例析优化三角运算的常用方法

www
想方法
2020年第11期
中学数学教学参考（下旬）
例析优化三角运算的常用方法
刘道贵（安徽省桐城市新启航学校）
摘要：三角函数问题中优化三角运算的常用策略有代数变换、整体代换、引入参数、平方升次、变换角度 与构造模型等，结合实例对此进行剖析，有利于学生提高运算能力，提升数学核心素养。

关键词：三角函数；三角运算；常用方法 文章编号：1002-2171 (2020) 11-0043-03
对于三角函数问题，由于函数名称众多，三角公 式各异，角度变化多端，因而优化三角运算，简化解题 步骤是师生追求的目标。

为此，解题时需要根据条件 从三角函数名称、角度及求解结果等方面人手，选择 适当的公式，采用合适的策略，寻求解题的突破点，达 到快速、准确解决问题的目的。

下面笔者结合实例对 优化三角运算时常用的策略进行归类分析。

1代数变换
在三角函数问题中，若同时出现代数式Sin X 士
cos j :与sin jtcos x 的情况，往往可以借助代数变换来
转化与处理。

平面B D P ，所以丄A C ，所以丄平面P A C ,所 以
丄P A ，P B 丄P C 。

因为P A =P B = P C ，A A B C
是边长为2的正三角形，所以P A 丄P C ,则P A ，P j B ，
P C 两两垂直。

考虑到三棱锥P -A B C 各侧面均为等腰直角三角 形，把该三棱锥放到正方体中去考虑（即构造正方 体），如图2所示，易知球O 的
直径为. #=
W ，于是球0的体积为W
tt 。

故选D。

反思：对此题的研究必须经历识图、想图、构图的
过程，通过观察、分析、想象、判断、计算进行求解。

发 现三棱锥P -A B C 各侧面都是等腰直角三角形是优化 解题路径的关键，构造几何体（即把三棱锥补形为正 方体）是基本思路，考查学生运用观察、转化、化归解
例1 设a 为R -,试求函数/(:r ) = 2a(sin j ： +
cos 〇:) — sin xcos _r —2a 2的最大值与最小值。

分析：结合条件进行代数变换，令sin :c +
cos I ，将函数/(：r )转化为关于参数Z 的二次函数问
题，结合a 的取值情况，通过分类讨论来确定函数的 最大值与最小值。

函数的最值问题比较常见，经过这 样的转化，学生能很快地找到突破口。

解:设 < = sin j t + cos
(x +^f )e [-V 2,
A ]，则有 sin xcos + —1)，可得 /(:r ) = 2a(sin x +
cos x ) — sin jt c o s x
~
2al = 2a t --- 1) 一 2a 2 =
决问题的能力，突出考查学生的直观想象、数学抽象、 数学建模等核心素养，渗透了解题的哲学思想——普
遍性都寓于特殊性之中，发现了问题的特殊性，就找
到了问题的突破口[2]。

罗增儒教授曾指出：数学解题是一种创造性活 动。

利用构造法解题，不仅意味着我们要有完整性 和融通性的知识结构，还要善于挖掘问题的深层 联系。

参考文献：
[1] 罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M ].南宁：广西教
育出版社，2008.
[2]
林运来.促进全面发展，落实评价体系，引领教学改
革—
2019年高考数学全国卷试题评析[J ].数学通报，
2019,58(12)：
43-47,53.
2020年第11期
中学数学教学参考（下旬)
—-\~2a t~\-■^-—2a2 = —^-(l_2〇)2+士。

由于<2〉0,可知[/(x)：U=/(-V^) =-+(-V^—2a)2++=—2a2—2V^a—+。

当 〇<a<f时，则知[/(：!：)]■ = /(2a)=如当时，则知[/(x)]訓_=/(及）=—2a)2+去=—2a2+2V^a_去。

反思：借助代数变换，将三角函数问题转化为二 次函数最值问题，通过配方，巧妙地借助二次函数的 图像与性质来解决最值问题。

2整体代换
在三角函数问题中，若已知三角关系式或待求三 角关系式的结构比较类似的情况时，往往可以借助整 体代换的方法来分析与处理。

例2 若 s in jr+sin;y=f，试求 cos j c+cos j 的取值范围。

分析：结合所求的关系式对原问题进行整体代 换，令m=cos x+cos j y，根据关系式的特征，将已知式 与待求式两边平方，通过转化，结合三角函数的图像 与性质，借助二次不等式来确定相应的取值范围。

解：设M=cos x十cos ;y，分别给已知三角关系式f=sin x+s i n ;y与待求三角关系式m=cos x+cos;y 的两边平方，可得■^■=s i n2x+s i n2;y+2s i n xsin j(①），m2=c os2x+co s2y+2C OS J C C O S y(②）〇
①+②并整理，可得u2++=2 +2c〇S(x—W，即
3
2cos(x—：y)=m2—
由于一2<2cos(x—3；X2,则一2<w2—
解得一所以cosx+cos：y的取值范围为[-#，字]。

反思：本题借助整体代换，合理构建关系式，利用 结构类似的已知与待求的关系式的变形与转化进行---------------------------------www
运算，得到相关的参数问题。

3引人参数
引人参数主要适用于三角函数问题中结构比较 复杂的情形。

例3 已知〇<0<n，且满足sin0+C〇S(9=+，则tan6>的值为________。

分析：结合题目条件s in 0+C〇S 0=备，合理引人参数s in<9= A+r，结合条件确定cos <9的关系式，利
用三角函数的平方关系建立方程，通过求参数r的值，确定s i n (9与cos 0的值，为进一步求tan 0的值提 供条件。

解:设sin0=士(由于〇<0<兀，则C> —占)，结合条件可得cos〖，利用三角函数的平方关系可得(忐+十+(忐一〇2=1，解得户士卜=—舀不合题意，舍去)，此时s i n0=元+〖=可，cos 0=元一
«=_鲁，所以tan0=^|=-4。

故填答案一4。

5 cos
6 3 3
反思：借助引人参数，有效构造三角函数关于参数的关系式，利用三角函数公式建立方程，通过运算确定参数值，从而解决三角函数问题。

可见，合理地引入参数，转变求解角度，能有效提升解题效率。

4平方升次
在三角函数问题中，若涉及s in j:与cos j:的一 次式问题，往往可以通过平方升次来转化，利用平方公式sin2:r+cos2_r=l建立关系式求解。

例4 已知sin orcos卢=，则cos a sin卢的取值
范围为________〇
分析：结合题目条件中的关系式sinaC〇S^=j，
进行平方升次，通过关系式的转化以及三角函数的平 方关系的应用，将关系式sini+c o s V进行转化与配 方，确定其最小值，从而确定cos2asin2/?的取值范围，再通过求解不等式求得cos asin^的取值范围。

想方
法
www
、想方法
2020年第11期 中学数学教学参考（下旬）
解：将已知式s i n 〇>c o s
•两边平方，可得sin 2acosM =i ，则有 sin 2〇=d
^。

又 cosVsin 2々=
(1 — sin 2a ) ( 1 — cos 20) = 1 — ( sin2a + cos 20) +
si n 2acos 2卢=导—（sin2a + cos 2卢)，而 sin2a + c 〇s2f =
d
^+C 0SV =(d r ^—cos ^ + l ^l ，所以
cosVsin 2/^导一（sin2a + cos 20) <导一吾=音，解得
c 〇s (f _6)+sin (T +冶 sin(f _a ) =—f f x y +j ^X (
—'j =—而，所以 sin(a + 卢）=—cos | +
(a +^9) =g 。

故填答案
反思：借助变换角度，合理构造已知角与结论角 之间的关系，为进一步利用诱导公式或三角恒等变换 公式解决问题做铺垫。

这是解决涉及角比较多的三 角函数问题时经常用到的策略。

-^cos asin
故填答案
6构造模型
反思：借助平方升次，为进一步利用三角函数中 的平方关系sin 2:r +cos2:r = 1指明方向，通过转化正 弦值与余弦值之间的关系，为三角函数求值提供条 件。

合理平方升次，巧妙借助sin2:r + C 〇S 2;c =l 解题 也是解决三角函数问题的有效策略。

5变换角度
在三角函数问题中，若涉及的三角函数的角比较
多时，通常可以将部分角进行加、减、倍、半处理，以便 解题时化异为同。

例5 已知j 〈a <穿，cos (子_。

)=音，0<存<
子，sin (专+卢)=吾，则sirKa +p )的值为_______。

分析：结合题目条件，分析已知角与结论角之间 的关系-有（专+/9) —(f — «)=f +(«+炉，根据诱导公式进行转化，得sin(a + /?) = — c o s 晋+ (a +/9)]，因此通过变换角度，可以先求c o s f f +(a +/3)] 的值来进行化异为同的转化。

解:由子<〇■<_，可得一|<子一a <0,结合
cos ( J —a )=音，可得 sin (j _a)=— 音 *
又由于0<卢<子，可得穿<_+卢<7：,结合
s i n (字+沒)=吾，可得 cos (专+0) =—||，而 cos f +
(〇：+/?) =cos (穿+卢)一(予一a) =cos (_+/?).
在三角函数问题中，对于有些三角求值问题，可
根据问题的结构构造辅助模型，然后利用模型的知识 去分析、解决。

例 6
试求 sinUcr + cosMcr +V^sin 20。

〇5 80。

的值为________。

分析：结合题目条件，通过诱导公式的变形与转 化，建立与余弦公式对应的三角函数式，进而通过构 造三角形模型，进行正弦定理与余弦定理的转化，合 理、有效地解决问题。

解：原式=s i n 2 20°+s i n 210°—2s i n 20°s i n 10°c o s 150°, 构造平面几何模型——
A A
B
C ，其中内角A ,B ,C 所
对应的边分别为a ，6，c 。

根据余弦定理，可得a 2 +62 _2a 6cosC =c 2，
结合
正弦定理转化可得 s i n 2A + s i n 2B _2s i n Asin Bcos C =
s i n 2C 。

结合条件，令Z A = 2(T ，Z B =10°，Z C =150。

，
可知原式=s i n 220° +s i n 210° — 2s i n 20°s i n 10°cos 150° =
s i n -150。

=了。

故填答案了。

反思：在三角函数求值问题中，经常需要通过构 造一些熟悉的平面几何图形，如三角形（特殊的直角 三角形、等腰三角形或等边三角形）、正方形等，利用 直角三角形的性质、解三角形等方式来转化与处理问 题。

合理构造模型，可使学生通过数形结合的方式有 效解决三角函数问题。

利用以上策略来解决三角函数问题时，要求学生 熟练地掌握常见的基本模型，熟悉三角函数的概念及 其相关知识点，多练习、多反思、多总结，融会贯通，不
断优化解题方法，
提升运算能力。