人教新课标版数学高一-2014版数学人教A版必修一练习周练(2)函数及其表示

周练(二) 函数及其表示
(时间：80分钟满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是
()．A．1 B．2 C．0或1 D．1或2
解析结合函数的定义可知，如果f：A→B成立，则任意x∈A，则有唯一确定的B与之对应，由于x＝1不一定是定义域中的数，故x＝1可能与函数y ＝f(x)没有交点，故函数f(x)的图象与直线x＝1至多有一个交点．
答案 C
2．如下图给出的四个对应关系，其中构成映射的是
()．
A．(1)(2) B．(1)(4)
C．(1)(2)(4) D．(3)(4)
解析在(2)中，元素1和4没有对应关系，(3)中元素1和2都有两个元素与它们对应，不满足映射的定义；(1)、(4)符合映射定义．故选B.
答案 B
3．(2013·汕头高一检测)已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为
()．
A．y＝1
2x B．y＝
2
4x
C ．y ＝2
8x D ．y ＝2
16x
解析 正方形的对角线长为24x ，从而外接圆半径为y ＝12×24x ＝2
8x . 答案 C
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个： (1)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；(2)y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x ∈{－2,2}． 那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”共有
( )．
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个 解析 当y ＝1时，x ＝0； 当y ＝5时，x ＝±2.
∴y ＝2x 2＋1，x ∈{}
0，2，或x ∈{0，－2}或x ∈{0，2，－2}，则所求的“孪生函数”有3个． 答案 C
5．已知f (x )＝⎩⎨⎧
2x ，x ＞0，f (x ＋1)，x ≤0，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于
( )．
A ．－2
B ．4
C ．2
D ．－4 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43＝2×43＝83，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝43. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 答案 B
6．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶．下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情
( )．
解析 根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有B 、C 两项符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B 项． 答案 B
7．若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝3x ，则f (2)的值为
( )．
A ．1
B ．－1
C ．－32 D.3
2 解析 令x ＝2时，f (2)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝6，①
令x ＝12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＋2f (2)＝32.②
由①、②联立，得f (2)＝－1. 答案 B
8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－x ＋1，x ＜1，1
x
，x ＞1，的值域是
( )．
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
34，＋∞ B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，1 D ．(0，＋∞)
解析 f (x )＝x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥3
4(x ＜1)，
当x ＞1时，f (x )＝1
x ∈(0,1)，
∴f (x )的值域(0,1)∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34，＋∞＝(0，＋∞)．
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．下列图形是函数y ＝⎩
⎨⎧
x 2，x <0，
x －1，x ≥0，的图象的是________．
解析 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形③符合． 答案 ③
10．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求B 中元素⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，54与A 中________对应．
解析
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＝3
2，
x 2
＋1＝54
，解得x ＝1
2.
答案 1
2
11．若函数f (x )的定义域为[0,4]，则g (x )＝f (2x )
x －1
的定义域为________． 解析 ∵f (x )的定义域为[0,4]， ∴要使g (x )有意义， 应有⎩⎪⎨⎪⎧
0≤2x ≤4，x －1≠0，
因此0≤x ≤2，且x ≠1. ∴g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2]． 答案 [0,1)∪(1,2]
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x －1(－1≤x ＜0)，
－x ＋1(0＜x ≤1)，则f (x )－f (－x )＞－1的解集为
________．
解析 (1)当－1≤x ＜0时，f (x )＝－x －1， f (－x )＝x ＋1，
∴原不等式化为－x －1－(x ＋1)＞－1，x ＜－1
2， 因此－1≤x ＜－1
2.
(2)当0＜x ≤1时，
f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝x －1， ∴原不等式化为 －2x ＋2＞－1，x ＜3
2. 因此0＜x ≤1.
综上(1)、(2)知，原不等式的解集为 [－1，－1
2)∪(0,1]． 答案 [－1，－1
2)∪(0,1] 三、解答题(每小题10分，共40分)
13．已知f (x )＝⎩⎨⎧
x (x ＋4) (x ≥0)，
x (x －4) (x <0)，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．
解 f (1)＝1×(1＋4)＝5， ∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0. 当a ＋1≥0，即a ≥－1时， 有(a ＋1)(a ＋5)＝0， ∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)； 当a ＋1<0，即a <－1时，
有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.
14．如图所示，函数f (x )的图象是折线段A 、B 、C ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．
(1)求f [f (0)]的值； (2)求函数f (x )的解析式． 解 (1)直接由图中观察，可得 f [f (0)]＝f (4)＝2.
(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，k ≠0， 将⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝4，与⎩⎨⎧
x ＝2y ＝0代入，得 ⎩⎨⎧
4＝b ，0＝2k ＋b .∴⎩⎨⎧
b ＝4，k ＝－2. ∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．
同理，线段BC 所对应的函数解析式为 y ＝x －2(2＜x ≤6)．
因此函数f (x )＝⎩
⎨⎧
－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2＜x ≤6.
15．已知函数f (x )对任意实数a ，b ，都有f (ab )＝f (a )＋f (b )成立． (1)求f (0)与f (1)的值； (2)求证：f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝－f (x )；
(3)若f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 均为常数)，求f (36)的值． (1)解 令a ＝b ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0； 令a ＝1，b ＝0，得f (0)＝f (1)＋f (0)，解得f (1)＝0. (2)证明 令a ＝1x ，b ＝x ，得f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋f (x )＝0，
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x ＝－f (x )．
(3)解 令a ＝b ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2p ， 令a ＝b ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ， 令a ＝4，b ＝9，得f (36)＝f (4)＋f (9)＝2p ＋2q .
16．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．
解 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ， 所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上时， 即x ∈(0,2]时，y ＝1
2x 2；
(2)当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋(x －2)
2×2＝2x －2；
(3)当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时， y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－1
2(7－x )2 ＝－1
2(x －7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数解析式为
y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
12x 2
，x ∈(0，2]，
2x －2，x ∈(2，5]，
－12(x －7)2
＋10 ，x ∈(5，7].
图象如图所示．。