2023北京大峪中学高二(下)期中数学(1+3)(含答案)

2023北京大峪中学高二（下）期中
数 学（1+3）
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（共12小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 若集合
{}
23A x x =<<，
()(){}
420B x x x =+−>，则A B =（ ）
A. {}
23x x << B. {}
32x x −<<
C. {}
32x x −<<−
D. {|4x x <−或3}x >−
2. 下列函数中是定义在R 上的增函数的是（ ）
A. y =
B. 2x
y −=
C. ()0.5log 1y x =+
D. ()3
1y x =−
3. 函数4
()2x f x x
=−的零点所在区间是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. ()1,2
D. ()2,3
4. 若32.1a −=，12
3b =，
2log 0.5c =，则（ ）
A. b c a >>
B. b a c >>
C. a c b >>
D. a b c >>
5. “1a =”是“对任意的正整数x ，均有2a
x x
+≥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 函数12x y −=的图像可看作是把函数2x y =经过以下哪种变换得到（ ） A. 把函数2x y =向右平移一个单位
B. 先把函数2x y =的图像关于x 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位
C. 先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位
D. 先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
7. 若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x +=且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =的解有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个
D. 多于4个
8. 近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x （单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k 与能见
度x 满足函数关系：0.2,
0.11.4,0.1101,10b
x k ax x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩
（,a b 是常数）．如图记录了两次实验的数据，根据上述
函数模型和实验数据，b 的值是（参考数据：lg 30.48≈）（ ）
A. 0.24−
B. 0.48−
C. 0.24
D. 0.48
9. 已知()2
2f x x x =−.若对于[]12,,1x x m m ∀∈+，均有()()121f x f x +≥成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (],0−∞
B. 1,2
⎛⎤
−∞ ⎥⎝
⎦
C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D. [)1,+∞
10. 已知集合{}12,,
,n A a a a =，任取1,,,i j j k i k i j k n a a A a a A a a A ≤<<≤+∈+∈+∈中至少有一个
成立，则n 的最大值为（ ） A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.
函数2()log (1)f x x =−+
的定义域是_____________．
12. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()12f −=则()()01f f +=________.
13. 设函数()201
04x e x f x x x x ⎧≤⎪
=⎨−++⎪
⎩
，，＞则f [f （0）]=______；若方程f （x ）=b 有且仅有3个不同的实数根，则实数b 的取值范围是______．
14. 已知函数()()1
2,1,
,1x a x x f x a x −⎧−≤=⎨>⎩
（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论： ①存在实数a ，使得()f x 有最小值；
②对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 都不是R 上的减函数； ③存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；
④若3a >，则存在()00,x ∞∈+，使得()()00f x f x =−. 其中所有正确结论的序号是___________.
15. 为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间
t 变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在12[,]t t ,23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同. 其中所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 设()2
3f x x ax =−+，其中a R ∈．
（1）当1a =时，求函数()f x 的图像与直线3y x =交点的坐标； （2）若函数()f x 有两个不相等的正数零点，求a 的取值范围； （3）若函数()f x 在(),0∞−上不具有单调性，求a 的取值范围． 17. 函数()|1lg |f x x c =−−，其中c ∈R ． （1）若0c
，求()f x 的零点；
（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，求124x x +的取值范围．
18. 某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e （单位：万元）与使用时间n （*N n ∈，单位：年）之间的函数关系式为2210e n n =+，该船每年捕捞的总收入为50万元．
（1）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？
（2）若当年平均盈利额．．．．．达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？ 19. 已知函数2()12f x x =−．
（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2−的切线方程；
（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．
20. 已知函数()()ln f x x x a =−+的最小值为0,其中>0a . (1)求a 的值;
(2)若对任意的[0,+)x ∈∞,有()2
f x kx ≤成立,求实数k 的最小值;
21. 设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集． （1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；
（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 【答案】A
【分析】求出{|2B x x =>或4}x <−,即得解. 【详解】由题得{|2B x x =>或4}x <−, 所以A B ={}23x x <<，
故选：A 2. 【答案】D
【分析】利用函数的定义域可判断AC ，利用基本函数的单调性可判断BD. 【详解】对于A
，y =
[)1,−+∞上为增函数，故A 错误；
对于B ，2x
y −=在(),−∞+∞单调递减，故B 错误；
对于C ，()0.5log 1y x =+在区间()1,−+∞上为减函数，故C 错误； 对于D ，()3
1y x =−在R 上为增函数，故D 正确. 故选：D. 3. 【答案】C
【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由函数()4
2x f x x
=
−，显然函数在(0,)+∞为减函数，
又1
214280122
f ⎛⎫=−=−> ⎪⎝⎭，()1412201
f =−=>，()2422202f =−=−< ，
()()120f f ∴⋅<.
故选：C. 4. 【答案】B
【分析】结合指数，对数的性质确定正确选项. 【详解】()3
3
1
2.10,12.1a −==
∈， 12
31b =>，
22log 0.5log 10c =<=，
所以b a c >>. 故选：B
5.【答案】A
【分析】化简“对任意的正整数x ，均有2a
x x
+≥”得1a ≥，即得解. 【详解】对任意的正整数x ，均有2a
x x
+≥, 所以2
2
2,2x a x a x x +≥∴≥−+， 当1x =时，22x x −+取最大值1， 所以1a ≥.
因为1a =时，1a ≥一定成立；1a ≥时，1a =不一定成立. 所以“1a =”是“对任意的正整数x ，均有2a
x x
+≥”的充分不必要条件. 故选：A 6. 【答案】D
【分析】利用函数图像的平移变换法则求解即可.
【详解】选项A ：函数2x y =向右平移一个单位得到12x y −=；
选项B ：先把函数2x y =的图像关于x 轴对称得到2x y =−，然后向左平移一个单位得到12x y +=−； 选项C ：先把函数2x y =的图像关于y 轴对称得到2x
y −=，然后向左平移一个单位得到
(1)122x x y −+−−==；
选项D ：先把函数2x y =y 轴对称得到2x
y −=，然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到1222x x y −−=⨯=； 故选：D 7. 【答案】C
【分析】由题意可得函数周期为2，问题转化为()f x 与3log ||y x =图象的交点个数，作图可得． 【详解】解：由(2)()f x f x +=可得函数的周期为2， 又函数为偶函数且当[0x ∈，1]时，()f x x =， 故可作出函数()f x 得图象．
∴方程3()log ||f x x =的解个数等价于()f x 与3log ||y x =图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程3()log ||f x x =的解个数为4. 故选：C ．
8. 【答案】A
【分析】分别代入两点坐标得0.1 1.2b a ⋅=−，100.4b a ⋅=−，两式相比得结合对数运算得lg 32b =−，解出b 值即可.
【详解】当0.1x =时，0.1 1.40.20.1 1.2b b a a ⋅+=⇒⋅=−①， 当10x =时，10 1.41100.4b b a a ⋅+=⇒⋅=−②，
①比②得0.113310100b
b b ⎛⎫=⇒⇒ ⎪⎝⎭
， ()22103103b
b −−∴=⇒=，
lg30.48
lg320.2422
b b ∴=−⇒=−
≈−=− 故选：A. 9. 【答案】C
【分析】将()()121f x f x +≥成立转化成()()min max 1f x f x +≥恒成立的问题，构造函数
()()1h x f x =+，然后分类讨论，即可求出m 的取值范围.
【详解】解：由题意
在()2
2f x x x =−中，对称轴2
121
x −=−
=⨯ 函数在(),1−∞上单调减，在()1,+∞上单调增
()()()2
211211f x x x x +=+−+=−，
∵对于[]12,,1x x m m ∀∈+，均有()()121f x f x +≥成立 即对于[]12,,1x x m m ∀∈+，均有()()
()()
2
2min max min
max
11
2f x x f x x x +=−≥=−恒成立
在()()2
11h x f x x =+=−中，对称轴0
021
x =−
=⨯，
函数在(),0∞−上单调减，在()0,∞+上单调增 当10m +≤即1m ≤−时， 函数()h x 在[],1m m +上单调减 函数()f x 在[],1m m +上单调减
()()2
2min 112h x m m m =+−=+
()2max 2f x m m =−
∴22221m m m m
m ⎧+≥−⎨
≤−⎩
解得m =∅ 当10
0m m +>⎧⎨
<⎩
，即10m −<<时，
函数()h x 在[),0m 上单调减，在(]0,1m +上单调增 函数()f x 在[],1m m +上单调减 ∴()2
min 011h x =−=−
()2max 2f x m m =−
∴21210
m m
m ⎧−≥−⎨
−<<⎩ 解得m =∅
当011m m ≥⎧⎨+≤⎩
，即0m =时，[][],10,1m m +=
函数()h x 在[]0,1上单调增 函数()f x 在[]0,1上单调减 ∴()2
min 011h x =−=−
()()2max 0000f x f ==−=
∴()()min max 10h x f x =−<= 故不符题意，舍去.
当1
12
0m m m ++⎧<⎪⎨⎪>⎩
即1
02m <<时 函数()h x 在[],1m m +上单调增，()2
min 1h x m =−
函数()f x 在[),1m 上单调减，在(]1,1m +上单调增，()()2
max 2f x f m m m ==−
∴22121
02m m m m ⎧−≥−⎪
⎨<<⎪
⎩
解得m =∅
当1
12
1m m m ++⎧≥⎪
⎨⎪<⎩
即112m ≤<时 函数()h x 在[],1m m +上单调增，()2
min 1h x m =−
函数()f x 在[),1m 上单调减，在(]1,1m +上单调增，()()2
max 11f x f m m =+=−
此时，()()2
min max 1h x m f x =−=
∴
1
12
m ≤<符合题意 当m 1≥时，
函数()h x 在[],1m m +上单调增 函数()f x 在[],1m m +上单调增 ∴()2
min 1h x m =−
()()()()2
2max 11211f x f m m m m =+=+−+=−
此时()()2
min max 1h x m f x =−=
∴m 1≥符合题意
综上，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
故选：C.
【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性. 10. 【答案】C
【分析】可证明集合A 的正数至多有3个，负数至多有3个，故可判断n 的最大值. 【详解】不妨设12n a a a >>
>，若集合A 中的正数个数不小于4，取(,,)(1,2,3)i j k =，
可得231a a a +=，取(,,)(1,2,4)i j k =，可得241a a a +=，因此34a a =，矛盾． 因此集合A 的正数至多有3个，同理，集合A 中的负数至多有3个． 又考虑{3,2,1,0,1,2,3}A =−−−， 符合题意，因此n 的最大值为7． 故选：C.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 【答案】[0,1)
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：10
010
x x x −>⎧⇒≤<⎨
≥⎩， 所以该函数的定义域为[0,1)， 故答案为：[0,1) 12. 【答案】2− 【分析】
根据奇函数的性质，()()f x f x −=−直接求得()0f 与()1f 的值，即可求出所求． 【详解】解:因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以()()f x f x −=−,()12f −=
所以()00f =，()()112f f =−−=−， 所以()()012f f +=−. 故答案为：2−
【点睛】本题主要考查了奇函数的基本性质，以及奇函数的定义，属于基础题． 13. 【答案】 ①.
14 ②. （14，12
） 【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b 的范围.
【详解】解：函数()20
1
04x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨−++⎪
⎩
，，＞则f [f （0）]＝f （e 0）＝f （1）14=． x ≤0时，f （x ）≤1，x ＞0，f （x ）＝﹣x 2+x 14+，对称轴为：x 1
2
=，开口向下， 函数的最大值为：f （
12）1111
4242=−++=，x →0时，f （0）→14
，
方程f （x ）＝b 有且仅有3个不同的实数根，则实数b 的取值范围是：（
14，1
2
）． 故答案为
14；（14，12
）．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用． 14. 【答案】①②④
【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出()2y a x =−关于y 轴的对称函数为
()2y a x =−，利用()2y a x =−与y 1x a −=的图像在()1,∞+上有交点判断④.
【详解】当2a =时，()1
0,1,
2,1
x x f x x −≤⎧=⎨
>⎩当1x >时，121x −>，所以()f x 有最小值0，①正确； 若()f x 是R 上的减函数，则112020101211a a a a a a a −−<>⎧⎧⎪⎪
<<⇒<<⎨⎨⎪⎪−≥=≤⎩⎩
，无解，所以②正确；
当01a <<时，1x y a −=单减，且当1x >时，值域为()0,1，而此时()2y a x =−单增，最大值为2a −，所以函数()f x 值域不为R ；
当12a <<时，()2y a x =−单增，1x y a −=单增，若()f x 的值域为R ，则1121a a −−≥=，所以
1a ≤，与12a <<矛盾；所以不存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；
由①可知，当2a =时，函数(f x 值域不为R ；当2a >时，()2y a x =−单减，最小值为2a −，
1x y a −=单增，且11x a −>，所以函数()f x 值域不为R ，综上③错误；
又()2y a x =−关于y 轴的对称函数为()2y a x =−，若3a >，则11211a a −−>==，但指数函数
1x y a −=的增长速度快于函数()2y a x =−的增长速度，所以必存在()01,x ∞∈+，使得
()0
102x a x a −−=，即()()00f x f x =−成立，所以④正确.
故答案为：①②④ 15. 【答案】①③④ 【分析】
理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】①在1t 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在2t 时刻的切线的斜率不相等，即两人的()2f t '不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是
()()3232
f t f t t t −−
，故
③正确；④在[]12,t t 时间段，甲的平均变化率是
()()
2121
f t f t t t −−，在[]23,t t 时间段，甲的平均变化率是
()()3232
f t f t t t −−，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是
()()f t t f t t
+−.
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 【答案】（1）()
1,3，()3,9 （2）a > （3）a<0
【分析】（1）联立方程直接计算；
（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解； （3）根据二次函数单调性可得参数范围. 【小问1详解】
当1a =时，()2
3f x x x =−+，
联立方程233y x x y x
⎧=−+⎨=⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，
即交点坐标为()1,3和()3,9. 【小问2详解】
由()f x 有两个不相等的正数零点，
得方程230x ax −+=有两个不等的正实根1x ，2x ，
即()1220
Δ43002030
x x a a a f +=>⎧⎪=−⨯>⎪
⎪⎨>⎪⎪=>⎪⎩，解得a >
【小问3详解】
函数()2
3f x x ax =−+在,2a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫−∞ ⎪⎝
⎭上单调递减；
又函数()f x 在(),0∞−上不具有单调性，
所以
02
a
<，即a<0. 17.【答案】（1）10x = （2）40，
【分析】（1）令()0f x =，即可求解零点，
（2）令()|1lg |=0f x x c =−−得1
11210
,10c c x x −++==，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当0c
时，()|1lg |f x x =−，令()0f x =，则lg 1x ，故10x =，
所以()f x 的零点为10x =. 【小问2详解】
令()|1lg |=0f x x c =−−，则|1lg |x c −=，()0c >，故1lg x c −=±，
由于12x x <，所以1
11210
,10c c x x −++==，因此1112441010=40101010c c c c x x −++−+=⨯+⨯+⨯，由于
100,100c c −>>，由基本不等式可得124=40101010c c x x −+⨯+⨯≥，当且仅
当4010=1010c c −⨯⨯，即lg 2c =时取等号，故12440x x +≥， 所以124x x +的取值范围为40，
18. 【答案】（1）该渔船捕捞3年开始盈利； （2）114万元.
【分析】（1）由题设可得50980y n e =−−>，解一元二次不等式即可确定第几年开始盈利. （2）由平均盈利额98
402m n n
=−−，应用基本不等式求最值注意等号成立条件，进而计算总收益 【小问1详解】
由题意，渔船捕捞的利润25098240980y n e n n =−−=−+−>，解得1010n <<
又*N n ∈，78<
<，故2103<<，
∴该渔船捕捞3年开始盈利. 【小问2详解】
由题意，平均盈利额984024012y m n n n =
=−−≤−=，当且仅当7n =时等号成立， ∴在第7年平均盈利额达到最大，总收益为71230114⨯+=万元. 19. 【答案】（Ⅰ）2130x y +−=，（Ⅱ）32.
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为()2
12f x x =−，所以()2f x x '=−，
设切点为(
)2
00
,12x x −，则0
22x
−=−，即01x =，所以切点为()1,11，
由点斜式可得切线方程为：()1121y x −=−−，即2130x y +−=. （Ⅱ）[方法一]：导数法
显然0t ≠，因为()y f x =在点(
)2
,12t t
−处的切线方程为：()()2
122y t t x t −−=−−，
令0x =，得2
12y t =+，令0y =，得2
12
2t x t
+=，
所以()S t =()22
1121222||
t t t +⨯+⋅，
不妨设0t >(0t <时，结果一样)，
则()423241441144
(24)44t t S t t t t t
++==++，
所以()S t '=422
22
11443(848)(324)44t t t t t
+−+−= 22222
3(4)(12)3(2)(2)(12)
44t t t t t t t
−+−++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()1616
2328
S ⨯=
=. [方法二]【最优解】：换元加导数法
()()2
2
2
2121121()12(0)2|2|4||
t t S t t t t t ++=⋅⋅+=⋅≠．
因为()S t 为偶函数，不妨设0t >，2
21()
4S t =⋅，
令a =
2,0t a a =>．
令412()a g a a +=，则面积为2
1[()]4S g a =，只需求出412()a g a a
+=的最小值．
34422412312()a a a a g a a a ⋅−−−='=()()()222
22
3223(2a a a a a a a
−+−+==．
因为0a >，所以令()0g a '=，得a =
随着a 的变化，(),()g a g a '的变化情况如下表：
所以
min [()]g a g ===
所以当a =
2t =时，2min 1
[()]324
S t =
⨯=． 因为[()]S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =−==． 综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出412
()(0)a g a a a
+=>的最小值．
令4312444()a g a a a a a a +==+++≥=
当且仅当3
4
a a
=
，即a =
所以当a =
2t =时，2min 1
[()]324
S t =
⨯=． 因为()S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =−==． 综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到
()()
()()()2
2
2
2
2
2
2
2222
1212416464
64
()41616324||
4
4
4
t t t t S t t t t t t ++++++=
≥
=
=++
+≥=+++ ,下同方法一.
【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高. 20. 【答案】(1)1；(2)1
2.
【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件即可求出结果；
（2）先分析0k ≤时，取1x =，有()1120f ln =−>，故0k ≤不合题意；再分析0k >时，构造函数
()()()()22ln 10g x f x kx x x kx x =−=−+−≥，对函数求导，分类讨论1
02
k <<
和12k ≥，即可求出
结果.
【详解】(1)()f x 的定义域为(),a −+∞, 由()()ln f x x x a =−+，得()11
1x a f x x a x a
+−−'==++； 由()0f x '>得1x a >−， 由()0f x '<得1a x a −<<−，
故函数()f x 在()1a a −−，
上单调递减，在()1a −+∞，上单调递增； 因此当1x a =−时，()()min 110f x f a a =−=−=，所有1a =. （2）当0k ≤时，取1x =，有()1120f ln =−>，故0k ≤不合题意； 当0k >时，设()()()()2
2
ln 10g x f x kx x x kx
x =−=−+−≥
()()2211
1211
x kx k g x kx x x −+−=−
−=
'++，令()0g x '=得0x =或1212k x k −=>−， ①当1
02
k <<
时，
1202k k −>，当12(0,)2k x k −∈时，()0g x '>，因此函数()g x 在12(0,)2k k −上单调递增，因此当012(0,)2k x k −∈时，()()000g x g ≥=，即有()2
00f x kx ≤不成立，故102
k <<不满足题意； ②当1
2
k ≥
时，
1202k k −≤，()0g x '<在(0,+)∞上恒成立，因此()g x 在(0,+)∞上单调递减，从而对任意的[0,+)x ∈∞，有有()2
f x kx ≤成立,故1
2
k ≥符合题意； 综上，实数k 的最小值为
12
. 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.
21. 【答案】（1）{}6,10,15B = （2）7 （3）不存在，理由见解析
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.
（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明. 【小问1详解】
{}2,3,5A =，{}6,10,15B ∴=
【小问2详解】
设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，
因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个， 又{
}25
4132,2,2,2,2
A =，{}3
4
6
8
9
5
7
2,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，
所以生成集B 中元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =
，
不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd = 则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =； 也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。