湖南省长沙市一中2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析

湖南省长沙市一中2025届高二数学第一学期期末质量检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线3120mx y +-=在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m 的值为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
2．设A ＝37＋27C ·35＋47C ·33＋67C ·3，B ＝17C ·36＋37C ·34＋57C ·32
＋1，则A －B 的值为(
) A.128 B.129
C.47
D.0
3．若双曲线C 与椭圆22
14924x y +=有公共焦点，且离心率5
4e =，则双曲线C 的标准方程为（）
A.22
1169x y -= B.2
2
1169y
x -= C.2
214x y -= D.2
214y x -=
4．二项式5(1)x +的展开式中，各项二项式系数的和是（）
A.2
B.8
C.16
D.32
5．已知双曲线221x y -=的右焦点为F ，则点F 到其一条渐近线的距离为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
6．方程2
2
141x y k k +=--表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（） A.5
12k << B.14k <<
C.1k <或4k >
D.5
42k <<
7．已知函数()324f x x bx x d =+-+在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，则实数b 的取值范围是（） A.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C.12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
8．若不等式2
10x ax ++≥在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则a 的最小值是（ ） A.0
B.-2
C.2512-
D.52-
9．己知命题2:,2n p n N n ∃∈>；命题||:,e 1∀∈≥R x q x ，则下列命题中为假命题的是（）
A.p q ∧⌝
B.p q ⌝∨
C.p q ∧
D.p q ∨
10． “24m <<”是“方程22
124x y m m
+=--表示椭圆”的（） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11．命题“1x ∀≥，21x >”的否定形式是（）
A.“1x ∀<，21x >”
B.“1x ∃<，21x >”
C.“1x ∃≥，21x ≤”
D.“1x ∀≥，21x ≤” 12．已知两个向量(2,1,3)a =-，(4,,)b m n =，且//a b ，则m n +的值为（）
A.1
B.2
C.4
D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()f x =()f x 在2x =处切线的斜率为_______________.
14．在数列{}n a 中，11a =，2(1)2n n n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = ___.
15．已知数列{}n a 满足：112
a =，212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=⋅，则10a =______
16．过圆22
2440x y x y +-+-=内的点(3,0)M 作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是______
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆M ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12e =，左顶点A 到左焦点F 的距离为1，椭圆M 上一点B 位于第一象限，点B 与点C 关于原点对称，直线CF 与椭圆M 的另一交点为D
（1）求椭圆M 的标准方程；
（2）设直线AD 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ．求证：
12k k 为定值 18．（12分）已知函数()()2212ln R 2
f x a x x ax a =-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
19．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32
，短轴长为2 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点()0,2P -且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求当AOB 的面积取得最大值时k 的值
20．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，35a =，10100S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2(5)
n n b n a =+，记数列n b 的前n 项和n T ，求使得n T m <恒成立时m 的最小正整数. 21．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知13a =-，40S =.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并求n S 的最小值.
22．（10分）已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，12a =，且248,,a a a 成等比数列
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）设2n n
b S =，求数列{}n b 的前n 项和n T
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】求出直线方程在两坐标轴上的截距，列出方程，求出实数m 的值.
【详解】当0m =时，3120y -=，故不合题意，故0m ≠，3120mx y +-=，令0x =得：4y =，令0y =得：12x m =
，故1247m
+=，解得：4m =. 故选：C
2、A
【解析】先化简A －B ，发现其结果为二项式展开式，然后计算即可
【详解】A －B ＝37－17C ·36＋27C ·35－37C ·34＋47C ·33－57C ·32＋67C ·3－1＝()7
7312128-== 故选A.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，关键是通过化简能够发现其结果在形式上满足二项式展开式，然后计算出结果，属于基础题
3、A 【解析】首先求出椭圆的焦点坐标，然后根据54
e =可得双曲线方程中的a 的值，然后可得答案. 【详解】椭圆22
14924
x y +=焦点坐标为()5,0± 所以双曲线的焦点在x 轴上，5c =，
因为54
c e a ==，所以4a =，3b ==
所以双曲线C 的标准方程为22
1169
x y -= 故选：A
4、D
【解析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答.
【详解】二项式5(1)x +的展开式的各项二项式系数的和是5232=.
故选：D
5、A
【解析】由双曲线方程可写出右焦点坐标，再写一渐近线方程，根据点到直线的距离公式可得答案.
【详解】双曲线221x y -=的右焦点F
坐标为0)，
根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为0x y -=，
故点F
到渐近线的距离为1d =
= ， 故选：A
6、D
【解析】根据曲线为焦点在y 轴上的椭圆可得出答案. 【详解】因为方程22
141
x y k k +=--表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆， 所以140k k ->->，解得
542
k <<. 故选：D .
7、A 【解析】由题意，()23240f x x bx =+-≤'在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，只需满足()20310f f ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝≤'⎭⎨'⎪⎩
即可求解. 【详解】解：因为()324f x x bx x d =+-+，所以()2
324f x x bx =+-'， 因为函数()324f x x bx x d =+-+在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以()23240f x x bx =+-≤'在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
上恒成立，
只需满足()20310f f ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝≤'⎭⎨'⎪⎩，即4440333240b b ⎧--≤⎪⎨⎪+-≤⎩，解得122b -≤≤ 故选：A.
8、D 【解析】将题设条件转化为1a x x -≤+在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解,然后求出1x x
+的最大值即可得解. 【详解】不等式210x ax ++≥在13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解, 即为1a x x -≤+在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解, 设1()f x x x =+
,则()f x 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减, 所以255(),122f x ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦, 所以52
a -≤
,即52a ≥-, 故选:D. 【点睛】本题主要考查二次不等式能成立问题,可以选择分离参数转化为最值问题,也可以进行分情况讨论. 9、A
【解析】根据或且非命题的真假进行判断即可.
【详解】当233,32n =>,故命题2:,2n
p n N n ∃∈>是真命题， 0,e 1x x ≥∴≥，故命题||:,e 1∀∈≥R x q x 是真命题.
因此可知p q ∧⌝是假命题，p q ⌝∨是真命题，p q ∧，p q ∨均为真命题.
故选:A 10、B 【解析】方程22
124x y m m +=--表示椭圆，可得20,40,24.m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解出m 的范围即可判断出结论. 【详解】∵方程22
124x y m m +=--表示椭圆，∴20,40,24.m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得23m <<或34m <<，故“24m <<”是“方程
22
124x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B
11、C
【解析】由全称命题的否定是特称命题即得.
【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.
命题“1x ∀≥，21x >”的否定形式是“1x ∃≥，21x ≤”.
故选：C.
12、C
【解析】由//a b ，可知R λ∃∈，使b a λ=，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解. 【详解】∵//a b ，∴R λ∃∈，使b a λ=，得423m n λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：226m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩
，所以4m n +=
故选：C
【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知//a b ，引入参数λ，使b a λ=，转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由//a b ，得
4213m n ==-，求出m ，n .
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、23
【解析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】解：因为()41f x x =
+，所以()241
f x x ='+， 所以， 所以函数()f x 在2x =处切线的斜率为
23 故答案为：
23
14、930 【解析】当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以数列{}n a 前60项中偶数项的和
24685860()()()15230a a a a a a ++++++=⨯=，当n 为奇数时，22n n a a +-=，因此数列{}n a 是以1为首项，公
差为2等差数列，{}n a 前60项中奇数项的和为302930129002⨯⨯+
⨯=，所以6090030930S =+=. 考点：递推数列、等差数列.
15、1110
【解析】令n=n -1代回原式，相减可得
11(2)1n n a n n a n --=≥+，利用累乘法，即可得答案. 【详解】因为212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=⋅，
所以21211(1)(2)n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-⋅≥，
两式相减可得22
1(1)(2)n n n a n a n a n -=⋅--⋅≥，整理得221(1)1(2)11n n a n n n a n n ---==≥-+， 所以1098298719871111093
a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 整理得101211110a a ⨯=⨯，又112
a =，解得101110a =. 故答案为：1110
16、30x y +-=
【解析】由已知得圆22
2440x y x y +-+-=的圆心为()12C -，，所以当直线l MC ⊥时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程.
【详解】解：由222440x y x y +-+-=得()()22
1+29x y -+=，所以圆222440x y x y +-+-=的圆心为()12C -，，
所以当直线l MC ⊥时，被该圆截得的线段最短，所以20113
l k --⋅
=--，解得1l k =-， 所以直线l 的方程为()3y x =--，即30x y +-=，
故答案为：30x y +-=.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22
143
x y += （2）证明见解析
【解析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆的性质进行求解即可；
（2）设出直线CF 的方程与椭圆方程联立，根据斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【小问1详解】
（1）12
c e a ==，1AF a c =-=，∴2a =，1c =，2223b a c =-=， ∴22
143
x y +=； 【小问2详解】
设()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，CF ：1x my =- 联立22114
3x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴()234690m y my +--=，∴122122934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩ ()()()()()()2
212121121221
2121212121121232321212
y y x y my y my k x my y y y k y x y my y my my y y x ----+-=====+-+++- 1221211229627333434343993434
m m m y y m m m m m y y m m -⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭+===--++++ 【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
18、（1）当0a =时，()0,∞+上单调递增；
当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；
当0a <时，在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增.
（2）341,e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】（1） 先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；
（2）根据（1）的结论，分别求0,0,0a a a =><时()f x 的最小值，令()min 0f x ≥，即可求出实数a 的取值范围.
【小问1详解】
易知函数()2212ln 2
f x a x x ax =-++的定义域为()0,∞+， ()()()2
22x a x a a f x x a x x
+-'=-++=， 当0a =时，()0f x x '=>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；
当0a >时，20x a +>，令()0f x '>，得x a >；令()0f x '<，得0x a <<，
所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；
当0a <时，0x a ->，令()0f x '>，得2x a >-；令()0f x '<，得02x a <<-，
所以()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增.
【小问2详解】
当0a =时，()2102
f x x =≥成立，所以0a =符合题意； 当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，
要使()0f x ≥恒成立，则()()222min 12ln 02
f x f a a a a a ==-++≥， 解得340e a <≤；
当0a <时，()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增，
要使()0f x ≥恒成立，则()()()()222min 122ln 22202
f x f a a a a a =-=--+--≥， 解得102
a -≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是341,e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
19、（1）2214x y +=；（2）k =【解析】（1）由短轴长得b ，由离心率处也,a b 的关系，从而可求得a ，得椭圆方程；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为2y kx =-，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式得弦长AB ，求出原点到直线AB 的距离，得出三角形面积为k 的函数，用换元法，基本不等式求得最大值，得k 值
【详解】解：（1=，22b =，
所以2a =，1b =，椭圆C 的方程为2
214
x y += （2）直线l 的方程为2y kx =-，代入椭圆C 的方程，
整理得()221416120k x kx +-+=
由题意，()()222256481416430k k
k ∆=-+=->， 设()11,A x y ，()22,B x y 则1221614k x x k +=+，1221214x x k
=+
弦长
AB == 点O 到直线l
的距离d = 所以AOB 的面积
212
14S AB d k =⨯⨯==+， 令()2430t k t =->
，则244144t S t t t ==≤=++， 当且仅当2t =时取等号．所以max 1S =，
对应的2t
=，可解得2
k =±，满足题意 20、 (1) 21n a n =- (2)1
【解析】（1）先设设等差数列{}n a 的公差为d ，由35a =，10100S =列出方程组求出首项和公差即可；
（2）由(1)先求出n b ，再由裂项相消法求数列的前n 项和即可.
【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为35a =，10100S =，
所以11251045100a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩
所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.
（2）由（1）可知()()2
2524n n b n a n n ==++ ()1111222n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
∴12n n T b b b =+++= 111111[1232435⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111]112n n n n ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ ()()13232212n n n ⎡⎤+=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
, ∴34n T <，∴34m ≥，∴m 的最小正整数为1 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前n 项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.
21、（1）25n a n =-
（2）24n S n n =-，4-
【解析】（1）由13a =-，40S =计算出公差，再写出通项公式即可.
（2）直接用公式写出n S ，配方后求出最小值.
【小问1详解】
设公差为d ，由40S =得()
14402a a +=，从而140a a +=，即1230a d +=
又13a =-，2d ∴=()1125n a a n d n ∴=+-=-
【小问2详解】
由（1）的结论25n a n =-，
()
()1232542
2n n n a a n n S n n +-+-∴===-， ()224n S n ∴=--，∴当2n =时，n S 取得最小值4-.
22、（1）2n a n =；（2）21
n n T n =+ 【解析】（1）根据12432,,,a a a a =成等比数列，有2424a a a =，即2(23)(2)(27)d d d +=++求解.
（2）由（1）可得，2n S n n =+，∴2221121n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭
，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由12432,,,a a a a =成等比数列，得2424a a a =，
即2
(23)(2)(27)d d d +=++，
整理得220d d -=，∵0d ≠，∴2d =，
∴22(1)n a n =+-，即2n a n =
（2）由（1）可得，2n S n n =+，∴2221121n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭
， 故111111112212222122334111n n T n n n n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。