湖北省荆州市松滋一中高二数学下学期6月月考试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某省荆州市松滋一中2014-2015学年高二下学期6月月考数学试卷
（文科）
一、选择题（10小题，每小题5分，共50分10小题，每小题5分，共50分）
1．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）
A．8 B．C．3 D．
2．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）
A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5
C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5
3．下列说法正确的是（）
A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”
B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”
C．已知a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件
D．已知a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件
4．已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）
A．B．C．D．
5．“x=30°”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．下列函数求导运算正确的个数为（）
①（3x）′=3x log3e；
②（log2x）′=
③（e x）′=e x；
④（）′=x；
⑤（x•e x）′=e x+1．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列命题中，真命题是（）
A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
8．函数f（x）=ax3﹣x在R上为减函数，则（）
A．a≤0B．a＜1 C．a＜0 D．a≤1
9．已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值X围为（）
A．m≥2B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或m≥2D．﹣2≤m≤2
二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）
10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．
11．已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点，满足•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线离心率为．
12．已知条件p：x＞a，条件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值X围是．
13．函数f（x）=lnx﹣2x的单调递减区间是．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点的双曲线C经过点（1，0），且它的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．
三、解答题（75分）
15．已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
（1）当时a=﹣4时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，某某数a的取值X围．
16．如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B 作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．
17．（文）已知函数f（x）=x2lnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若b∈[﹣2，2]时，函数h（x）=，在（1，2）上为单调递减函数．某某数a的X围．
18．已知函数f（x）=x2+2x﹣3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}．
（1）求集合M∩N对应区域的面积；
（2）若点P（a，b）∈M∩N，求的取值X围．
19．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；
（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，某某数b的取值X围．
20．椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率，过点C（﹣1，0）的直线l交椭
圆于A、B两点，且满足：（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
某某省荆州市松滋一中2014-2015学年高二下学期6月月考数学试卷（文科）
一、选择题（10小题，每小题5分，共50分10小题，每小题5分，共50分）
1．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣3）2+y2=9相交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（）
A．8 B．C．3 D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．
解答：解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx﹣ay=0，
∵|AB|=2，圆的半径为3
∴圆心到渐近线的距离为2，
即=2，解得b= a
∴c=3a，
∴双曲线的离心率为e==3．
故选：C．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用数形结合的方法求得圆心到渐近线的距离．
2．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）
A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5
C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5
考点：全称命题；命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．
解答：解：∵命题是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，
故选：D．
点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．
3．下列说法正确的是（）
A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”
B．命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x=2，则x2﹣5x+6≠0”
C．已知a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的充要条件
D．已知a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件
考点：命题的真假判断与应用；四种命题．
专题：简易逻辑．
分析：利用四种命题的逆否关系判断A的正误；B的正误；充要条件判断C的正误；D的正误；
解答：解：对于A，命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”，所以A不正确．
对于B，命题“若x=2，则x2﹣5x+6=0”的否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”，所以B不正确．
对于C，已知a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，所以C不正确．对于D，已知a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件，所以D正确．
故选：D．
点评：本题考查四种命题与充要条件的判定，基本知识的考查．
4．已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）
A．B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，从而可得a=2，b=，从而写出
椭圆的标准方程．
解答：解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，
且c=1，e==，
故a=2，b=，
则椭圆的标准方程为，
故选A．
点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，属于基础题．
5．“x=30°”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：通过前者推出后者，后者推不出前者，利用充要条件的判断方法，得到结果．
解答：解：因为“x=30°”⇒“”正确，
但是解得x=k•360°+30°或x=k•360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，
所以“x=30°”是“”的充分而不必要条件．
故选A．
点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用．
6．下列函数求导运算正确的个数为（）
①（3x）′=3x log3e；
②（log2x）′=
③（e x）′=e x；
④（）′=x；
⑤（x•e x）′=e x+1．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：导数的运算．
分析：根据（a x）′=a x lna，（log a x）′=，（lnx）'=即可作出判断．
解答：解：①（3x）′=3x ln3，故错误；
②（log2x）′=，故正确；
③（e x）'=e x，故正确；
④（）′=﹣，故错误；
⑤（x•e x）′=e x+x•e x，故错误．
故选：B．
点评：此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．
7．下列命题中，真命题是（）
A．∃x0∈R，≤0B．∀x∈R，2x＞x2
C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用．
专题：计算题．
分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误；
解答：解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．
a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；
a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．
故选D．
点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用．
8．函数f（x）=ax3﹣x在R上为减函数，则（）
A．a≤0B．a＜1 C．a＜0 D．a≤1
考点：函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得f′（x）=3ax2﹣1≤0恒成立，由此可得a的X围．
解答：解：根据函数f（x）=ax3﹣x在R上为减函数，可得f′（x）=3ax2﹣1≤0恒成立，故有a≤0，
故选：A．
点评：本题主要考查函数的单调性的性质，函数的单调性和它的导数的关系，属于基础题．
9．已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值X围为（）
A．m≥2B．m≤﹣2 C．m≤﹣2或m≥2D．﹣2≤m≤2
考点：复合命题的真假．
专题：计算题；规律型．
分析：由题意，可先解出两命题都是真命题时的参数m的取值X围，再由pVq为假命题，得出两命题都是假命题，求出两命题都是假命题的参数m的取值X围，它们的公共部分就是所求
解答：解：由p：∃x∈R，mx2+1≤0，可得m＜0，
由q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，可得△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2
因为pVq为假命题，所以p与q都是假命题
若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤﹣2或m≥2
故符合条件的实数m的取值X围为m≥2
故选A
点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是准确理解复合命题的真假判断规则，
二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）
10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：先设P点坐标，进而根据双曲线的定义可知丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，根据|PF1|=4|PF2|求得e和a，x的关系式，进而根据x的X围确定e的X围，求得e的最小值．解答：解：设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，
∴ex+a=4（ex﹣a），化简得e=，
∵p在双曲线的右支上，
∴x≥a，所以e≤，即e的最大值是
故答案为：
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用了双曲线的定义，灵活利用了焦半径与离心率之间的关系．
11．已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点，满足•=0，且|PF1|=|PF2|，则该双曲线离心率为+1．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，进而根据|PF1|=|PF2|，分别求得|PF2|和|PF1|，根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得．
解答：解：由•=0，可得PF1⊥PF2，
∵|PF1|=|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，
∴|PF2|=（+1）a，|PF1|=（3+）a；
在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，
∴4c2=4（+1）a2，解得e=+1
故答案为：+1．
点评：本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．
12．已知条件p：x＞a，条件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值X围是[1，+∞）．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：解不等式x2+x﹣2＞0可得x＜﹣2或x＞1，原命题等价于{x|x＞a}是{x|x＜﹣2或x ＞1}的真子集，结合数轴可得．
解答：解：不等式x2+x﹣2＞0可化为（x﹣1）（x+2）＞0，
解得x＜﹣2或x＞1，
∵p是q的充分不必要条件，
∴{x|x＞a}是{x|x＜﹣2或x＞1}的真子集，
∴a≥1，即a的取值X围是[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）
点评：本题考查充要条件，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．
13．函数f（x）=lnx﹣2x的单调递减区间是（，+∞）．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出函数的导数，解不等式，解出即可．
解答：解：∵f（x）=lnx﹣2x，
∴f′（x）=﹣2，
令f′（x）＜0，
解得：x＞，
故答案为：（，+∞）．
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点的双曲线C经过点（1，0），且它的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．
考点：双曲线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先由抛物线性质求出双曲线焦点坐标，再利用双曲线的简单性质求解．
解答：解：∵抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），
∴双曲线C经过点（1，0），且它的右焦点F（2，0），
∴设双曲线方程为，且a=1，c=2，
∴b2=4﹣1=3，
∴双曲线方程为：．
故答案为：．
点评：本题考查双曲线方程的求法，解题时要认真审题，是基础题．
三、解答题（75分）
15．已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
（1）当时a=﹣4时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，某某数a的取值X围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．
专题：综合题．
分析：（1）当a=﹣时，f（x）=x2+2x﹣4lnx，x＞0.，由此能求出f（x）的极小值．
（2）由f（x）=x2+2x+alnx（a∈R），知，设g（x）=2x2+2x+a，由函
数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，能求出实数a的取值X围．
解答：解：（1）当a=﹣4时，f（x）=x2+2x﹣4lnx，x＞0
，
令f′（x）=0，得x=﹣2（舍），或x=1，
列表，得
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x）﹣ 0 +
f（x）↓极小值↑
∴f（x）的极小值f（1）=1+2﹣4ln1=3，
∵f（x）=x2+2x﹣4lnx，x＞0只有一个极小值，
∴当x=1时，函数f（x）取最小值3．
（2）∵f（x）=x2+2x+alnx（a∈R），
∴，（x＞0），
设g（x）=2x2+2x+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴实数a的取值X围是{a|a≥0，或a≤﹣4}．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
16．如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B 作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2﹣|MN1|2为定值，并求此定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．
分析：（1）设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx﹣8=0，设A（x1，y1），B （x2，y2），则有：x1x2=﹣8，由直线AO的方程y=x与BD的方程x=x2联立即可求得交点D
的坐标为，利用x1x2=﹣8，即可求得D点在定直线y=﹣2（x≠0）上；
（2）依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y，由△=0化简整理得b=﹣a2，故切线l的方程可写成y=ax﹣a2．分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的
坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），从而可证|MN2|2﹣|MN1|2为定值8．
解答：（1）证明：依题意，可设AB的方程为y=kx+2，代入x2=4y，得x2=4（kx+2），即x2﹣4kx﹣8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：x1x2=﹣8，
直线AO的方程为y=x；BD的方程为x=x2．
解得交点D的坐标为．
注意到x1x2=﹣8及=4y1，则有y===﹣2，
因此D点在定直线y=﹣2（x≠0）上．
（2）证明：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x2=4y得x2=4（ax+b），即x2﹣4ax﹣4b=0，
由△=0得（4a）2+16b=0，化简整理得b=﹣a2．
故切线l的方程可写成y=ax﹣a2．
分别令y=2、y=﹣2得N1、N2的坐标为N1（+a，2）、N2（﹣+a，﹣2），
则|MN2|2﹣|MN1|2=+42﹣=8，
即|MN2|2﹣|MN1|2为定值8．
点评：本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．
17．（文）已知函数f（x）=x2lnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若b∈[﹣2，2]时，函数h（x）=，在（1，2）上为单调递减函数．某某数a的X围．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．
专题：综合题．
分析：（I）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用f′（x）＜0，x＞0，确定函数单调递减区间；利用f′（x）＞0，x＞0，可得函数单调递增区间；
（2）求导函数，问题转化为x∈（1，2）时，h′（x）≤0恒成立，利用函数f（x）=x2lnx 在（1，2）上单调递增，及b∈[﹣2，2]，即可求得实数a的X围．
解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）﹣﹣﹣﹣1分
求导函数，可得f′（x）=2xlnx+x．
令f′（x）=0，解得：﹣﹣﹣﹣4分
令f′（x）＜0，x＞0，可得；令f′（x）＞0，x＞0，可得；
∴函数单调递减区间为；函数单调递增区间为．﹣﹣﹣﹣6分
（2）求导函数，可得h′（x）=x2lnx﹣（2a+b）
由题意可知，x∈（1，2）时，h′（x）≤0恒成立．﹣﹣﹣﹣9分
即2a+b≥x2lnx
由（1）可知，函数f（x）=x2lnx在（1，2）上单调递增，∴2a+b≥f（2）=4ln2﹣﹣﹣﹣11分
由b∈[﹣2，2]，可得2a≥4ln2+2
∴a≥2ln2+1﹣﹣﹣﹣13分．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．
18．已知函数f（x）=x2+2x﹣3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}．
（1）求集合M∩N对应区域的面积；
（2）若点P（a，b）∈M∩N，求的取值X围．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：（1）求解集合M的方程，集合N的方程，作出对应区域，然后求解面积即可；（2）利用（1）的图形，点P（a，b）∈M∩N，通过的几何意义求出取值X围．
解答：解：（1）集合M即为：（x+1）2+（y+1）2≤8，
集合N即为：（x+y+2）（x﹣y）≥0，
其面积等于半圆面积4π．
（2）即点P与Q（9，﹣1）连线的斜率，
由图可知，当直线经过点A（1，1）时，斜率最小为，
当直线经过点B（1，﹣1）时，斜率最大为，
所以的取值X围是
点评：本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，表达式的几何意义是解题的关键，考查作图以及计算能力，转化思想的应用．
19．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣bx（a、b为常数）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当函数g（x）在x=2处取得极值﹣2．求函数g（x）的解析式；
（3）当时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，某某数b的取值X围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．
分析：（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用店携手方程即可得到切线方程；
（2）求得g（x）的导数，由题意可得g（2）=﹣2，g′（2）=0，解方程即可得到所求解析式；
（3）若函数h（x）在定义域上存在单调减区间依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．h′
（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，运用参数分离，求得右边的最小值，即可得到所求X围．
解答：解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=（x＞0），
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），
即y=x﹣1，
所求切线方程为y=x﹣1；
（2）∵又g（x）=ax2﹣bx可得g′（x）=2ax﹣b，
且g（x）在x=2处取得极值﹣2．
∴，可得解得，b=2．
所求g（x）=（x∈R）．
（3）∵，h′（x）=（x＞0）．
依题存在x＞0使h′（x）=（x＞0）．
h′（x）＜0（x＞0）即存在x＞0使x2﹣bx+1＜0，
∵不等式x2﹣bx+1＜0等价于（*）
令，∵．
∴λ（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，
故，+∞），
∵存在x＞0，不等式（*）成立，
∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．
点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用以及存在性问题，属于中档题．
20．椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率，过点C（﹣1，0）的直线l交椭
圆于A、B两点，且满足：（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；压轴题．
分析：（1）先设出椭圆的方程，根据离心率求得a和c的关系式，进而根据a2=b2+c2得a 和b的关系，根据直线L与椭圆相交，且，进而求得（x1+1，y1）=λ（﹣1﹣x2，﹣
y2），联立方程组，把y=k（x+1）代入椭圆方程整理后表示出x1+x2和x1x2，进而利用弦长公式表示出三角形OAB的面积，联立方程求得三角形OAB的面积．
（2）根据（1）中的三角形OAB的面积，利用基本不等式求得求得面积最小，推断出
此时x1+x2=﹣1，进而求得b和λ的关系，代入椭圆方程求得，椭圆的标准方程．
（3）把（1）中的方程②③联立求得x1和x2的表达式，然后代入方程④中，整理求得k和λ的关系式，利用基本不等式求得椭圆短半轴长取得最大值时，k的值，则椭圆的方程可得．
解答：解：设椭圆方程为：（a＞b＞0），
由及a2=b2+c2得a2=3b2，
故椭圆方程为x2+3y2=3b2①
（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
并且（λ≥2）
∴（x1+1，y1）=λ（﹣1﹣x2，﹣y2），
即②
把y=k（x+1）代入椭圆方程，
得：（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣3b2=0，且△=k2（3b2﹣1）+b2＞0，
∴③④
∴
联立②、③得：
∴
（2）
当且仅当即时，S△OAB取得最大值．
此时x1+x2=﹣1，
又∵x1+1=﹣λ（x2+1），
∴，代入④得：
故此时椭圆的方程为
（3）由②．③联立得：，，将x1．x2代入④得：，
由k2=λ﹣1
得：
易知：当λ≥2时，3b2是λ的减函数，
故当λ=2时，（3b2）max=3．
故当λ=2，
k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x2+3y2=3．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．。