江西省师大附中高三数学上学期期中试卷文(含解析)

江西省师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=sinπx，x∈A}，则A∩B=（）
A．{﹣1} B．{0} C．{1} D．∅
2．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），=（1，3），那么||等于（）
A．5 B．C．D．13
3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=7a1，则数列{a n}的公比q的值为（）A．2 B．3 C．2或﹣3 D．2或3
4．（5分）函数f（x）=e x sinx的图象在点（3，f（3））处的切线的倾斜角为（）
A．B．0 C．钝角D．锐角
5．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
6．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）
A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜
8．（5分）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
9．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC′上的高，则•的值等于（）
A．0 B．4 C．8 D．﹣4
10．（5分）已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列{}的前10项和=（）
A．B．C．D．2
11．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V1，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V2，则V1：V2=（）
A．B．C．D．
12．（5分）若b＞a＞3，f（x）=，则下列各结论中正确的是（）
A． B．
C．f（）＜f（）＜f（a）D．f（b）＜f（）＜f （）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若{a n}为等差数列，S n是其前n项和．且，则tana6=．
14．（5分）把函数的图象y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω+φ=．
15．（5分）（文）如图都是由边长为1的正方体叠成的图形．例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n个图形的表面积是个平方单位．
16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）
成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点
（3）点是函数y=f（x）的一个对称中心
（4）直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
则正确的是．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．
18．（12分）已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，函数
，其最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=1，S△ABC=，求a的值．
19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一
边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BEC的距离．
20．（12分）已知圆M过两点C（1，﹣1）、D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值．
21．（12分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1=2S n+2（n∈N+）
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列．求证：
++…+＜（n＜N+）．
22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为0，回答下列问题：
（ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数g（x）=xf（x）图象上的两点，且曲线g （x）在点T（t，g（t））处的切线与直线AB平行，求证：x1＜t＜x2．
江西省师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=sinπx，x∈A}，则A∩B=（）
A．{﹣1} B．{0} C．{1} D．∅
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：根据集合A求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．
解答：解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=sinπx，x∈A}={0}，
∴A∩B={0}，
故选：B．
点评：本题主要考查特殊角的正弦值，两个集合的交集的定义，属于基础题．
2．（5分）已知平面向量=（2，﹣1），=（1，3），那么||等于（）
A．5 B．C．D．13
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出．
解答：解：∵=（2，﹣1）+（1，3）=（3，2），
∴==．
故选：B．
点评：本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式，属于基础题．
3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=7a1，则数列{a n}的公比q的值为（）A．2 B．3 C．2或﹣3 D．2或3
考点：等比数列的性质．
专题：计算题．
分析：根据等比数列的通项公式表示出S3等于前三项相加，让其值等于7a1，根据a1不等于0，消去a1得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值．
解答：解：由S3=7a1，
则a1+a2+a3=7a1，即a1+a1q+a1q2=7a1，
由a1≠0，化简得：1+q+q2=7，即q2+q﹣6=0，
因式分解得：（q﹣2）（q+3）=0，
解得q=2或q=﹣3，
则数列{a n}的公比q的值为2或﹣3．
故选C
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．
4．（5分）函数f（x）=e x sinx的图象在点（3，f（3））处的切线的倾斜角为（）
A．B．0 C．钝角D．锐角
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：由求导公式和法则求出导数，把x=3代入再求出切线的斜率，再由两角和的正弦公式化简，判断出斜率的符号，即得答案．
解答：解：由题意得，f′（x）=e x sinx+e x cosx=e x（sinx+cosx），
∴在点（3，f（3））处的切线的斜率是k=e3（sin3+cos3），
∵＜0，
∴k=e3（sin3+cos3）＜0，
则对应切线的倾斜角是钝角，
故选C．
点评：本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率的关系，以及两角和的正弦公式应用，主要利用某点处的切线的斜率是该点出的导数值．
5．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：若“a=3”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线平行”成立时，得到a=3或a=﹣2；利用充要条件的有关定义得到结论．
解答：解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x+2y+6=0与3x+2y+4=0，两直线平行；反之，当“直线ax+2y+2a=0与直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”成立时，有=，且2a≠
﹣a+7，所以a=3或a=﹣2；
所以“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+c=0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
点评：题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．
6．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：平面与平面之间的位置关系．
专题：证明题．
分析：①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证
明两面平行，③正确；④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确
解答：解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误
②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确
③过直线m作平面γ交平面β与直线c，
∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，
∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，
∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，
∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α
∴α∥β；故③正确
④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确
故正确命题有三个，
故选C
点评：本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识
7．（5分）若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）
A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：计算题．
分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．
解答：解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．
令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，
∴x=±．
又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．
故选A．
点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题．
8．（5分）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；解三角形．
分析：根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．
解答：解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，
∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8
设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣
∵C是三角形内角，得C∈（0，π），
∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角
因此，△ABC是钝角三角形
故选：C
点评：本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
9．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC′上的高，则•的值等于（）
A．0 B．4 C．8 D．﹣4
考点：平面向量数量积的运算．
专题：数形结合．
分析：通过解直角三角形求出边AD，利用向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式求出．
解答：解：因为AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC上的高，
所以AD=4sin30°=2．
所以•=•（+）=•+•==2×4×=4，
故选B
点评：本题考查向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式．
10．（5分）已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列{}的前10项和=（）
A．B．C．D．2
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：利用直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，可得a1=2，d=2，利用等差数列的求和公式求出S n，再用裂项法即可得到结论．
解答：解：∵直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，
∴a1=2，2﹣d=0
∴d=2
∴S n==n2+n
∴=，
∴数列{}的前10项和为1﹣+﹣+…+=
故选：B．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V1，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V2，则V1：V2=（）
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：判断三视图复原的几何体的形状，底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，结合数据求出外接球的半径，由此能求出结果．
解答：解：三视图复原的几何体如图，
它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的一个顶点，
它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，
外接球的直径是2，
该几何体的外接球的体积V1=π（）3=π．
V2=2×（π）=π，
∴V1：V2=π：π=4．
故选D．
点评：本题考查三视图求几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
12．（5分）若b＞a＞3，f（x）=，则下列各结论中正确的是（）
A． B．
C．f（）＜f（）＜f（a）D．f（b）＜f（）＜f （）
考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
专题：计算题．
分析：对f（x）=进行求导，求出其单调区间，再根据均值不等式判断，ab，a，
的大小，从而判断其函数值的大小；
解答：解：∵f（x）=，
∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=e，
当x≥e时，f′（x）＜0，为减函数，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，
∵b＞a＞3＞e，
∴ab＞b＞＞＞a＞e，
∴f（a）＞f（）＞f（）＞f（b）＞f（ab），
故选D．
点评：此题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是要正确求出导数，此题还涉及不等式，是一道不错的题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若{a n}为等差数列，S n是其前n项和．且，则tana6=．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：先利用等差数列的求和公式根据前11项的和求得a1+a11的值，进而根据等差中项的性质求得a6的值，代入tana6求得答案．
解答：解：S11==
∴a1+a11=
∴tana6=tan=tan=﹣
故答案为：﹣
点评：本题主要考查了等差数列的性质和等差数列前n项的和．考查了学生对等差数列基础知识的把握和理解．
14．（5分）把函数的图象y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω+φ=2﹣．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．
分析：利用函数的图象求出函数的周期，然后求出ω，通过函数图象经过的特殊点求出φ，即可求解ω+φ．
解答：解：由函数的图象可知函数的周期为：T=4×=π，
所以ω==2，因为平移后函数的图象经过，原函数的图象经过（）
所以0=sin（2×φ），因为，|φ|＜，所以φ=﹣，
所以ω+φ=2﹣．
故答案为：2﹣．
点评：本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的图象的应用，考查计算能力．
15．（5分）（文）如图都是由边长为1的正方体叠成的图形．例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位．依此规律，则第n个图形的表面积是3n（n+1）个平方单位．
考点：归纳推理．
专题：规律型．
分析：结合图形，发现第（1）个图形的表面积是1×6=6，第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18，第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36；以此类推即可求解．
解答：解：结合图形，发现：
第（1）个图形的表面积是1×6=6，
第（2）个图形的表面积是（1+2）×6=18，
第（3）图形的表面积是（1+2+3）×6=36，
第（4）图形的表面积是（1+2+3+4）×6=60，
…
故第n个图形的表面积是（1+2+3+…+n）×6=3n（n+1）
故答案为：3n（n+1）
点评：本题考查的知识点是归纲推理，其中从已知中的四个图形中，找出其表面积的变化规律，并进行大胆推断，是解答本题的关键．
16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点
（3）点是函数y=f（x）的一个对称中心
（4）直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
则正确的是（1）（2）（3）．
考点：抽象函数及其应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）令x=0，求f（1）；
（2）由题意可得f（0）=f（1）=f（﹣1）=f（2）=f（﹣2）=0；
（3）证明f=﹣f即可；
（4）由于（3）正确，故（4）不正确．
解答：解：（1）由题意，令x=0，则f（﹣1）=f（1），即﹣f（1）=f（1），则f（1）=0；（2）由题意，f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=0，f（2）=f（1﹣1）=f（0）=0，f（﹣2）=0，则f（x）在[﹣2，2]上有5个零点；
（3）由f（x﹣1）=f（x+1）可知，f（x）以2为周期，
∵f=f（x），f=f（﹣x）=﹣f（x），
∴f=﹣f，
∴点是函数y=f（x）的一个对称中心，
（4）由于（3）正确，故（4）不正确；
故答案为：（1）（2）（3）．
点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于中档题．
三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．
考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．
专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或
，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于
，，或，或．
解得：x≤0或x≥5．
故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）
（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）
由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．
18．（12分）已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，函数
，其最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=1，S△ABC=，求a的值．
考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．
专题：解三角形．
分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理即可表示出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；
（2）由f（）=1以及（1）确定出的解析式，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinA，以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．
解答：解：（1）∵=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，
∴函数f（x）=•﹣=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=（1+cos2ωx）+sin2ωx﹣=sin （2ωx+），
∵T=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+），
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
则f（x）的增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；
（2）由f（）=sin（A+）=1，得到A+=，即A=，
∵S△ABC=bcsinA=，b=1，
∴c=4，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，
则a=．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一
边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BEC的距离．
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）欲证AM∥平面BEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AM与平面BEC 内一直线平行，取EC中点N，连接MN，BN，根据中位线定理和条件可知MN∥AB，且MN=AB，从而得到四边形ABNM为平行四边形，则BN∥AM，BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，满足定理所需条件；
（2）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；
（3）过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC，从而点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，在直角三角形BDE中，利用等面积法即可求出DG，从而求出点D到平面BEC的距离．
解答：解：
（1）证明：取EC中点N，连接MN，BN．
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
所以MN∥CD，且．
由已知AB∥CD，，
所以MN∥AB，且MN=AB．（3分）
所以四边形ABNM为平行四边形．
所以BN∥AM．（4分）
又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，
所以AM∥平面BEC．（5分）
（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．（7分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得．
在△BCD中，，
所以BD2+BC2=CD2．
所以BC⊥BD．（8分）
所以BC⊥平面BDE．（10分）
（3）由（2）知，BC⊥平面BDE
又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（11分）
过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG⊥平面BEC
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度（12分）
在直角三角形BDE中，
所以
所以点D到平面BEC的距离等于．（14分）
点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的判定和点到面的距离的度量等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于综合题．
20．（12分）已知圆M过两点C（1，﹣1）、D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB的面积的最小值．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：综合题；直线与圆．
分析：（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，﹣1）、D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即
可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
解答：解：（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），
根据题意得，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4；
（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|2=|PM|2﹣|AM|2=|PM|2﹣4，
即S=2．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=2．
点评：本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（12分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1=2S n+2（n∈N+）
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列．求证：
++…+＜（n＜N+）．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）和等比数列的定义即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式即可得出；利用、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：解：（1）n≥2时，由a n+1=2S n+2，得a n=2S n﹣1+2，
两式相减可得：a n+1﹣a n=2a n，∴a n+1=3a n，即数列{a n}的公比为3，
∵n=1时，a2=2S1+2，∴3a1=2a1+2，解得a1=2，
∴a n=2×3n﹣1；
（2）由（1）可知a n=2•3n﹣1，an+1=2•3n，
∵a n+1=a n+（n+2﹣1）d，
∴d n=，=
令T n=++…+=++…+，
T n=++…+，
两式相减：T n=++…+﹣=+•﹣=﹣，
∴T n=﹣＜．
点评：本题考查了数列递推式及利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求数列的通项公式、等比数列与等差数列的定义及其通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为0，回答下列问题：
（ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数g（x）=xf（x）图象上的两点，且曲线g （x）在点T（t，g（t））处的切线与直线AB平行，求证：x1＜t＜x2．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）直接对f（x）求导，讨论a≤0和a＞0时，f′（x）的正负即可确定函数f （x）单调区间；
（Ⅱ）（ⅰ）结合（Ⅰ）和f（x）的最小值为0，得到[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0．再由导数研究函数h（x）=1﹣x+lnx（x＞0）的最值，进而求得实数a的值；
（ⅱ）根据导数的几何意义与两点连线的斜率公式，得k AB=g′（t），
令，于是lnt﹣lnx1=，得出当λ＞1时，，于
是lnt﹣lnx1＞0，即t＞x1成立，
类似的方法可证出当λ＞1时，lnλ＜λ﹣1，即﹣lnλ+λ﹣1＞0，于是lnx2﹣lnt＞0，即x2＞t成立．由此即可得到x1＜x0＜x2成立．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且．
当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a．
所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意；
当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0．
令h（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则，
由h′（x）＞0，解得0＜x＜1；由h′（x）＜0，解得x＞1．
所以h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
故[h（x）]max=h（1）=0，即当且仅当x=1时，h（x）=0．
因此，a=1．
（ⅱ）因为g（x）=xf（x）=xlnx﹣x+1（x＞0），所以g′（x）=lnx
直线AB的斜率，g′（t）=lnt．
依题意，可得k AB=g′（t），即．
令，
于是
==．
由（ⅰ）知，当λ＞1时，，于是lnt﹣lnx1＞0，即t＞x1成立．
=
==．
由（ⅰ）知，当λ＞1时，lnλ＜λ﹣1，即﹣lnλ+λ﹣1＞0，于是lnx2﹣lnt＞0，
即x2＞t成立．
综上，x1＜t＜x2成立．
点评：本小题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．。