空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 课件
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• (3)图示：l∥直α线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交
于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．
• [破疑点] 一般地，直线l在平面α内时，应把直线l画在表示 平面α 的平行四边形内，如图a；直线l与平面α相交时，应画 成直线l与平面α只有一个公共点，如图b；直线l与平面α平行 时，应画成直线l与表示平面α的平行四边形的其一边平行且 在表示平面的平行四边形外，如图c.
AA′∥平面BB′C′C， • ③[答案]×B A′D′∥平面BB′C′C，但
AA′与A′D′相交
•
规律总结：直线与平面位置关系的判断：
• (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，
这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型
(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
• (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，
• [错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透 彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑 了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上， 当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或 a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在 了．
• [正解] C
当堂检测
• 1．圆柱的两个底面的位置关系是( ) • A．相交 B．平行 • C．平行或异面 D．相交或异面 • [答案] B • [解析] 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
• ●误区警示
• 易错点 对于空间中的线面和面面位置关 系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真 分析，才能避免判断失误．
•
设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b
都平行的平面( )
• A．有且只有一个
B．恰有两个
• C．没有或只有一个
D．有无数个
• [错解] 如右图，过P作a1∥a， b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有 一个平面．故选A．
• 2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是 ()
• A．相交 B．平行 • C．异面 D．平行或异面 • [答案] D
[解析]
a∥α
→
a与α无公共点 b⊂α
→
a与b无公共点
→ a与b平行或异面
• 3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直 线( )
• A．平行 B．异面
• 2．两个平面之间的位置关系
• (1)位置关系：有且只有两种
• ①两个平面平行——____没__有___公共点；
• •
②(2)两符个号平表面示相：交两—个—有平_面_α_，_一_β条_平__行公，共记直为线α．∥β；两个平面α，
β相交于直线l，记为____________.
• (3)图示：两个平面α，β平行α，∩β如＝图l a所示；两个平面α，β相 交于直线l，如图b所示．
• [破疑点] 1.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面 的两个平行四边形的对应边平行．
• 2．两个相交平面的画法．
• ●预习自测
• 1．直线m∥平面α，则m与α的公共点有( ) • A．0个 B．1个 • C．2个 D．无数个 • [答案] A
• 2．直线l与平面α有两个公共点，则( ) • A．l⊂α B．l∥α • C．l与α相交 D．l∈α • [答案] A
和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α 相交．
•
规律总结：到目前为止，我们认识了线线关系、线
面关系和面面关系，但是我们只知道定义，没有充足的公理、
定理可用，所以在证明有些结论时可以利用反证法．
• 应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出 矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬； (3)否定假设，肯定结论．
然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还
是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．
• ●探索延拓
• 用反证法证明线面关系
•
已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.
• 求证：直线b与平面α相交．
• [探究] 解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言，
即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较困
难，则宜采用反证法．
• [解析] 如右图，∵a∥b， • ∴a和b确定平面β， • ∵a∩α＝P， • ∴平面α和平面β相交于过P点的直线l. • ∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交， • ∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q， • 又因为b不在平面α内(若b在 α内，则α和β都过两相交直线b
•
下列五个命题中正确命题的个数是( )
• ①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一 个平面；
• ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一 条直线平行；
• ③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； • ④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；
• [分析] 根据直线A′B与六个面公共点的个数确定．
• [解析] ∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点， • ∴直线A′B在平面ABB′A′内． • ∵直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′都有且只有一个公共
点B， • ∴直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′相交． • ∵直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′都有且只有一个公共
点A′， • ∴直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′相交．
• ∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，
• ∴直线A′B与平面DCC′D′平行． • 平面A′B∥平面CD′， • 平面A′B与平面AD′、平面BC′、平面AC都相交．
• [反思] 本题利用定义确定了直线与平面的位置关系，这种 方法称为定义法．关于判断位置关系的判断题，应尽量结合 图形来解决．
• [归纳总结] “相直交线与平平面行不相交”和“直线与平面没有公在
平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
• (2)符号表示：直线l在平面α内，记为_____l_⊂_α___；直线l与 平记面为α__相_交__于__点__M_，. 记为____l∩__α_＝__M___；直线l与平面α平行，
• D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
• [解析] 选项 正误
A，B ×
理由 不能保证 α，β 无公共点．如图
当 a∥α，a∥β 时，α 与 β 可能相交．如图 C×
• [答D案] D√
平面 α 内所有直线都与平面 β 平行，说明 α， β 一定无公共点，则 α∥β
•
规律总结：判断两平面之间的位置关系时，可把自
• (1)与棱AB平行的棱是___________________________．
• (2)与棱AB相交的棱是___________________________．
• (3)与棱AB异面的棱是 _____________________________．
• (4)与棱AB垂直的棱是 _____________________________．
• [答案] 70°
• ●自主预习
• 1．空间中直线与平面的位置关系
• (1)位置关系：有且只有三种
• ①直线在平面内——有____无__数____个公共点；
• •
②③直直线线与与平平面面相平交行————______有____且____只___公有_共_一_点个__．__公共点；
• 直线与平面______或___没__有_的情况统称为直线在平面外．
要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共
点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公
共点．
• 两个平面的位置关系
•
α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是
()
• A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
• B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
• C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
第二章
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
• ●知识衔接
• 1．空间中两条直线的位置关系：__平__行__、__相__交_、__异__面___． • 2．若a∥b，b∥c，则____a_∥__c___. • 3．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，
• ⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于 平面α.
• A．0
B．1
• C．2
D．3
• [解析] 如图所示，
序 号
正误
理由
在长方体ABCD－A′B′C′D′ ① × 中，AA′∥BB′，AA′却在过
BB′的平面ABB′A′内
②
×
AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面 BB′C′C，但AA′不平行于BC
• A．4
B．3
• C．2
D．1
• [答案] A
• [解析] ①两条直线平行、相交或异面
• ②平行或异面 • ③平行、相交或异面 • ④无数条≠任意一条，当直线在平面内时，平面内有无数条
直线与这条直线无公共点．∴①②③④均为假命题．
• 5.如图所示，直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所 在的平面有什么位置关系？平面A′B与长方体ABCD－ A′B′C′D′的其余五个面的位置关系？
• C．相交 D．平行或异面
• [答案] D
• [解析] 两个平面内的直线必无交点，所以不是异面必是平 行．
• 4．下列四个命题中假命题的个数是( )
• ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行
• ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行
• ③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行
• ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直 线和这个平面平行．
• [答案] (1)A1B1，C1D1，CD (2)BC，B1B，AD，AA1 (3)CC1，DD1，A1D1，B1C1 (4)BC，B1C1，A1D1，AD， AA1，BB1，CC1，DD1
• 4．若∠AOB＝110°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则 a和OB所成的角为________.
• [解析] ∵a∥OA，根据等角定理，又∵异面直线所成的角 为锐角或直角，∴a与OB所成的角为70°.
• 3．已知两个不同的平面α，β，若M∈平面α，M∈平面β， 则α与β的位置关系是( )
• A．平行 B．相交 • C．重合 D．不确定 • [答案] B • 4．若平面α和平面β无公共点，则α和β的位置关系是
________. • [答案] 平行
高效课堂
• ●互动探究
• 直线与平面的位置关系
于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．
• [破疑点] 一般地，直线l在平面α内时，应把直线l画在表示 平面α 的平行四边形内，如图a；直线l与平面α相交时，应画 成直线l与平面α只有一个公共点，如图b；直线l与平面α平行 时，应画成直线l与表示平面α的平行四边形的其一边平行且 在表示平面的平行四边形外，如图c.
AA′∥平面BB′C′C， • ③[答案]×B A′D′∥平面BB′C′C，但
AA′与A′D′相交
•
规律总结：直线与平面位置关系的判断：
• (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，
这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型
(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
• (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，
• [错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透 彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑 了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上， 当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或 a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在 了．
• [正解] C
当堂检测
• 1．圆柱的两个底面的位置关系是( ) • A．相交 B．平行 • C．平行或异面 D．相交或异面 • [答案] B • [解析] 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
• ●误区警示
• 易错点 对于空间中的线面和面面位置关 系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真 分析，才能避免判断失误．
•
设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b
都平行的平面( )
• A．有且只有一个
B．恰有两个
• C．没有或只有一个
D．有无数个
• [错解] 如右图，过P作a1∥a， b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有 一个平面．故选A．
• 2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是 ()
• A．相交 B．平行 • C．异面 D．平行或异面 • [答案] D
[解析]
a∥α
→
a与α无公共点 b⊂α
→
a与b无公共点
→ a与b平行或异面
• 3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直 线( )
• A．平行 B．异面
• 2．两个平面之间的位置关系
• (1)位置关系：有且只有两种
• ①两个平面平行——____没__有___公共点；
• •
②(2)两符个号平表面示相：交两—个—有平_面_α_，_一_β条_平__行公，共记直为线α．∥β；两个平面α，
β相交于直线l，记为____________.
• (3)图示：两个平面α，β平行α，∩β如＝图l a所示；两个平面α，β相 交于直线l，如图b所示．
• [破疑点] 1.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面 的两个平行四边形的对应边平行．
• 2．两个相交平面的画法．
• ●预习自测
• 1．直线m∥平面α，则m与α的公共点有( ) • A．0个 B．1个 • C．2个 D．无数个 • [答案] A
• 2．直线l与平面α有两个公共点，则( ) • A．l⊂α B．l∥α • C．l与α相交 D．l∈α • [答案] A
和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α 相交．
•
规律总结：到目前为止，我们认识了线线关系、线
面关系和面面关系，但是我们只知道定义，没有充足的公理、
定理可用，所以在证明有些结论时可以利用反证法．
• 应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出 矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬； (3)否定假设，肯定结论．
然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还
是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．
• ●探索延拓
• 用反证法证明线面关系
•
已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.
• 求证：直线b与平面α相交．
• [探究] 解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言，
即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较困
难，则宜采用反证法．
• [解析] 如右图，∵a∥b， • ∴a和b确定平面β， • ∵a∩α＝P， • ∴平面α和平面β相交于过P点的直线l. • ∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交， • ∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q， • 又因为b不在平面α内(若b在 α内，则α和β都过两相交直线b
•
下列五个命题中正确命题的个数是( )
• ①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一 个平面；
• ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一 条直线平行；
• ③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； • ④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；
• [分析] 根据直线A′B与六个面公共点的个数确定．
• [解析] ∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点， • ∴直线A′B在平面ABB′A′内． • ∵直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′都有且只有一个公共
点B， • ∴直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′相交． • ∵直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′都有且只有一个公共
点A′， • ∴直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′相交．
• ∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，
• ∴直线A′B与平面DCC′D′平行． • 平面A′B∥平面CD′， • 平面A′B与平面AD′、平面BC′、平面AC都相交．
• [反思] 本题利用定义确定了直线与平面的位置关系，这种 方法称为定义法．关于判断位置关系的判断题，应尽量结合 图形来解决．
• [归纳总结] “相直交线与平平面行不相交”和“直线与平面没有公在
平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
• (2)符号表示：直线l在平面α内，记为_____l_⊂_α___；直线l与 平记面为α__相_交__于__点__M_，. 记为____l∩__α_＝__M___；直线l与平面α平行，
• D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
• [解析] 选项 正误
A，B ×
理由 不能保证 α，β 无公共点．如图
当 a∥α，a∥β 时，α 与 β 可能相交．如图 C×
• [答D案] D√
平面 α 内所有直线都与平面 β 平行，说明 α， β 一定无公共点，则 α∥β
•
规律总结：判断两平面之间的位置关系时，可把自
• (1)与棱AB平行的棱是___________________________．
• (2)与棱AB相交的棱是___________________________．
• (3)与棱AB异面的棱是 _____________________________．
• (4)与棱AB垂直的棱是 _____________________________．
• [答案] 70°
• ●自主预习
• 1．空间中直线与平面的位置关系
• (1)位置关系：有且只有三种
• ①直线在平面内——有____无__数____个公共点；
• •
②③直直线线与与平平面面相平交行————______有____且____只___公有_共_一_点个__．__公共点；
• 直线与平面______或___没__有_的情况统称为直线在平面外．
要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共
点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公
共点．
• 两个平面的位置关系
•
α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是
()
• A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β
• B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
• C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
第二章
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系
• ●知识衔接
• 1．空间中两条直线的位置关系：__平__行__、__相__交_、__异__面___． • 2．若a∥b，b∥c，则____a_∥__c___. • 3．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，
• ⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于 平面α.
• A．0
B．1
• C．2
D．3
• [解析] 如图所示，
序 号
正误
理由
在长方体ABCD－A′B′C′D′ ① × 中，AA′∥BB′，AA′却在过
BB′的平面ABB′A′内
②
×
AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面 BB′C′C，但AA′不平行于BC
• A．4
B．3
• C．2
D．1
• [答案] A
• [解析] ①两条直线平行、相交或异面
• ②平行或异面 • ③平行、相交或异面 • ④无数条≠任意一条，当直线在平面内时，平面内有无数条
直线与这条直线无公共点．∴①②③④均为假命题．
• 5.如图所示，直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所 在的平面有什么位置关系？平面A′B与长方体ABCD－ A′B′C′D′的其余五个面的位置关系？
• C．相交 D．平行或异面
• [答案] D
• [解析] 两个平面内的直线必无交点，所以不是异面必是平 行．
• 4．下列四个命题中假命题的个数是( )
• ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行
• ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行
• ③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行
• ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直 线和这个平面平行．
• [答案] (1)A1B1，C1D1，CD (2)BC，B1B，AD，AA1 (3)CC1，DD1，A1D1，B1C1 (4)BC，B1C1，A1D1，AD， AA1，BB1，CC1，DD1
• 4．若∠AOB＝110°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则 a和OB所成的角为________.
• [解析] ∵a∥OA，根据等角定理，又∵异面直线所成的角 为锐角或直角，∴a与OB所成的角为70°.
• 3．已知两个不同的平面α，β，若M∈平面α，M∈平面β， 则α与β的位置关系是( )
• A．平行 B．相交 • C．重合 D．不确定 • [答案] B • 4．若平面α和平面β无公共点，则α和β的位置关系是
________. • [答案] 平行
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• ●互动探究
• 直线与平面的位置关系