高中数学同步教学 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
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大,y=ax(a>1)的增长速度会越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>1)
和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非常快,人们常称
这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
(
)
A.y=2x
B.y=x10
C.y=lg x
D.y=10x2
是(
)
解析:由于f1(x)=ax,
所以f1(0)=1.由于f3(x)=logax,
故f3(1)=0.由于f2(x)=xa,
所以f2(1)=1,且f2(0)=0,
从而A,C,D均不正确,B正确.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型二 比较函数增长的差异
【例2】 分析指数函数y=2x与对数函数y=log2x在区间[1,+∞)上
的增长情况.
解:指数函数y=2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,y2-y1=23-21=6;
对数函数y=log2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,而y2-y1=log23log21≈1.585.
由此可知,在区间[1,+∞)上,指数函数y=2x随着x的增长函数值的
增长速度快,而对数函数y=log2x的增长速度缓慢.
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.巩固幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质.
2.通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢,了解这三
种函数增速的差别.
3.体会数形结合思想在研究函数中的应用.
三种增长函数模型的比较
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
函
数
在(0,+∞)上的
【例1】 已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图.设两函数的图像
交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图像,判断f(8),g(8),f(2 016),g(2 016)的大小.
分析:(1)根据函数图像特征判断;(2)根据函数值和单调性比较.
题型一
题型二
题型三
反思在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x和y=log2x的图像,从
图像上可观察出函数的增减变化情况.如图:
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,
假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是
1
2
f1(x)=x , f2(x)= 2 ,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果运动时间足够长,那么运
解析:本题涉及函数 y=2x,y=x2,y= , = 2− 的图像.
根据幂函数、指数函数的性质和图像的特点,a,c对应的函数分别
是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数,b,d对应的函数分别
为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型一 指数函数、对数函数、幂函数的图像
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上是增加的,当x∈(20,1 000]
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于比较大小的问题,若点在同一函数图像上,则根据单调性来判
断;若点分别在两个函数图像上,则根据图像的上下位置关系判断.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(a>0,且a≠1).在同
一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限的图像,正确的
答案:A
【做一做2】 若四个函数在第一象限中的图像如图所示,则
a,b,c,d所表示的函数可能是(
)
A.a:y=2x;b:y=x2;c:y= ; : = 2−
B.a:y=x2;b:y=2x;c:y=2-x;d:y=
C.a:y=x2;b:y=2x;c:yd:y=
动在最前面的物体一定是(
)
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际生活中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的图像,如图:
题型一
题型二
题型三
观察图像发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图像
都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才
符合公司要求,下面通过计算确认上述判断.
增加的
增加的
增加的
增减性
增长的速度 先慢后快
先快后慢
相对平稳
随着 x 的增大,图 随着 x 的增大,图
随着 n 值的
图像的变化
像上升的速度逐 像上升的速度逐
不同而不同
渐变快
渐变慢
在区间(0,+∞)上,尽管y=ax(a>1),y=xn(n>1)和y=logax(a>1)都是增
加的,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的增
题型一
题型二
题型三
解:(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,f(9)=512,g(9)=729,f(10)=1
024,g(10)=1 000.
所以f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10).
因此1<x1<2,9<x2<10,从而x1<8<x2<2 016.
由题图知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),则f(8)<g(8),
当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增加的,
故f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8).
反思依据函数图像写解析式,可根据函数图像特征进行判断求解.
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,
但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖
励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型符合该公司要求?
解:借助计算器或计算机作出函数
和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非常快,人们常称
这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
(
)
A.y=2x
B.y=x10
C.y=lg x
D.y=10x2
是(
)
解析:由于f1(x)=ax,
所以f1(0)=1.由于f3(x)=logax,
故f3(1)=0.由于f2(x)=xa,
所以f2(1)=1,且f2(0)=0,
从而A,C,D均不正确,B正确.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型二 比较函数增长的差异
【例2】 分析指数函数y=2x与对数函数y=log2x在区间[1,+∞)上
的增长情况.
解:指数函数y=2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,y2-y1=23-21=6;
对数函数y=log2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,而y2-y1=log23log21≈1.585.
由此可知,在区间[1,+∞)上,指数函数y=2x随着x的增长函数值的
增长速度快,而对数函数y=log2x的增长速度缓慢.
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.巩固幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质.
2.通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢,了解这三
种函数增速的差别.
3.体会数形结合思想在研究函数中的应用.
三种增长函数模型的比较
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
函
数
在(0,+∞)上的
【例1】 已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图.设两函数的图像
交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图像,判断f(8),g(8),f(2 016),g(2 016)的大小.
分析:(1)根据函数图像特征判断;(2)根据函数值和单调性比较.
题型一
题型二
题型三
反思在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x和y=log2x的图像,从
图像上可观察出函数的增减变化情况.如图:
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,
假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是
1
2
f1(x)=x , f2(x)= 2 ,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果运动时间足够长,那么运
解析:本题涉及函数 y=2x,y=x2,y= , = 2− 的图像.
根据幂函数、指数函数的性质和图像的特点,a,c对应的函数分别
是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数,b,d对应的函数分别
为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型一 指数函数、对数函数、幂函数的图像
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上是增加的,当x∈(20,1 000]
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于比较大小的问题,若点在同一函数图像上,则根据单调性来判
断;若点分别在两个函数图像上,则根据图像的上下位置关系判断.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(a>0,且a≠1).在同
一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限的图像,正确的
答案:A
【做一做2】 若四个函数在第一象限中的图像如图所示,则
a,b,c,d所表示的函数可能是(
)
A.a:y=2x;b:y=x2;c:y= ; : = 2−
B.a:y=x2;b:y=2x;c:y=2-x;d:y=
C.a:y=x2;b:y=2x;c:yd:y=
动在最前面的物体一定是(
)
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际生活中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的图像,如图:
题型一
题型二
题型三
观察图像发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图像
都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才
符合公司要求,下面通过计算确认上述判断.
增加的
增加的
增加的
增减性
增长的速度 先慢后快
先快后慢
相对平稳
随着 x 的增大,图 随着 x 的增大,图
随着 n 值的
图像的变化
像上升的速度逐 像上升的速度逐
不同而不同
渐变快
渐变慢
在区间(0,+∞)上,尽管y=ax(a>1),y=xn(n>1)和y=logax(a>1)都是增
加的,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的增
题型一
题型二
题型三
解:(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,f(9)=512,g(9)=729,f(10)=1
024,g(10)=1 000.
所以f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10).
因此1<x1<2,9<x2<10,从而x1<8<x2<2 016.
由题图知,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),则f(8)<g(8),
当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增加的,
故f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8).
反思依据函数图像写解析式,可根据函数图像特征进行判断求解.
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,
但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖
励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型符合该公司要求?
解:借助计算器或计算机作出函数