「精品」高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1.2指数函数学案新人教B版必修1

3．1.2 指数函数
1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．(重点
)
[基础·初探]
教材整理1 指数函数的定义
阅读教材P90～P91“第12行”以上内容，完成下列问题．
指数函数的定义
一般地，函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R
.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝－2x是指数函数．( )
(2)函数y＝2x＋1是指数函数．( )
(3)函数y＝(－2)x是指数函数．( )
【解析】(1)×.因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数．
(2)×.因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数．
(3)×.因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数．
【答案】(1)×(2)×(3)×
教材整理2 指数函数的图象和性质
阅读教材P91～P92，完成下列问题．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) (2)当a >1时，对于任意x ∈R ，总有a x >1.( ) (3)函数f (x )＝2－x
在R 上是增函数．( )
【解析】 (1)√.因为指数函数的值域是(0，＋∞)，所以指数函数的图象一定在x 轴的上方． (2)×.当x ≤0时，a x
≤1.
(3)×.因为f (x )＝2－x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，所以函数f (x )＝2－x
在R 上是减函数．
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[小组合作型]
(1)A ．y ＝a
x
B ．y ＝x a
(a >0且a ≠1) C ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12x
D ．y ＝(a －2)a x
(2)函数y ＝(a －2)2a x
是指数函数，则( )
A ．a ＝1或a ＝3
B ．a ＝1
C ．a ＝3
D ．a >0且a ≠1
【精彩点拨】 根据指数函数的定义判断、求解．
【自主解答】 (1)A 中a 的范围没有限制，故不一定是指数函数；B 中y ＝x a
(a >0且a ≠1)中变
量是底数，故也不是指数函数；C 中y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
显然是指数函数；D 中只有a －2＝1即a ＝3时为指数函数．
(2)由指数函数定义知⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
2
＝1，a >0，且a ≠1，
所以解得a ＝3.
【答案】 (1)C (2)C
1．指数函数具有形式上的严格性，在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住四点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x
的系数必须为1；
(4)指数函数不会是多项式，如y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)不是指数函数． 2．求指数函数的解析式常用待定系数法．
[再练一题]
1．(1)若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (x )＝________.
(2)已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________.
【解析】 (1)由题意设f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)，则f (2)＝a 2
＝9，又因为a >0，所以a ＝3，所以f (x )＝3x .
(2)由题意可知⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a －1>0，
2a －1≠1，解得a >12且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．
【答案】 (1)3x
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1∪(1，＋∞)
(1)y ＝1－3x
；
(2)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23－|x |； (3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.
【精彩点拨】 函数式有意义―→原函数的定义域――→指数函数
的值域原函数的值域
【自主解答】 (1)要使函数式有意义，则1－3x
≥0，即3x
≤1＝30
，因为函数y ＝3x
在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x
的定义域为(－∞，0]．
因为x ≤0，所以0<3x
≤1，所以0≤1－3x
<1. 所以1－3x
∈[0,1)，
即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)．
(3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1
＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2
x ＋1
＋2的定义域为
R .因为2x
>0，所以4x
＋2
x ＋1
＋2＝(2x )2
＋2×2x
＋2＝(2x
＋1)2
＋1>1＋1＝2，
即函数y ＝4x
＋2
x ＋1
＋2的值域为(2，＋∞)．
1．求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f a x 型函数的定义域时，往往转化为解
指数不等式(组)．
2．函数y ＝a
f (x )
的值域的求解方法如下：
(1)换元，令t ＝f (x )； (2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；
(4)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．
3．求与指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其它函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．
[再练一题]
2．求下列函数的定义域和值域．
【解】 (1)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠3}．
令t ＝1
x －3，则t ≠0，∴y ＝2t >0且2t ≠1，故函数的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2，则t ＝－(x －1)2＋1≤1，
[探究共研型]
探究1 指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过哪一定点？函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象又过哪一定点呢？
【提示】法一(平移法) ∵y＝a x过定点(0,1)，∴将函数y＝a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝a x－1＋2，此时函数y＝a x图象过定点(1,3)
法二(解方程法)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象过定点(0,1)；在f(x)＝a x－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，则f(x)＝3，所以函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(1,3)．探究2 指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象可能在第三或四象限吗？为什么？
【提示】不可能．因为指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)，这就决定了其图象只能在第一象限和第二象限．
探究3 从左向右，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势？其图象是上凸还是下凸？
【提示】当0<a<1时，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈下降趋势；当a>1时，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象从左向右呈上升趋势．指数函数的图象下凸．
(1)在同一坐标系中画出函数y＝a x，y＝x＋a的图象，可能正确的是( )
(2)函数y＝a－|x|(0＜a＜1)的图象是( )
【精彩点拨】(1)分a＞1和0＜a＜1两种情况分类讨论，结合排除法解题；(2)根据函数的奇偶性，单调性和函数的最值，以及函数的凹凸性即可判断．
【自主解答】(1)∵a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，对应函数y＝x＋a单调递增，
又∵当a＞1时，函数y＝a x单调递增，当0＜a＜1时，函数y＝a x单调递减，
A 中，从图象上看，y ＝a x
的a 满足a ＞1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＜1，不符合以上两条； B 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足0＜a ＜1，而直线y ＝x ＋a 的截距a ＞1，不符合以上两条； C 中，从图象上看，y ＝a x 的a 满足a ＞1，而函数y ＝x ＋a 单调递减，不符合以上两条， ∴只有选项D 的图象符合以上两条，故选D.
(2)y ＝a －|x |
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a |x |
，易知函数为偶函数，∵0＜a ＜1，∴a 1＞1，故当x ＞0时，函数为增函数，
当x ＜0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.
【答案】 (1)D (2)A
1．可用指数函数的图象过定点(0,1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题．
2．要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．
3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系． (1)在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小． (2)在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．
(3)无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过x 取1时函数值的大小关系去理解，如图3­1­1所示的指数函数的底数的大小关系为0＜d ＜c ＜1＜b ＜a .
图3­1­1
[再练一题]
3．定义一种运算：g ⊙h ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
g
g ≥h ，h g <h ，
已知函数f (x )＝2x
⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致
图象是( )
【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x
x ，x
，
∴f (x －1)＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
2x －1
x
，
x
，
∴其图象为B ， 故选B. 【答案】 B
1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x
B ．2x
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
x
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫22
x
【解析】 由题意，设f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2
＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x
. 【答案】 A
2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x
－1的值域是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－89，8
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫19，9 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤19，9 【解析】 y ＝3－x
－1，x ∈[－2,2)是减函数， ∴3－2
－1<y ≤32
－1， 即－8
9<y ≤8.
【答案】 A
3．已知f (x )＝a x
＋b 的图象如图3­1­2所示，则f (3)等于( )
图3­1­2
A ．22－2 B.39
－3 C ．33－3
D ．33－3或－33－3
【解析】 由图象知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2
－3＝0，所以a ＝3(负值
舍去)，故f (x )＝3x
2
－3，f (3)＝33－3.
【答案】 C 4．已知函数f (x )＝a
2x －4
＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m,2)，则m ＋n ＝________.
【解析】 令2x －4＝0，即x ＝2，f (x )＝1＋n .
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，1＋n ＝2，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，
n ＝1，∴m ＋n ＝3.
【答案】 3
5．已知f (x )＝9x －2×3x
＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x
，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．
【解】 (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x
在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t
的最大值为9，t 的最小值为1
3
.
(2)由f (x )＝9x
－2×3x
＋4＝t 2
－2t ＋4＝(t －1)2
＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1， 且1
3≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。