高考数学总复习教案：8.3直线与平面的位置关系(2)

第八章 立体几何初步第3课时 直线与平面的位置关系(2) ⎩⎪⎨
⎪⎧⎭
⎪⎪⎫对应学生用书（文）102～104页 （理）104～106页
1. (必修2P 40练习4改编)若直线l 与平面α不垂直，则在平面α内与直线l 垂直的直线有________条． 答案：无数
解析：易证在平面α内与l 在平面α内的射影垂直的直线与l 垂直，所以满足题意的直线有无数条． 2. (原创)已知A 、B 、C 是不共线的三点，直线m 垂直于直线AB 和AC ，直线n 垂直于直线BC 和AC ，则直线m ，n 的位置关系是________．
答案：平行
解析：因为直线m 垂直于直线AB 和AC ，所以m 垂直于平面ABC ，同理，直线n 垂直于平面ABC ，根据线面垂直的性质定理得m ∥n.
3. ( 必修2P 40习题5改编)下列命题：① 一条直线在平面内的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行．其中真命题的个数是________．
答案：0
解析：一条直线在平面内的射影可以是一个点，所以①是错的；在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；③④显然也是错的，所以正确的个数为0.
4. (必修2P42习题9改编)如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A、B的任一点，则图中直角三角形的个数为________．
答案：4
解析：因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC，△ACB是直角三角形；由PA⊥平面ABC可得，PA⊥AB，PA⊥AC，所以△PAB与△PAC是直角三角形；因为PA⊥平面ABC，且
BCÌ平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而PCÌ平面PAC，所以BC⊥PC，△PCB是直角三角形；故直角三角形的个数为4.
5. (必修2P42习题11、16改编)P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．
(1) 若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；
(2) 若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的________心；
(3) 若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．
答案：(1) 内(2) 垂(3) 外
解析：(1) P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，可知O到△ABC三边距离相等，即O 是△ABC的内心；(2) 由PO⊥平面ABC且BC平面ABC，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO与PA是平面POA内两条相交直线，所以BC⊥平面POA，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O是△ABC的垂心；由PA、PB、PC与底面所成的角相等，易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，从而OA＝OB＝OC，所以O是△ABC 的外心．
1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．
2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
3. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
[备课札记]
题型1直线与平面垂直的判定
例1(2013·常州期末调研)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB ＝2AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：
(1) MN∥平面PCD；
(2) 四边形MNCD是直角梯形；
(3) DN⊥平面PCB.
证明：(1) 因为点M、N分别是PA、PB的中点，所以MN∥AB.
因为CD∥AB，所以MN∥CD.
又CDÌ平面PCD，MNË平面PCD，所以MN∥平面PCD.
(2) 因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，
所以CD⊥PD.
因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.
因为MDÌ平面PAD，所以CD⊥MD.
又MN∥CD，MN≠CD，
所以四边形MNCD是直角梯形．
(3) 因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，
从而∠PAD＝60°.
在Rt△PDA中，AD＝2，PD＝6，PA＝22，MD＝ 2.
在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝3，CD＝3，CN＝MD2＋（CD－MN）2＝6，
从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.
在Rt△PDB中，PD＝DB＝6，N是PB的中点，则DN⊥PB.
又PB ∩CN ＝N ，所以DN ⊥平面PCB. 备选变式（教师专享）
(2013·南京调研)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D 、E 、F 分别为线段AC 、A 1A 、C 1B 的中点．
(1) 证明：EF ∥平面ABC ； (2) 证明：C 1E ⊥平面BDE.
证明：(1) 取BC 的中点G ，连结AG 、FG . 因为F 为C 1B 的中点，所以FG ∥=1
2
C 1C.
在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ∥=C 1C ，且E 为A 1A 的中点，所以FG ∥=EA. 所以四边形AEFG 是平行四边形. 所以EF ∥AG .
因为EF Ë平面ABC ，AG Ì平面ABC ，所以EF ∥平面ABC.
(2) 因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD Ì平面ABC ，所以A 1A ⊥BD. 因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC.
因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A Ì平面A 1ACC 1，AC Ì平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1. 因为C 1E Ì平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E. 根据题意，可得EB ＝C 1E ＝
6
2
AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2.从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB.
因为BD ∩EB ＝B ，BD Ì平面BDE, EB Ì平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE. 题型2 直线与平面垂直性质的应用
例2 已知如图①所示，矩形纸片AA′A 1′A 1，点B 、C 、B 1、C 1分别为AA′、A 1A 1′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1、CC 1折成如图②形状(正三棱柱)，若面对角线AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥AB 1.
(图①)
(图②)
证明：作AD∥BC，BD∥AC交于D，作A1D1∥B1C1，B1D1∥A1C1交于D1.连结BD1、DD1(如图)，
∵A1C1B1D1为菱形，
∴A1B1⊥D1C1.
又AA1⊥平面A1D1B1C1，
∴AA1⊥D1C1.
又D1C1⊥平面ABB1A1，∴D1C1⊥AB1.
又AB1⊥BC1，
∴AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥BD1.
又BD1∥CA1，∴AB1⊥A1C.
变式训练
(2013·泰州期末)在三棱锥SABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝
3
3BC，点D是BC边的中点，
点E 是线段AD 上一点，且AE ＝3DE ，点M 是线段SD 上一点，
(1) 求证：BC ⊥AM ；
(2) 若AM ⊥平面SBC ，求证：EM ∥平面ABS. 证明：(1) ∵ AB ＝AC ，D 是BC 的中点，
∴ AD ⊥BC ，
⎭
⎪⎬⎪
⎫SA ⊥平面ABC BC 平面ABC Þ
⎭
⎬⎫
SA ⊥BC
AD ∩SA ＝A Þ
⎭
⎪⎬⎪
⎫BC ⊥平面SAD AM 平面SAD ÞBC ⊥AM.
(2) ∵ AM ⊥平面SBC ，AM ⊥SD ，设SA ＝AB ＝AC ＝1，则BC ＝3，SD ＝2
33，∵ SA ⊥AD ，AM ⊥
SD ，AD 2＝MD·SD ，故MD ＝
36，SM ＝3
2
，即SM ＝3MD ，又AE ＝3DE ，∴ ME ∥SA ，又ME Ë平面ABS ，SA Ì
平面，故EM ∥平面ABS. 题型3 直线与平面垂直的探索题
例3 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝BB 1. (1) 若P 是CC 1上任一点，求证：AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直； (2) 试在棱CC 1上找一点M ，使MB ⊥AB 1. (1) 证明：反证法．假设AP ⊥平面BCC 1B 1， 因为BC Ì平面BCC 1B 1，所以AP ⊥BC.
又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥BC ，AP ∩CC 1＝P ，AP Ì平面ACC 1A 1，CC 1Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.
而AC Ì平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC ，这与△ABC 是正三角形矛盾．
故AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直． (2) M 为CC 1的中点．
证明：∵ 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝BB 1，∴ 四边形BCC 1B 1是正方形．
∵ M 为CC 1的中点，D 是BC 的中点，∴ △B 1BD ≌△BCM ，∴ ∠BB 1D ＝∠CBM ，∠BDB 1＝∠CMB. ∵ ∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，∠CBM ＋∠BDB 1＝π
2，
∴ BM ⊥B 1D.
∵ △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴ AD ⊥BC.
∵ 平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD Ì平面ABC ， ∴ AD ⊥平面BB 1C 1C.
∵ BM Ì平面BB 1C 1C ，∴ AD ⊥BM. ∵ AD ∩B 1D ＝D ，∴ BM ⊥平面AB 1D. ∵ AB 1Ì平面AB 1D ，∴ MB ⊥AB 1. 备选变式（教师专享）
在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CD 、A 1D 1中点． (1) 求证：AB 1⊥BF ； (2) 求证：AE ⊥BF ；
(3) 棱CC 1上是否存在点F ，使BF ⊥平面AEP ，若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由． (1) 证明：连结A 1B ，CD 1，∵ AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，A 1B ∩BC ＝B ， ∴ AB 1⊥平面A 1BCD 1，又BF Ì平面A 1BCD 1，所以AB 1⊥BF. (2) 证明：取AD 中点M ，连结FM ，BM ，∴ AE ⊥BM ，
又 ∵ FM ⊥AE ，BM ∩FM ＝M ，∴ AE ⊥平面BFM ，又BF Ì平面BFM ，∴ AE ⊥BF. (3) 解：存在，P 是CC 1的中点．易证PE ∥AB 1，故A 、B 1、E 、P 四点共面． 由(1)(2)知AB 1⊥BF ，AE ⊥BF ，AB 1∩AE ＝A ，∴ BF ⊥平面AEB 1，即BF ⊥平面AEP.
【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)
由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A、B、C，O为△ABC的外心，求证：OP⊥α.
学生错解：证明：因为O为△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以OP⊥α.
审题引导：要记OP⊥α，需记OP垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP垂直于△ABC 的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC、OBC，不准找到证题途径．
规范解答：证明：取BC的中点D，连结PD、OD，
∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，(5分)
又PDÌ平面POD，OD平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.(8分)
∵POÌ平面POD，∴BC⊥PO.
同理AB⊥PO.(12分)
又AB、BC是α内的两条相交直线，∴PO⊥α.(14分)
错解分析：上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明．
1. (2013·苏锡常镇调研)已知l，m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若lÌβ，且α⊥β，则l⊥α；
②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；
③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；
④若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α.
则所有正确的命题是________．(填序号)
答案：②
解析：对于①，当l与α、β的交线不垂直时，l与α也不垂直，所以①错误；对于②，由两个平面平行的判定定理易证正确；对于③④，l可能在α内，所以它们都是错误的；因此，正确的命题只有②.
2. (2013·青岛模拟改)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C、D、E均异于A、B)，则△ACD的形状是________．
答案：直角三角形
解析：∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥平面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．
3. 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是________．(填序号)
①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；
②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；
③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；
④对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直．
答案：②
解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．
对于①，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB、BC不相等可知点E、F不重合．在图(2)中，连结CE，若直线AC与直线BD垂直，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，与点E、F不重合相矛盾，故①错误．
对于②，若AB⊥CD，∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故②正确．
对于③，若AD⊥BC，∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB ＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴③错误．
由上可知④错误，故正确的说法只有②.
4. 如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E、F分别是BC、PC的中点．证明：AD⊥平面DEF.
证明：取AD中点G，连结PG、BG、BD.因为PA＝PD，有PG⊥AD，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB ＝60°，故△ABD为等边三角形，因此BG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG AD⊥PB，AD⊥GB.又PB∥EF，得AD⊥EF，而DE∥GB，得AD⊥DE.又FE∩DE＝E，EFÌ平面DEF，DEÌ平面DEF，所以AD⊥平面DEF.
5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知∠ACB＝90°，M为A1B与AB1的交点，N为棱B1C1的中点．
(1) 求证：MN∥平面AA1C1C；
(2) 若AC＝AA1，求证：MN⊥平面A1BC.
证明：(1) 连结AC1，因为M为A1B与AB1的交点，所以M是AB1的中点．又N为棱B1C1的中点，所以MN∥AC1.又AC1平面AA1C1C，MNË平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.
(2) 由AC＝AA1，则四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C.因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为BCÌ平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AC1.又AC1Ì平面AA1C1C，MN∥AC1，所以MN⊥A1C，MN⊥BC.又BC∩A1C＝C，所以MN⊥平面A1BC.
1. 如图PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结
论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的是________．(填序号) 答案：①②④
解析：① AEÌ平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PAÞAE⊥BC，故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BCÞAF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．
2. (2012·福建莆田模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC，△ABC分别是以A、B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1.
现给出三个条件：① PB＝3；② PB⊥BC；③平面PAB⊥平面ABC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA⊥平面ABC；
解：(解法1)选取条件①，
在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝1，∴BC＝1，AC＝ 2.
又∵ PA＝AC，∴PA＝ 2. ∴在△PAB中，AB＝1，PA＝ 2.
又∵ PB＝3，∴AB2＋PA2＝PB2.∴∠PAB＝90°，即PA⊥AB.
又∵ PA⊥AC，AB∩AC＝A，AB，AC真包含于平面ABC，∴PA⊥平面ABC.
(解法2) 选取条件②，
∵PB⊥BC，又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB.
∵PA真包含于平面PAB，∴BC⊥PA.
又∵ PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.
(解法3)选取条件③，
若平面PAB⊥平面ABC，
∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC真包含于平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.
∵PA真包含于平面PAB，∴BC⊥PA.∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.
3. 在空间四边形ABCD中，已知AC⊥BD, AD⊥BC, 求证：AB⊥CD.
证明：过A点作AO垂直平面BCD于O，连结BO, CO, DO.
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD.
又AC⊥BD，∴BD⊥平面AOC，∴CO⊥BD.
同理，DO⊥BC，∴O为△BCD的垂心，∴BO⊥CD. 又AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD，
∴CD⊥平面ABO，∴AB⊥CD.
4. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝
2
2AD.
若E、F分别为PC、BD的中点，求证：
(1) EF∥平面PAD；
(2) EF⊥平面PDC.
证明：(1) 连结AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，且PAÌ平面PAD，EFË平面PAD，∴EF∥平面PAD.
(2) ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA .
又PA＝PD＝
2
2AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝
π
2，即PA⊥PD，而CD∩PD＝D，
∴PA⊥平面PDC.又EF∥PA，∴EF⊥平面PDC.
1. 判定或证明直线与平面垂直的常用方法：
(1) 利用直线与平面垂直的定义，注意弄清“任意”与“无数”两词的差异；
(2) 利用直线与平面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，mÌα，nÌαÞa⊥α)；
(3) 利用平面与平面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，ABÌα，AB⊥lÞAB⊥β)．
注意证题时一定要将相应的条件写全，规范书写．
2. 证明垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间垂直关系的相互转化，达到解题目的．
请使用课时训练（B）第3课时（见活页）.
[备课札记]。