2007年天河区高二数学竞赛试题
高二数学竞赛试题及答案广东
高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。
2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。
令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。
在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。
2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。
试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。
2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。
答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。
2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。
当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。
2007年全国高中联赛二试
2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。
过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。
O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。
求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。
二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。
如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。
现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。
问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++511 1iikm，其中[a]表示不大于a的最大整数。
求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。
2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。
求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。
证明：连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，故B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为O 1是△BDF 的外心，故O 1在BP 上且是BP 的中点。
同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆，且O 2是的CP 中点。
综合以上知O 1O 2∥BC ，所以∠PO 2O 1=∠PCB 。
因为AF·AB=AP·AD=AE·AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
广东高二高中数学竞赛测试带答案解析
广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.A．B．C．D．2.若A．1B．1或C．D．1或3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．174.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．三、填空题1.已知 ;2.不等式的解集为3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F,求直线BC的方程.5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.A．B．C．D．【答案】 D【解析】略2.若A．1B．1或C．D．1或【答案】B【解析】略3.在等差数列中,若,则A．14B．15C．16D．17【答案】C【解析】略4.已知椭圆,若成等差数列,则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.如图,三棱柱的所有棱长均为2,且点在面上的射影为BC中点O,则异面直线AB与CC所成角的余弦值为( )1A．B．C．D．【答案】 D【解析】略6.已知函数,则要得到其导函数的图象,只需将函数的图象( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】 C【解析】略7.已知定义域为的函数,满足;当时,单调递增.如果,对于的值,下列判断正确的是( )A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负【答案】A【解析】略二、其他如图:向量,点为圆心的圆弧上运动,设,则的最大值为( )A．1B．C．2D．【答案】C【解析】略三、填空题1.已知 ;【答案】【解析】略2.不等式的解集为【答案】（0,2）【解析】略3.把4名大学毕业生分配到A、B、C三个单位实习,每个单位至少一人,已知学生甲只去A 单位,则不同的分配方案有种(用数字作答)【答案】12【解析】略4.已知点为抛物线上的一个动点,为圆上的动点,设点到抛物线的准线距离为,则的最小值为【答案】【解析】略5.已知数列,利用如右图所示的程序框图计算的值,则判断框中应填【答案】【解析】略6.下列命题中:①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边中点的横坐标之和;②线性相关系数r的的绝对值越接近1,表示两变量的相关性越强③回归直线一定过样本中心;④已知随机变量,则其中正确命题的序号是【答案】②③④【解析】略四、解答题1.、(本小题满分12分)已知函数为偶函数,且其图象两相邻对称轴间的距离为(1)求的解析式;(2)若把图象按向量平移,得到函数的图象,求的单调增区间.【答案】 y=2cos2x，的单调递增区间为【解析】∴又…………………………………………………7分(或由恒成立) ∴…………………………………………8分(2)由(1)得…………………………………10分令得的单调递增区间为…………………………………12分2.(本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.(1)确定图中的值;(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?【答案】0.024，，0.4，【解析】(1)由题意知,成绩分布在间的频率为0.9,3.(1)、据此说明四棱锥P-ABCD具有的特征及已知条件;(2)、由你给出的特征及条件证明:面PAD⊥面PCD(3)、若PC中点为E,求直线AE与面PCD所成角的余弦值.【答案】①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 "【解析】(1)由图可知四棱锥P-ABCD中有①ABCD为直角梯形,其中AB∥CD,AD⊥AB,(AB⊥CD)②PA⊥面ABCD,③PA="AD=CD=2, " AB="1 " ………………………5分⑵由(1)知PA⊥面ABCD ∴PA⊥CD又在直角梯形ABCD中,AD⊥CD而PA,AD面PAD中, ∴CD⊥面PADCD面PCD∴面PAD⊥面PCD ……………………9分⑶取PD中点F,连结EF;则EF在,PA=AD,PA AD∴AF⊥PD且又由(2)知面PAD⊥面PCD∴AF⊥面PCD∴∠AEF为AE与面PCD所成的角…………………………………12分在△AEF中, ∠AFE=900,,EF=1∴即AE与面PCD所成角的余弦值为…………………………………14分(3)由E为PC中点∴E由(2)知面PCD的一个法向量为设AE与面PCD所成角为即AE与面PCD所成角的余弦值为4.(本小题满分14分)已知为坐标原点,点F、T、M、P分别满足.(1) 当t变化时,求点P的轨迹方程;(2) 若的顶点在点P的轨迹上,且点A的纵坐标,的重心恰好为点F, 求直线BC的方程.【答案】，2x+2y+5=0【解析】18、解:(1)设又由…………………………2分由①②消去t得点P的轨迹方程为:……………………………7分5.(本小题满分14分)已知函数()(1) 判断函数的单调性;(2) 是否存在实数使得函数在区间上有最小值恰为? 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】见详解答案【解析】当,在上为增函数,此时, …………9分当,在上为减函数,在上为增函数;此时, …………11分当,在上为减函数,此时, ……13分综上,存在满足题意. …………………14分6.(本小题满分14分)下表给出的是由n×n(n≥3,n∈N*)个正数排成的n行n列数表,表示第i行第j列的数,表中第一列的数从上到下依次成等差数列,其公差为d ,表中各行中每一行的数从左到右依次都成等比数列,且所有公比相等,公比为,若已知(1)求的值;(2)求用表示的代数式;=+++……+求使不等式(3)设表中对角线上的数,,,……,组成一列数列,设Tn成立的最小正整数n.【答案】，，4【解析】20、解:⑴由题意有:又由…………………………………4分⑶由(2)知故使原不等式成立的最小正整数为4. …………………………………14分。
高二数学竞赛试题及答案
⾼⼆数学竞赛试题及答案⾼⼆年级学科知识竞赛数学试卷第I 卷（选择题）⼀、填空题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分）1．命题:p ⽅程11522=-+-m y m x 表⽰焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成⽴的充分不必要条件是 A ．53<m C ．51<2．已知集合{}2|20A x x x =+-<，12|log 1B x x ??=>，则A B = （）A ．1(0,)2B ．(0,1)C ．1(2,)2-D ．1(,1)23.若数列{}n a 满⾜()21115,22n nn n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（）A ．200 B.150 C.100 D.504．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，则该双曲线的标准⽅程为（）A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯，则下列命题正确的是（）①若,m ααβ⊥⊥，则//m β；②若,//,m n ααββ⊥?，则m n ⊥；③若,,//m n m n αβ??，则//αβ；④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成⽴的是（）A.a b x y >B.a b x y <C.xya b > D.xya b < 7．已知函数()sin()f x A x ω?=+（0A >，0ω>，02π<<）的部分图像如图所⽰，则函数()f x 的解析式为（） A．())3f x x π=+ B．())6f x x π=+C ．()2sin(2)3f x x π=+ D ．()2sin(2)6f x x π=+8．正⽅体1111ABCD A BC D -中，M 是1DD 的中点，O 为底⾯ABCD 的中⼼，P 为棱11A B 上的任意⼀点，则直线OP 与直线AM 所成的⾓为（）A. 45oB. 60oC. 90oD.与点P 的位置有关9．⼀只蚂蚁从正⽅体1111ABCD A BC D -的顶点A 处出发，经正⽅体的表⾯，按最短路线爬⾏到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表⽰正⽅体及蚂蚁最短爬⾏路线的正视图是（）A.①②B.①③C.③④D.②④ 10．函数ln cos 22y x x ππ??=-<< 的图象是（）A ．B ．C ．D ．11.设点12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，l 为右准线，若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等⽐数列，则椭圆的离⼼率e 的取值范围是（）A.)1,1B.1,1??C.(1?? D.0,2? ??12．已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中⼼为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ?周长的最⼩值为（）A ．24BC ．14 D第II 卷（⾮选择题）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13.已知向量AB →与AC →的夹⾓为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则λ= . 14．正数y x ,满⾜22=+y x ，则xyyx 8+的最⼩值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .164个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有②()()()*22f x kf x k k N=+∈，对于⼀切[)0,x ∈+∞恒成⽴；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式. 则其中所有真命题的序号是 .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分）17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：.若()p q ?∧是真命题，求实数a 的取值范围.18．（12分）如图所⽰，已知⼆⾯⾓α-MN -β的⼤⼩为60°，菱形ABCD 在⾯β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥⾯α，垂⾜为O .(1)证明：AB ⊥平⾯ODE ；(2)求异⾯直线BC 与OD 所成⾓的余弦值．19．（12分）如图所⽰，在ABC ?中, 点D 为BC 边上⼀点，且1,BD E =为AC 的中点（1）求AD 的长；（2）求ADE ?的⾯积.20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()22cos sin 1f x a θθ≤-+都成⽴，求θ的取值范围．21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线y x =. ⑴求椭圆的⽅程；⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN ⾯积的最⼤值和最⼩值.22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满⾜1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满⾜()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；（3）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前⾯；当n 为偶数时，n b 放在前⾯”的要求进⾏“交叉排列”，得到⼀个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n项和n S ．参考答案⼀、选择题1．D 解析：⽅程表⽰焦点在y 轴上的充要条件是501015m m m m ->??->??->-?，解得35m <<，所以选项中是35m <<的充分不必要条件的是45m <<，故选D.2．A 解析：依题意()12,1,0,2A B ??=-= ，故10,2A B ??=.3.D 解析：由已知1n n a a +=4. A解析：,e c a =?==，渐近线⽅程222202x y x b b -=?=±，因此左顶点到⼀条2a b =?==，即该双曲线的标准⽅程为22184x y -=，选A.5. D 解析：对于①，有可能m β?，故错误；对于③,αβ可能相交，故错误.所以选D. 6 .D 解析：xyya ab <<7. D 解析：0x =时，1y =，代⼊验证，排除A ，B ，C 选项，故选D.8. C. 解析：如下图所⽰建⽴空间直⾓坐标系，不妨设正⽅体的棱长为2，设(,0,0)P x ，(1,1,2)O ，(0,2,1)M ，(0,0,2)A ，∴(1,1,2)OP x =--- ，(0,2,1)AM =-，∴(1)012(2)(1)0OP AM x ?=-?-?+-?-= ，即OP AM ⊥，故夹⾓为2π，故选C.9．D 解析：最短距离是正⽅体侧⾯展开图，即矩形111ABCC B A A 的对⾓线1AC （经过1BB ）、或矩形11ABCC D DA 的对⾓线1AC （经过CD ），故视图为②④. 10. A 解析：由偶函数排除B 、D,∴≤∴≤<,0,1cos 0y x 排除C. 11.A()21211e e +≥?≤<12.B 解析：∵点（0，4）到直线c o s (4)s i n x y θθ+-=的距离直线c o s (4)s i n x y θθ+-=始终与圆()2241x y +-=相切，∴集合A 表⽰除圆()2241x y +-=以外所有的点组成的集合，∴集合A C U 表⽰圆()2241x y +-=，其对称中⼼()0,4M如图所⽰：设M '是点()0,4M 关于直线线段)0,0(8>>=+y x y x 的对称点，设M a b '（，），求得4 8a b =??=?，可得M '（4，8）．设M '关于x 轴的对称点为M m n "（，），易得M "（4，-8），则直线QM '，和线段的交点为P ，则此时，MPQ ?的周长为⼩值，⼆、填空题 13.127解析:由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.14．9 解析:15． 2116．①③④【解析】的图象如图所⽰，①)(x f 的最⼤值为1，最⼩值为1-，所以任取[)12,0,x x ∈+∞，都有恒成⽴，正确；②，故不正确；③如图所⽰，函数()()ln 1y f x x =--有证，所以对任意0>x ，不等.三、解答题17. 解析：若()p q ?∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ?>??<120,240,a a a a a ?+->?<01,,a x a x a g x a a x a x a --≥??=>?-++即()g x在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最⼩值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ?∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴实数a 的取值范围为18．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ?α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三⾓形，⼜E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .⽽DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平⾯ODE .(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD ADO 是BC 与OD 所成的⾓．由(1)知，AB ⊥平⾯ODE ，所以AB ⊥OE .⼜DE ⊥AB ，于是∠DEO 是⼆⾯⾓α-MN -β的平⾯⾓，从⽽∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2，易知DE ＝ 3.在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO ＝DOAD ＝332=19．（1）在ABD ?中，知2250DCDC ∴--=,.20．（1）设[]0,1x ∈，则[]1,0x -∈-，所以()()23f x f x x =--=；（2）由（1）知，()[][]223,1,03,0,1x x f x x x ?-∈-?=?∈??，所以()()max 13f x f ==，因为()22cossin 1f x a θθ≤-+对[]1,1x ?∈-都成⽴，即()2max 2cos sin 13a f x θθ-+≥=，即22cos sin 13a θθ-+≥对[]1,1a ?∈-恒成⽴，所以222cos sin 132cos sin 13θθθθ?-+≥?++≥?，即222sin sin 02sin sin 0θθθθ?+≤?-≤?，所以sin 0θ=，即()k k Z θπ=∈，所以θ的取值范围为{}|,k k Z θθπ=∈．21.⑴设椭圆的⽅程为()222210x y a b a b+=>>；联⽴22221x y a by x ?+==?得()222222230b a x x a a b +-+-=有唯⼀根；所以()()()2222222430b a a a b =--+-= ，得223b a +=⼜221a b -=，所以222,1a b ==，所以椭圆的⽅程为：2212x y += ⑵若PQ 的斜率不存在或为0时，22PQMN PQ MNS ==’ 若PQ 的斜率存在，设为()0k k ≠，则MN 的斜率为1k- 直线PQ 的⽅程为y kx k =+，设()()1122,,,P x y Q x y联⽴()22222212142202x y k x k x k y kx k+=+++-==+得，则12PQ x =-=同理MN =, 所以2424242121124422522252PQMNk PQ MN k k S k k k k ?? ?++===- ?++++ =2211442410k k- ++，因为22448k k +≥，当21k =时取等号，所以22110,418410k k∈++，所以2211164,2429410k k ??-∈++，所以四边形PQMN ⾯积的最⼩值为169，最⼤值为2。
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高二数学竞赛试题及答案高二数学竞赛模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AF1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不BE同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量OA共线的向量共有( )A.2个B. 3个C.6个D. 7个213CD2.若(3a -2a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是( )A.4B.5C. 6D. 83. 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为( )3311A. 20B. 10C. 20D. 104.抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=-3，则这条抛物线的焦点坐标是( )A.(3，0)B.(2，0)C.(1，0)D.(-1，0)5.已知向量m=(a，b)，向量n⊥m，且|n|=|m|，则n的坐标可以为( )A.(a，-b)B.(-a，b)C.(b，-a)D.(-b，-a)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )DCAB A B③②①④111A.①④B.②③C.②④D.①②7.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A.36种B.48种C.72种D.96种8.已知直线l、m，平面?、β，且l⊥?,m?β.给出四个命题：(1)若?∥β,则l⊥m;(2)若l⊥m,则?∥β;(3)若?⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则?⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.29.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2，+∞)上递增，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，4)B.(-4，4]C.(-∞，-4)∪[2，+∞)D.[-4，2)10.4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。
假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为( )A54A54A44A44 A、4 B、4 C、5 D、5 5544二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在题中横线上.11.从?a?b?的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有的二项式系1 7数的概率为。
广东高二高中数学竞赛测试带答案解析
广东高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -46.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．48.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19二、填空题1.的定义域--__________2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.3.在中，,且,则的面积是_____4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值2.（本题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.3.（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.（1）求证：面；（2）求证：；4.（本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：万元，）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？5.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．6.（本小题满分14分）设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.广东高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.2.已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】,所以b=2,a=1,a+b=3.3.已知a、b是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条【答案】A【解析】若a>1,b>2,则a+b>3且ab>2.反之不成立.所以“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的充分而不必要条件.4.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】,所以f(x)是周期为的偶函数.5.已知平面向量, , 且, 则m=( )A． 4B．-1C． 2D． -4【答案】D【解析】因为,所以.6.某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】.7.已知向量，且，若变量x,y满足约束条，则z的最大值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为,所以,当直线经过直线和直线的交点A（1,1）时，z取得最大值，最大值为3.8.等差数列中，，且成等比数列，则A．B．C．D．【答案】B【解析】因为成等比数列,所以.9.以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准线的抛物线的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知抛物线的开口方向向左，并且p=2,所以应选A.10.起点到终点的最短距离为A．16B．17C．18D．19【答案】B【解析】最短距离应为,长度为4+2+4+7=17.二、填空题1.的定义域--__________【答案】【解析】由,所以定义域为.2.校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生__ _人.【答案】3700【解析】由题意知高三抽取了185-75-60=50.所以高中部共有学生.3.在中，,且,则的面积是_____【答案】6【解析】因为,所以,又因为，所以.4.（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边,的长分别为，，以为直径的圆与交于点，则＝.【答案】【解析】因为AC=3,BC=4,所以AB=5，设BD=x,因为BC为圆O的切线，根据切割线定理可知.5.（坐标系与参数方程选做题）直线截曲线（为参数）的弦长为_ _【答案】【解析】曲线消参后得到普通方程为,由圆心（0，1）到直线3x+4y-7=0的距离,所以弦长.三、解答题1.（本小题共12分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）若,, 求的值【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为. （Ⅱ）。
广州市数学竞赛高二试题
广州市数学竞赛高二试题广州市数学竞赛高二试题涵盖了高中数学的多个领域，包括但不限于代数、几何、概率统计和微积分。
以下是一套模拟试题，供参赛者练习。
一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 5 = 0 \)的根，那么\( a^2 + 4a \)的值等于：A. -5B. 5C. 0D. 不确定2. 在直角坐标系中，点\( P(x, y) \)关于直线\( y = x \)的对称点的坐标是：A. \( (y, x) \)B. \( (-x, -y) \)C. \( (-y, -x) \)D. \( (x, -y) \)3. 若函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)的导数是\( f'(x) \)，那么\( f'(1) \)的值等于：A. 3B. 2C. -3D. -24. 已知正方体的体积为8，那么其表面积为：A. 16B. 24C. 32D. 645. 抛物线\( y^2 = 4x \)的焦点坐标是：A. \( (1, 0) \)B. \( (0, 1) \)C. \( (2, 0) \)D. \( (0, 2) \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为______。
7. 一个等差数列的首项为2，公差为3，第10项的值为______。
8. 已知函数\( y = \ln(x) \)的定义域为______。
9. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 + c^2 =1 \)，则\( ab + bc + ca \)的最大值为______。
10. 一个圆的半径为5，圆心到直线\( x - y + 5 = 0 \)的距离为4，则直线与圆的位置关系是______。
2007年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2007年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2007*1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，060=∠APC ，则二面角C PB A --的平面角的余弦值为A.71 B.71- C.21 D.21-◆答案：B★解析：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
2007*2、设实数a 使得不等式2232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,41 D.[]3,3-◆答案：A★解析：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
2007*3、将号码分别为9,,2,1 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于A.8152 B.8159 C.8160 D.8161◆答案：D ★解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为8192=个。
(完整word版)广州市天河区届高二数学期末试卷(理科)
广州市天河区2008届高二数学期末试卷（理科)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共150分．考试时间120分钟．（考试时间：2007年1月18日) 第 I 卷 （选择题 共50分）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分,共50分）．1由“p: 8+7=16，q: π＞3”构成的复合命题，下列判断正确的是（ )A p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为真 ，B p ∨q 为假, p ∧q 为假， ⌝p 为真C p ∨q 为真,p ∧q 为假，⌝p 为假 ，D p ∨q 为假， p ∧q 为真， ⌝p 为真2。
抛物线22x y -=的焦点坐标为( ）A. )81,0( B. )81,0(- C. )0,41( D 。
)0,41(-3．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4．αβ=是tan tan αβ=，)Z k ,2k ,(∈+≠ππβα的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 5. 椭圆2x 2+3y 2=6的焦距是( )A 。
25B 。
2(23-）C 。
2D 。
2(23+) 6．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B =a ，11A D =b ，若1A A =c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ） A 。
－21a +21b +c B 。
21a +21b +cC 。
21a －21b +c D. －21a －21b +c 7。
过点(2,－2)且与双曲线1y 2x 22=-有公共渐近线的双曲线方程是（ )A. 42x －22y =1 B 。
22y －42x =1 C 。
42y －22x =1 D.22x －42y =18．已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0），双曲线12222=-b y a x 和抛物线y 2=2px （p ＞0 )的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（ ）.A 。
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高二竞数学赛试题班别＿＿＿ 姓名 ＿＿＿＿座号 ＿＿＿＿ 总分＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（每题5分，共1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( ) A ．1292-+-x xB ．1292-+x xC ．1292+--x x D.1292+-x x2．已知椭圆22143x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ )(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞． (C) (,4]-∞．(D ）[4,)+∞．3．如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A ．181B ．91 C ．61 D ．1813 4．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++二、填空题（每题5分，共 5．在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于 ．6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．满足方程2=所有实数解为 ．8．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为 ．三．解答题（每题15分，共60分）1. 已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈Nn n ,0上的最小值为nb，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．3．在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时， cosC 有最小值为257. (1)建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程. (2)过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||⋅的 最小值的集合.4.求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当 10nii x==∑ 时, 总有110ni i i x x+=≤∑ ( 其中 11n xx += ).高二数学竞赛答案A D A C 5.55 6． 50 7．20102011x ≤≤ 8．223+．三．解答题（每题15分，共60分）1.解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（4分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈Nn n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（7分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（13分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（15分）2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………3分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数.又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………12分 若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………15分 3．解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. 因为1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集.4.解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++==()02232221≤++-x x x 所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则 10ni i x ==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分。
2007年全国高中数学联赛试题及详细解析
2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。
11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。
12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
2007年全国高中数学联赛试题及解答
2 3 9．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，以顶点 A 为球心， 为半径作一个球，则球面与正方 3 体的表面相交所得到的曲线的长等于 ． 10．已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数．若 a1＝d，b1＝d2， 2 2 a2 1＋a2＋a3 且 是正整数，则 q 等于 ． b1＋b2＋b3
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试试卷
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平 面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C．
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试解答
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C． 1 2 D．－ 1 2
A．
B．
C．
D．
选 A． 解：设⊙O1、⊙O2 半径分别为 R、r(不妨设 R≥r＞0)，|O1O2|＝d． 若两圆内含，d＜R－r，则⊙P 与两圆都内切或与小圆外切与大圆内切，所求轨迹为两个以两圆圆心为 焦点的椭圆，当两圆圆心重合时，轨迹为圆；故 C 可以是动圆圆心轨迹； 当两圆外离， d＞R＋r， 若 R＞r， 动圆与两圆都外切或都内切， 所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲线； 与一圆内切与另一圆外切时， 轨迹也为以两圆圆心为焦点的双曲线， 故 D 可以是动圆圆心轨迹； 当 R＝r 时， 与两圆都外切或都内切的动圆圆心轨迹为两圆圆心连线的中垂线，与一圆内切与另一圆外切时，轨迹为以 两圆圆心为焦点的双曲线，故 B 可以是动圆圆心轨迹． A 中的椭圆与双曲线焦点不同，从而没有动圆圆心轨迹为 A 中情形． 事实上，当两圆相交时，若 R＞r，动圆与两圆同时外切或内切，所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲 线，与一圆内切与另一圆外切，轨迹为椭圆，但双曲线与椭圆的焦点相同；若 R＝r，则轨迹为椭圆及一条 直线．当两圆内切时，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的椭圆与经过两圆圆心的直线；当两圆外切时， 若 R＞r，动圆与两圆都外切或都内切，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的双曲线，与一圆外切与另一圆 内切，轨迹为经过两圆圆心的直线；若 R＝r，轨迹为两条直线；即 A 不能成为动圆圆心轨迹． 6．已知 A 与 B 是集合{1，2，3，„，100}的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且 A∩B 为空 集．若 n∈A 时，总有 2n＋2∈B，则集合 A∪B 的元素个数最多为 A．62 B．66 C．68 D．74 选 B． 解：由 2n＋2≤100，知 n≤49．即若 n∈A，则 n≤49． 把不超过 49 的数分组：{2k－1，4k}(k＝1，2，„，12 其中 2(2k－1)＋2＝4k≤50)，(12 组，24 个数) {2k－1}(k＝13，14，„，25 其中 50≤4k≤100)，(13 组，13 个数) {2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38} (余下 4k－2 型数，配对 4 组，8 个数) {26}，{34}，{42}，{46}(4 组，4 个数) 共有 33 组，若 A 在小于 49 的正整数中取出的数超过 34 个，则必有两个数同组，此时 A∩B≠．故 n ≤33．又取 A＝{2k－1|k∈N*，k≤25}∪{2，10，14，18，26，34，42，46}，B＝{2n＋2|n∈A}，满足题意， 此时|A∪B|＝66． 二、填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分) 7．在平面直角坐标系内，有四个定点 A(－3，0)，B(1，－1)，C(0，3)，D(－1， y 3)及一个动点 P，则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|的最小值为 ． 填 3 2＋2 5． 解：显然，如图可知，|PA|＋|PC|≥|AC|，|PB|＋|PD|≥|BD|，于是|PA|＋|PB|＋|PC| ＋|PD|≥|AC|＋|BD|＝3 2＋2 5． → → 8． 在∆ABC 和∆AEF 中， B 是 EF 中点， AB＝EF＝1， BC＝6， CA＝ 33， 若 AB · AE
2007年高中数学联赛一试试题及答案(word版).rar范文
2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则ac b cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2007年广州市高二数学竞赛试卷
2007年广州市高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1．设函数17,0,()20.xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥，若(1)1f a +<，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()∞-,-4B ．()4,0-C ．()0,+∞D ．()(),40,-∞-+∞2．椭圆221123x y +=的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（）． A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 3．已知集合()221,lg lg lg 4M x y x y x y ⎧⎫⎛⎫=+=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则集合M 中元素的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个4．设M 是ABC ∆内一点，且AB AC ⋅= 30BAC ∠=，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB∆∆∆的面积，若1(),,2f P x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则14x y+的最小值是（ ）． A ．)91 B ．18 C ．16 D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5．已知复数z 满足：210z z ++=，则=+++++2007321zz z z __________．6．在区间[]2,2-上任取两实数a ，b ，则二次方程220x ax b -+=有实数解的概率为 ． 7．已知函数()f x 满足：()()(),(1)4f m n f m f n f +==，则2(1)(2)(1)f f f +2(2)(4)(3)f f f ++2(3)(6)(5)f f f +++ 2(251)(502)(501)f f f ++= ． 8．奇函数()f x 在R 上为减函数，若对任意的(]0,1x ∈，不等式()()220f kx f x x +-+->恒成立，则实数k 的取值范围为 ．9．四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于 ． 10．已知y x ,满足221643441x y x -≤≤-，则函数10-+=y x z 的最大值与最小值之和为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）已知函数()f x = m n，其中(sin cos )x x x ωωω=+m ，(cos sin ,2sin )x x x ωωω=-n （0ω>），若()f x 相邻两对称轴间的距离不小于2π． （Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，3a b c =+=，当ω最大时，()1f A =，求ABC ∆的面积． 12．（本小题满分20分）各项都为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知()221n n n S a a +=+．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足12b =，12n n b b +=，数列{c n }满足()()nn na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n 为偶数时，求T n ；（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的T n 设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．13．（本小题满分20分）多面体1111ABCD A BC D 的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示．（Ⅰ）求A A 1与平面ABCD 所成角的正切值； （Ⅱ）求面11D AA 与面ABCD 所成二面角的余弦值； （Ⅲ）求此多面体的体积．主视图左视图14．（本小题满分20分）如图，已知抛物线()2:20C x py p =>与圆22:8O x y +=相交于A 、B 两点，且0OA OB =（O 为坐标原点），直线l 与圆O 相切，切点在劣弧 AB （含A 、B 两点）上，且与抛物线C 相交于M 、N 两点，d 是M 、N 两点到抛物线C 的焦点的距离之和．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)求d 的最大值，并求d 取得最大值时直线l15．（本小题满分20分）已知函数()sin f x x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数．（Ⅰ）若2()1f x t t λ≤++在[1,1]x ∈- 上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅱ）讨论关于x 的方程 2ln 2xx ex m x=-+ 的根的个数．2007年广州市高二数学竞赛参考答案1．选B ． 2．选A ． 3．选D ． 4．选B ． 5．填1． 6．填14． 7．填2008． 8．填(),2-∞．9 10．填20．11．解：（Ⅰ）22()cos sin sin f x x x x x ωωωω==-+⋅ m nx x ωω2sin 32cos +=)62sin(2πω+=x ．0>ω ，∴函数()f x 的周期22T ππωω==． 由题意可知,22,22πωππ≥≥即T 解得01ω<≤． 故ω的取值范围是{|01}ωω<≤．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，)62sin(2)(π+=∴x x f ．1)(=A f ，21)62sin(=+∴πA ． 而132666A πππ<+<，ππ6562=+∴A ，3π=∴A ． 由余弦定理，知bca cb A 2cos 222-+=，223b c bc ∴+-=，又3b c +=，联立解得21b c =⎧⎨=⎩或12b c =⎧⎨=⎩．23sin 21==∴∆A bc S ABC ． （或用配方法2,333)(2=∴=+=-+bc c b bc c b．1sin 2ABC S bc A ∆∴==） 12．解：（Ⅰ）当1n =时，由()211121S a a +=+，解得12a =， 当2n ≥时，由()221n n n S a a +=+，得()211121n n n S a a ---+=+． 两式相减，并利用1n n n a S S -=-，求得11n n a a --=．∴数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列．∴1n a n =+（*n ∈N ）．（Ⅱ）∵{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2n n b =．当n 为偶数时，()()24131222nn n T a a a -=+++++++()114122214nn a a n --+=⋅+-()2242143nn n +=+-． （Ⅲ）∵2244n n P n =+（n 为偶数）， 设44742323n n n n d T P n =-=⋅--（n 为偶数）， ∴4681012142007d d d d d d <<<<<<< ．且22007d <， （利用数列的单调性或函数的单调性判断） ∴2007n d ≠，即2007n n T P -≠（n 为偶数）． 因此同学乙的观点正确．13．（Ⅰ）解：由已知图可得，平面⊥AB A 1平面ABCD ，取AB 中点H ，连接H A 1，在等腰AB A 1∆中，有AB H A ⊥1，则⊥H A 1平面ABCD ．∴AB A 1∠是A A 1与平面ABCD 所成的角． ∵12A H AH =，∴11tan A HA AB AH∠=2=． 故A A 1与平面ABCD 所成角的正切值为2．（Ⅱ）解法1：取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即A H K ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影．取HK 的中点M ，取11A D 的中点N ，连接MN ，AM ，AN ，则MAN ∠就是面11D AA 与面ABCD 所成的二面角． ∵MN ＝a，4AM =，∴tan MN MAN AM ∠==．即1cos 3MAN ∠=． ∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的余弦值为13． 解法2：取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即AHK ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影， 在11D AA ∆中，a D A a AD AA22,251111===，28311a S D AA =∆，又281a S AHK =∆，设面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为α，则31cos 11==∆∆D AA AHK S S α．∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的余弦值为13． （Ⅲ）解：∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，每个三棱锥的体积都为3111322224a a a a ⋅⋅⋅⋅=． ∴此多面体的体积333154246V a a a =-⋅=．14． (Ⅰ) 解：设点A 的坐标为()11,x y ()10x <，由于抛物线C 和圆O 关于y 轴对称，故点B 的坐标为()11,x y -．0OA OB =，2111()0x x y ∴-+= ， 即22110x y -+=．点A 在抛物线C 上，∴2112x py =． 21120py y ∴-+=， 即()1120y p y -+=．110,2y y p ≠∴= ．12x p ∴=-．∴点A 的坐标为()2,2p p -．点A 在圆O 上，()()22228p p ∴-+=，又0p >，解得1p =． (Ⅱ) 解法1：设直线l 的方程为：y kx b =+，因为l 是圆O 的切线，则有=，又0b >，则b = 即l的方程为：y kx =+联立22.y kx x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩即(()2222810y k y k -+++=．设()(),,,M M N N M x y N x y，则22M N y y k +=+．如图，设抛物线C 的焦点为F ，准线为L ，作11,MM L NN L ⊥⊥，垂足分别为11,M N ． 由抛物线的定义有：11d MF NF MM NN =+=+1M N y y =++221k =+．令t =2222k t =-．∴()224125d t t t =+-=+-．又∵11k -≤≤2t ≤≤． ∴当2t =时，d 有最大值11．当2t =时，1k =±，故直线l 的方程为4y x =±+．解法2：设直线l 与圆O 相切的切点坐标为()00,x y ，则切线l 的方程为008x x y y +=．由0028,2.x x y y x y +=⎧⎨=⎩ 消去x ，得()222000162640y y y x y -++=． 设()(),,,M M N N M x y N x y ，则2002162M N y x y y y ++=． 如图，设抛物线C 的焦点为F ，准线为L ，作11,MM L NN L ⊥⊥，垂足分别为11,M N ． 由抛物线的定义有：11d MF NF MM NN =+=+1M N y y =++20021621y x y +=+． 22008x y =- ， ()200216281y y d y +-=+20016161y y =+-20111652y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．02y ≤≤ ∴当02y =时，d 有最大值11．当02y =时，02x =±，故直线l 的方程为4y x =±+． 15．解：（Ⅰ）()sin f x x x λ=+ 在[]1,1-上是减函数， ()cos 0f x x λ'∴=+≤在[]1,1-上恒成立， cos ,cos [cos1,1]x x λ∴≤-∈， 1λ∴≤-．又()f x 在[]1,1-上单调递减， max ()(1)sin1,f x f λ∴=-=-- ∴只需2sin11t t λλ--≤++，2(1)sin110t t λ∴++++≥ （其中1λ≤-）恒成立．令2()(1)sin11()g t t λλλ=++++≤-1，则()11t g +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩0,0.，即211sin11t t t +≤⎧⎨--+++≥⎩0,0.2sin1t t t ≤⎧∴⎨-+≥⎩-1,0.而2sin1t t -+≥0恒成立， t ∴≤-1．（Ⅱ）令212ln (),()2xf x f x x ex m x ==-+， 121ln ()xf x x-'= ， 当(]0,x e ∈时，1()f x '≥0， 1()f x ∴在(0,]e 上为增函数； 11[,),()()[,)x e f x f x e '∈+∞≤∴+∞时0,在上为减函数， 当x e =时，1max 11()()f x f e e==． 而222()()f x x e m e =-+-，∴函数12()()f x f x 、在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当21m e e ->，即21m e e >+时，方程无解． ②当21m e e -=， 即21m e e =+时，方程有一个根．③当21m e e -＜， 即21m e e+＜时，方程有两个根．。
2007年天河区高二数学竞赛试题
7 8 9 9 4 4 6 4 732007年天河区高二数学竞赛试题2007年4月12日下午2：30—4：30一、选择题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A ．84，84.4 B ．84，6.1 C ．85，6.1 D ．85，42.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18913.动点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） （A ）一条直线 （B ） 双曲线的右支 （C ） 抛物线 （D ） 椭圆4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
）5．某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___.6、已知向量,5),4,2(),2,1(=--==c b a 的夹角为与则若c a ,25)( =⋅+c b a ______. 7.已知02s i n 2s i n 5=α，则)1t a n ()1t a n (00-+αα的值是_______________________.8. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，另一个端点N 在底面ABCD 上∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为 _____ ______.9. 已知0>t ,关于x 的方程22=-+x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是___.10．已知点P 为椭圆1322=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 三、解答题：（本大题共5小题，共90分。
2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准 上学期
2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b += （ ） A. 1027 B. 481 C. 1081 D. 2881解 原方程变形为3333log 3log (3)4log (3)log 273x x +=-，即331log 141log 33x x ++=-+.令31log x t +=，则1433t t +=-，解得121,3t t =-=-.所以31l o g 1x +=-或31log 3x +=-，所以方程的两根分别为19和181，所以1081a b +=. 故选（C ）.2. 设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34AD AB =,25AP AD BC =+，则APD ABCSS =△△ ( ) A.310 B. 25 C. 715 D. 815解 连PD ，则25DP BC =，所以//DP BC ，故ADP B ∠=∠，故1sin 323214510sin 2APD ABC AD DP ADP S S AB BC B ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠△△. 故选（A ）.3. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )A.B.C. 12D. 12-解 根据题设条件可知8()(3)()()sin 333332f f f f ππππππ=-+=-=-=-=- 故选（B ）.4. 已知1111ABCD A BC D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM △O B M ，则四面体1O ADM 的体积为 ( )A.724 B. 316 C. 748 D. 1148解 易知AC ⊥平面11D B BD ，设O 是底面ABCD 的中心，则AO ⊥平面1DO M .因为1111223S BD BM BM S O B B M B M ⋅==⋅=⋅11△DBM △O B M ，所以113BM B M =，故113,44BM B M ==.于是S S S S S =---1111111△DO M D B BD △DD O △O B M △DBM11311112222424=⨯-⨯-⨯=所以11733248V S AO =⋅==11A-O MD △DO M . 故选（C ）. 5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )CA C 1A.521. B. 27. C. 13 D. 821解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）. 6. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个解 当4n ≤时，易知381n+不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n+是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231kx +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n+为完全平方数.故选（B ）. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
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2007年天河区高二数学竞赛试题
2007年4月12日下午2：30—4：30
一、选择题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
）
1．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的 茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A ．84，84.4 B ．84，6.1 C ．85，6.1 D ．85，4
2.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ ）
（A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）1891
3.动点P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动
圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） （A ）一条直线 （B ） 双曲线的右支 （C ） 抛物线 （D ） 椭圆
4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．①②
二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
）
5．某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___.
6、已知向量
,5),4,2(),2,1(=--==c b a 的夹角为与则若c a ,2
5
)( =⋅+c b a ______. 7.已知0
2s i n 2s i n 5=α，则)
1t a n ()
1t a n (00-+αα的值是
_______________________.
8. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 另一
∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与 直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为 _____ ______.
9. 已知0>t ,关于x 的方程22=-+
x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是___.
10．已知点P 为椭圆13
22
=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 A
B C
D
1
A 1
B
1
C
1
D
P ①
③
④
②
三、解答题：（本大题共5小题，共90分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
11.（本题满分18分）如图，已知三棱锥P —ABC ，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D 为AB 中点，M 为PB 的中点，且△PDB 是正三角形，PA ⊥PC ． （I ）求证：//DM 平面PAC ；
（II ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
（Ⅲ）若M 为PB 的中点，求三棱锥M —BCD 的体积．
12. （本小题满分18分）已知函数(
)cos2sin cos 2f
x a x x x a b =--++的定义域为⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
20π，，
值域为[ －5，1 ]，求常数a 、b 的值．
13. （本小题满分18分）某市对居民生活用水的收费方法是：水费=基本用水费+超额用水费+定额水损耗费.若每月用水量不
超过限量am 3
时，只收取基本用水费8元和每户每月的定额水损
耗费c 元；若用水量超过am 3
时，除了要收取同上的基本用水费
和定额水损耗费外，超过部分每m 3
还要收取b 元的超额用水费.已知每户每月的定额水损耗费不超过5元.右表是该市一个家庭在第一季度的用水量和支付费用情况。
根据上表中的数据，求出a ，b ，c 的值.
14．（本小题满分18分）设32()f x ax bx cx =++的极小值为8-,
2
(2,0),(,0)3
-,如图所示,
（1）求()f x 的解析式；
（2）若对[3,3]x ∈-都有2
()14f x m m ≥-恒成立，
求实数m 的取值范围．
15.（本小题满分18分）如图，将圆分成n 个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记
为n a 。
求
（Ⅰ）1234,,,a a a a ；
（Ⅱ）n a 与()12n a n +≥的关系式；
（Ⅲ）数列{}n a 的通项公式n a ，并证明()*
2n a n n N
≥∈。
2007年天河区高二数学竞赛答题卷
选择题：每小题6分
解答题： 11．（本小题满分18分）
13．（本小题满分18分）
15．（本小题满分18分）。