+）=2，∴=2，解得tanα=，
故答案为：．
【考点】两角和与差的正切函数．
6.（2015秋•溧阳市期末）若cos2α=，则sin4α﹣cos4α=．
【答案】﹣
【解析】把所求的式子利用平方差公式化简，利用同角三角函数间的平方关系sin2α+cos2α=1进行化简，提取﹣1后再根据二倍角的余弦函数公式变形，将coc2α的值代入即可求出值．
解：∵cos2α=，
∴sin4α﹣cos4α
=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）
=﹣（cos2α﹣sin2α）
=﹣cos2α
=﹣．
故答案为：﹣
【考点】二倍角的余弦．
7.（2015秋•溧阳市期末）已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 cm2．
【答案】1
【解析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．
解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，
所以扇形的面积为：=1．
故答案为：1．
【考点】扇形面积公式．
8.（2015秋•溧阳市期末）已知sinα﹣cosα=m﹣1，则实数m的取值范围是．
【答案】﹣1≤m≤3
【解析】利用辅助角公式可将sinα﹣cosα化简为2sin（α﹣），利用正弦函数的有界性即可求得实数m的取值范围．
解：∵m﹣1=sinα﹣cosα=2sin（α﹣），
∴由正弦函数的有界性知，﹣2≤m﹣1≤2，
解得﹣1≤m≤3．
∴实数m的取值范围﹣1≤m≤3．
故答案为：﹣1≤m≤3．
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．
9.（2015秋•溧阳市期末）已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．
【答案】
【解析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象，可得=3+1，
求得ω=．
再根据五点法作图可得•（﹣1）+φ=0，求得φ=，
故f（x）=，
故答案为：．
【考点】正弦函数的图象．
10.（2015秋•溧阳市期末）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若
，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为．
【答案】
【解析】设=，=，则=，=+，从而=，由此能求出λ+μ．
解：设=，=，
∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF，
∴=，=+，
∵，λ，μ均为实数，，
∴=，
∴，解得，
∴λ+μ=．
故答案为：．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
11.（2015秋•溧阳市期末）已知f（x）是定义在R上且周期为6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是．
【答案】
【解析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，
所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0，
即±3也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，
且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．
所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，
即或，
解得．
故答案为：．
【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．
12.（2015秋•溧阳市期末）对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：
．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．
【答案】
【解析】令==，==．则cos 2θ=，根据θ的范围和||＞||得出
k 1，k 2的值，计算出和sinθ．
解：==
=
=
，===
=．
∴（
）•（
）=cos 2θ=
，∵
，∴＜cos 2θ＜，即＜
＜． ∵k 1，k 2∈Z ，∴k 1k 2=2．∵，∴k 1=2，k 1=1，∴cos 2θ=，sinθ=
．：
=
．
∴
=
×
=．
故答案为：．
【考点】平面向量数量积的运算．
二、解答题
1.（2015秋•溧阳市期末）已知函数f （x ）=x 2﹣3x 的定义域为{1，2，3}，则f （x ）的值域为 ． 【答案】{﹣2，0}
【解析】直接把x 的取值代入函数解析式求解． 解：∵函数f （x ）=x 2﹣3x 的定义域为{1，2，3}， 得f （1）=﹣2，f （2）=﹣2，f （3）=0． ∴f （x ）的值域为{﹣2，0}． 故答案为：{﹣2，0}． 【考点】函数的值域．
2.（2015秋•溧阳市期末）已知，
，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值； （2）求sinβ的值． 【答案】（1）；
（2）
【解析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值． （2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin （α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值． 解：（1）∵，α为锐角，∴
，
∴
．
（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），
∴，
∴
．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．
3.（2015秋•溧阳市期末）已知||=3，||=5，|+|=7． （1）求向量与的夹角θ；
（2）当向量k +与﹣2垂直时，求实数k 的值． 【答案】（1）60°； （2）﹣
．
【解析】（1）对模两边平方，利用两个向量的数量积的定义解得cosθ=，即可求出θ的度数； （2）根据向量垂直，其数量积为0，即可求出k 的值． 解：（1）∵||=3，||=5，|+|=7， ∴|+|2=（）2+（）2+2=||2+||2+2||||cosθ=9+25+30cosθ=47， ∴cosθ= ∵0°≤θ≤180°，
∴θ=60°；
（2）∵向量k+与﹣2垂直，
∴（k+）（﹣2）=0，
∴k||2﹣2||2+（1﹣2k）||||cosθ=0，
即9k﹣50+（1﹣2k）×3×5×=0，
解得k=﹣．
【考点】平面向量数量积的运算．
4.（2015秋•溧阳市期末）已知向量，，θ为第二象限角．
（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；
（2）若∥，求的值．
【答案】（1）；
（2）7．
【解析】（1）由得，对sinθ﹣cosθ取平方得（sinθ﹣cosθ）2=，根据θ的范围开方得出sinθ﹣cosθ的值；
（2）由∥得，对进行化简得出答案．
解：（1）∵，∴，∴．
∴．
∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴．
（2）∵∥，∴﹣2sinθ﹣cosθ=0，∴．
∴，．
∴．
【考点】平面向量数量积的运算．
5.（2015秋•溧阳市期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）之间满足函数关系
y=e kx+b（e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．
（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
【答案】（1）20小时；
（2）储存温度不能超过10℃
【解析】（1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e30k+b即可．
（2）由题意y=e kx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．
解：（1）由题意，，∴
∴当x=30时，．
答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．
（2）由题意y=e kx+b≥80，∴，
∴kx≥10k．
由可知k＜0，故x≤10．
答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．
【考点】函数模型的选择与应用．
6.（2015秋•溧阳市期末）已知函数f（x）=4﹣log
2x，g（x）=log
2
x．
（1）当时，求函数h （x ）=f （x ）•g （x ）的值域；
（2）若对任意的x ∈[1，8]，不等式f （x 3）•f （x 2）＞kg （x ）恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）（﹣5，4]； （2）．
【解析】（1）h （x ）=（4﹣log 2x ）•log 2x ，利用换元法，配方法，即可求函数h （x ）=f （x ）•g （x ）的值域； （2）令t=log 2x ，则t ∈[0，3]﹒（4﹣3t ）（4﹣2t ）＞kt 对t ∈[0，3]恒成立．令φ（t ）=（4﹣3t ）（4﹣2t ）﹣kt=6t 2﹣（k+20）t+16，则t ∈[0，3]时，φ（t ）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k 的取值范围． 解：（1）由题意，h （x ）=（4﹣log 2x ）•log 2x ， 令t=log 2x ，则y=﹣t 2+4t=﹣（t ﹣2）2+4， ∵
，∴t ∈（﹣1，3），y ∈（﹣5，4]
即函数h （x ）的值域为（﹣5，4]．
（2）∵f （x 3）•f （x 2）＞kg （x ），令t=log 2x ，则t ∈[0，3]﹒ ∴（4﹣3t ）（4﹣2t ）＞kt 对t ∈[0，3]恒成立．
令φ（t ）=（4﹣3t ）（4﹣2t ）﹣kt=6t 2﹣（k+20）t+16， 则t ∈[0，3]时，φ（t ）＞0恒成立． ∵φ（t ）的图象抛物线开口向上，对称轴，
∴①当，即k≤﹣20时，∵φ（0）＞0恒成立，
∴k≤﹣20； ②当
，即k≥16时，
由φ（3）＞0，得，不成立；
③当，即﹣20＜k ＜16时， 由
，得
，
∴． 综上，． 【考点】分段函数的应用．
7.（2015秋•溧阳市期末）已知函数．
（1）当0＜a ＜b 且f （a ）=f （b ）时，①求
的值；②求
的取值范围；
（2）已知函数g （x ）的定义域为D ，若存在区间[m ，n]⊆D ，当x ∈[m ，n]时，g （x ）的值域为[m ，n]，则称函数g （x ）是D 上的“保域函数”，区间[m ，n]叫做“等域区间”．试判断函数f （x ）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由． 【答案】（1）①4；②
（2）见解析
【解析】（1）①f （x ）在
上为减函数，在
上为增函数，当0＜a ＜b 且f （a ）=f （b ）时，，且
，即可求
的值；②由①知
，代入，利用配方法求
的取值范围； （2）假设存在[m ，n]⊆（0，+∞），当x ∈[m ，n]时，f （x ）的值域为[m ，n]，则m ＞0.
，可得
．利用分类讨论，即可得出结论．
解：（1）由题意，
∴f （x ）在上为减函数，在
上为增函数．
①∵0＜a ＜b ，且f （a ）=f （b ），
∴，且
，
∴．
②由①知
，
∴，
∵，∴．
（2）假设存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．
∵，∴．
①若，∵f（x）在上为减函数，
∴解得或，不合题意．
②若，∵f（x）在上为增函数，
∴解得不合题意．
综上可知，不存在[m，n]⊆（0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．
【考点】函数单调性的性质．
三、选择题
（2015秋•溧阳市期末）已知函数f（x）=a x+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．【答案】（﹣1，0）
【解析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．
解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
【考点】指数函数的图像与性质．。