基于独立分量分析的均匀圆阵DOA估计算法(自动化学报)

基于独立分量分析的均匀圆阵DOA估计算法
陈晋央①吴瑛②杨吉祥①
①（总参工程兵科研三所洛阳471023）
②（解放军信息工程大学信息工程学院郑州450001）
摘要在深入研究均匀圆阵阵列流型性质的基础上，结合独立分量分析方法能够稳健完成信号分离的优点，提出了一种基于独立分量分析的均匀圆阵波达方向估计算法。

首先使用复数域ICA算法估计出阵列流型，然后对估计的阵列流型进行周期修正，最后利用圆阵阵列流型的相位关系完成二维DOA估计。

该算法不需要谱峰搜索，并且能够完成来向相近信号的DOA估计。

仿真实验验证了本文算法的有效性，本文算法与MUSIC算法性能相近但是运算量大幅降低。

关键词DOA估计；独立分量分析；均匀圆阵；周期修正；来向相近信号
中图分类号TN911.7 文献标志码 A
DOA Estimation Algorithm for Uniform Circular Array Based on
Independent Component Analysis
CHEN Jin-yang①WU Ying②Yang Ji-xiang①
①(The Third Engineer Scientific Research Institute of the Headquarters of the General Staff,
Luoyang 471023,China)
②(Institute of Information Engineering, PLA Information Engineering University, Zhengzhou
450001,China)
Abstract Based on the deep research on array manifold of uniform circular array, combined with the robust performance of independent component analysis(ICA) to separate signals a direction of arrival(DOA) estimation algorithm is proposed. First the algorithm estimates the array manifold using ICA algorithm in complex domain, then period revising is made for the estimated array manifold, at last the DOA estimation is completed employing the phase relation of array manifold. The algorithm avoids the spatial spectrum searching, which is able to get the DOA estimation for closely spaced signals. Simulation result reveals the proposed algorithm has comparative performance to MUSIC but the computational complexity is lower.
Key words DOA estimation; independent component analysis; uniform circular array; period revising; closely spaced signals
陈晋央jinyang870210@
0引言
波达方向（Direction of arrival, DOA）估计是阵列信号处理的一个基本问题，也是雷达、通信、声呐等众多领域的重要任务之一。

20世纪80年代以来，学者们提出了很多高性能的二维高分辨测向方法，其中具有代表性的是MUSIC算法和ESPRIT算法，它们都可以产生渐进无偏估计值，但是MUSIC算法需要谱峰搜索，ESPRIT算法需要参数配对并且要求阵列的几何结构具备旋转不变性，一定程度上限制了算法在实际测向系统中的使用。

均匀圆阵（Uniform circular array, UCA）具有很多优点，如可以进行二维DOA估计、对孔径比的限制较小、角度分辨率在各个方位上保持一致等。

但是圆阵的阵列流型比线阵复杂得多，使得很多算法无法直接应用于圆阵。

文献[1]提出的UCA-ESPRIT算法根据贝赛尔函数的性质，利用模式激励后阵列流型向量之间的相互关系实现了二维DOA估计，并且参数可以自动配对，但该算法的测向自由度受孔径比和阵元个数的影响。

文献[2]利用四阶累积量对UCA进行阵列流型扩展，能够利用扩展阵列中含有旋转不变性的子阵列组完成均匀
圆阵的ESPRIT 算法，但是该方法在阵列孔径大于0.5时会出现测向模糊现象。

阵列流型的变换使运算量增大并且会损失UCA 的某些优越性能，文献[3]利用UCA 阵列流型的特点，直接用阵列输出协方差矩阵的下三角元素建立DOA 估计方程，但是多个信号到达阵列时该方法运算量很大。

因此研究无需谱峰搜索和复杂预变换的低运算复杂度圆阵测向算法具有重大实际意义。

独立分量分析（Independent component analysis, ICA ）是盲源分离的重要方法[4]，从20世纪最后10年发展至今已经成为现代信号处理的一个十分活跃的领域，在电子信息、通信、
图像处理等领域得到了成功的应用。

目前已经有基于ICA 的DOA 估计方法[5,6]，但是这些
算法均针对均匀直线阵，因此本文提出一种基于独立分量分析的均匀圆阵DOA 估计算法（ICA-UCA ），通过复数域的ICA 算法完成盲源分离，进而估计出了圆阵的阵列流型，重点研究了消除测向模糊的周期修正方法，最后利用阵列流型的相位关系求得信号方位角和俯仰角的闭式解。

本文算法无需谱峰搜索，对孔径比不敏感，并且在提供信号来向的同时能够恢复原始信号，为后级的识别和解调做准备。

1 信号模型
假定一个具有M 个各向同性阵元的均匀圆阵，各阵元均匀分布于一个半径为r 的圆周上，考虑D 个中心频率相同的窄带远场信号入射到该阵列，则逆时针方向上的第l 个阵元输出为 )cos(2exp()()(1k D k k l φr j t s t x ∑λπ-==)()))1(2cos(t n θM l l k +--π
(1)
其中，)(t s k 表示第k 个源信号，k θ和k φ分别表示第k 个信号的方位角和俯仰角，λ是信号波长，)(t n l 表示第l 个阵元上的加性高斯白噪声。

将式(1)写成矩阵形式为
)()()(t t t N AS X += (2) 2 ICA-UCA 算法分析
2.1 阵列流型估计算法
目前已有一些阵列流型估计的方法[7]，这些方法多是基于累积量估计阵列流型，需要较多样本数才能精确估计，同时高阶累积量的计算也比较复杂，因此本文考虑使用比较成熟的ICA 算法来估计阵列流型。

ICA 是盲源分离最重要的方法，其基本原则是使分离后信号的非高斯性达到最大，一般的盲源分离系统框图如图1：
分 离矩阵W 白 化信号z 分 离信号y
图1 盲源分离系统框图
ICA 的瞬时混合模型为X=AS+N ，目标是在一定的准则下得到分离向量W ica ，使得Y=W ica H X 为各个独立分量。

对比式(2)，阵列输出的信号模型和ICA 的瞬时混合模型一致，因此利用复数域ICA 算法可完成对阵列接收信号的分离。

峭度是一种对于瞬时混合和线性卷积混合都有效的非高斯性度量，表达式是:
}{E }
{E }{E 2}{E )(2222224y y y y w --=κ (3)
{}⋅E 表示期望，对于任意不为0的λ，均有)()(w w κ=λκ，所以该指标对幅度不敏感。

因此可在算法中将w 进行标准化，使其具有单位方差，即1=w 。

ICA 默认的预处理步骤是中心化和白化，经过这两个处理步骤，峭度的定义式(3)可得到简化。

但本文使用式(3)作为对照函数，由于该式更具有一般性，故可以不进行白化处理并且同时对实数和复数有效。

上式最大化转化为下面的优化问题: )(max arg opt g w μμμ+κ=
(4)
经典的基于峭度的ICA 方法通过梯度算法来使峭度极大化，该方法会出现收敛到局部极值点的问题。

RoubustICA 算法[8]通过对多项式求根的数学方法来获得最优步长，可以避免通过多次迭代的方法进行步长选择，并且可以收敛到全局极值点。

故本文使用RoubustICA 算法作为分离算法。

使用RoubustICA 算法分离阵列接收信号后得到分离矩阵W ica ，即
X W S H ica ˆ= (5)
此时完成了信号的分离，恢复出的原始信号可供后级信号识别和解调使用，同时能够根据分离矩阵W ica 估计出阵列流型A ：当信号个数D 与阵元个数M 相等时，对分离矩阵W ica 直接
求逆即可得到估计的阵列流型-1ica
ˆW A =，当信号个数小于阵元个数时，W ica 不是方阵，则估计的阵列流型为W ica 的广义逆矩阵，即
1)ˆ(ˆˆ-=H H S S S X A (6)
此时估计出的阵列流型为M ×D 的矩阵，其中每一列对应一个来向的导向矢量。

2.2 均匀圆阵DOA 估计
设第k 个信号理想的导向矢量T 21)],(),,(),,([),(k k M k k k k k k φθa φθa φθa φθa =，利
用独立分量分析得到的导向矢量估计值),(ˆk k φθa
进行了标准化故只与理想的导向矢量存在固定的相位差。

因此对导向矢量估计值),(ˆk k φθa
做求相角运算后应该与理想导向矢量的相位对应相等，由于求相角运算的取值区间是)2,0[π，则对于第l 个阵元有： =--πλπ))1(2cos()cos(2k k θM l φr Θ+π+l k k l K φθa 2)),(ˆ(angle (7)
圆阵在实际应用中的孔径范围为0.8-4.0，从上式看出当阵列孔径大于0.5时理想导向矢量的相位取值范围往往超过了)2,0[π，式中使用整数l K 进行周期修正，Θ为估计导向矢量与理想导向矢量的固定相位差（在后续操作中很容易去除其影响）。

下面讨论周期修正的方法，这一点是不少利用ICA 方法进行DOA 估计文献[5,6]中忽略的地方，在文献[2]对圆阵的DOA 估计中，也未讨论由阵列孔径带来的周期修正问题。

经过对圆阵阵列流型的分析，发现修正后导向矢量的相位具有以下三条性质：
性质1：均匀圆阵是一种中心对称阵列，故同一来向信号的导向矢量相位和为0，即
0)2)),(ˆ((angle 1=π+∑=l k k M l l K φθa (8)
性质2：根据余弦函数的有界性易知式(7)中)1,1())1(2cos(
)cos(-∈--πk k θM l φ，则整数l K 的取值范围应满足： l k k l K φθa r <π-λ-)2/(),(ˆ(angle )2/(),(ˆ(angle π-λ<k k l φθa r (9)
性质3：同一来向信号的导向矢量相邻元素的相位之差满足正弦规律变化。

将理想导向矢量的相邻元素相除后，对应于相位相减，即
)])32(sin()sin(2)[cos(2)])2(2cos())1(2)[cos(cos(2M
l M φr θM l θM l φr k k k k --=-----ππλπππλπ (10) 其中l 表示第l 个阵元，取值为2到M ，由式(10)可知导向矢量相邻元素的相位之差应满足
正弦变化规律。

估计的导向矢量),(ˆk k φθa
为M ×1的向量，将估计矢量的相邻元素相除后求相角也应具备此性质，对不具备此性质的元素需要进行l K π2的修正，使其相邻元素的相位之差满足式(10)的变化规律。

利用以上三个性质，可以完成对利用ICA 方法估计出的导向矢量的周期修正，为求解方位角和俯仰角做准备。

为了去除式(7)中固定相位差的影响，将估计出的导向矢量),(ˆk k φθa
进行归一化处理，即所有元素均除以第一行元素，利用理想导向矢量和估计导向矢量对应行的相位相等得：
)),(ˆ(angle )),(ˆ(angle )]cos())1(2[cos(cos 21k k k k l k k k φθa φθa θθM l φr -=----πλπ (11) 其中angle 表示进行周期修正后相角，对于M 元均匀圆阵可得到M -1个如式(11)形式的等式，联立其中任何两个等式即可求出方位角，经过简单的运算即可得到方位角的闭式解为： )arctan(ˆ22112221q n m n m q m m θkl --= (12) )sin(),)1(2cos(),)1(2sin(211M m M l n M l m π=π-=π-=)),(ˆ()),(ˆ()),(ˆ(angle )),(ˆ(angle ),cos(,1212k k k k k k k k l φθa φθa φθa φθa q M n --=π=
(13)
上述取值结果均使用了第二个阵元（l =2）的相位值，可得到M -2个方位角的解，在算法中最终的方位角为这些估计的方位角的统计平均值： ∑-==M l kl k θM θ3ˆ21ˆ (14)
将式(14)得到的方位角直接代入式(11)即可求得对应俯仰角的值，此时得到了最终的二维DOA 估计结果。

2.3 本文算法
本文提出一种基于独立分量分析的均匀圆阵DOA 估计算法，该算法先利用独立分量分析算法估计出阵列的阵列流型，然后进行二维角度估计，具体步骤如下：
步骤1 确定到达阵列的信号个数D （经典的信源数目估计算法均可完成）。

步骤2 利用复数域的FastICA 算法完成信号分离，得到分离矩阵W ica 。

步骤3 利用式(6)估计阵列流型A
ˆ。

步骤4 根据2.2节中理想导向矢量的三个性质完成估计导向矢量的周期修正。

步骤5 对估计的导向矢量进行归一化处理。

步骤6 利用式(12)(13)(14)求得方位角，再将方位角代入式(11)求得俯仰角。

经典DOA 估计算法在两信号来向相近时无法给出所有信号来向[9]，本文提出的ICA-UCA 算法能够完成来向相近信号的分离，从而估计出了所有表征信号来向信息的导向矢量，但是当信号来向相近时上述通过数值计算方法得到DOA 估计结果会有较大误差，当上述算法得到不同信号的DOA 估计结果间隔小于θ∆时使用下面方法进行进一步处理： 2H ),(),(ˆmax arg ),(φa φa φθθ=θ (15)
其中),(ˆφa
θ为估计出的各信号对应的导向矢量，),(φa θ是以本文算法DOA 估计结果为中心θ∆±内的理想导向矢量，θ∆随着阵列孔径和阵元个数的增加而减小。

由于对来向相近信号的测向在使用ICA 算法完成分离后转化为对单个信号的测向，使用式(15)搜索方法具有更高的测向成功率和精度，故测向性能只与ICA 算法能否完成信号分离有关，从而在信号来向相近时获得了比传统DOA 估计算法更好的估计性能。

3 仿真结果和分析
实验一：不同阵列孔径下的DOA 估计性能仿真。

假设空间有9个非相干的窄带信号到达9元均匀圆阵，其来波方向分别为(16.6º, 70.2º)，(52.3º, 62.4º)，(74.7º, 55.8º)，(114.5º, 43.2º)，(152.4º, 35.1º)，(200.9º, 27.7º)，(253.1º, 20.8º)，(310.6º, 15.5º)，(346.2º, 10.3º)，信噪比均为10dB ，阵列孔径比分别取0.8，1.5，2.5，快拍数为1000，独立进行200次实验，取其均值作为估计值，表1给出了本文算法的DOA 估计值及其偏差：
从表1中数据可以看出，本文ICA-UCA 算法可以较精确的在不同阵列孔径下估计出M 个信号的来波方向，这是由于ICA 算法可以分离出的信号个数与阵元数目相同，得到了M 个估计的导向矢量，从而完成了DOA 估计，经典的MUSIC 算法能够同时估计出M -1个信号，而经过模式变换的UCA-ESPRIT 算法只能估计出M /2个信号。

表1 不同孔径比下本文算法的测向结果表
实验二：高精度测向性能仿真。

假设空间有2个非相干的窄带信号到达16元均匀圆阵（使用如此多的阵元数是为了和UCA-ESPRIT 算法对比，在阵列孔径为1时UCA-ESPRIT 算法要求阵元数目至少为13，其他两种算法无此限制），来波方向分别为(40.63º, 20.21º)，(73.37º, 35.48º)，孔径比为1，快拍数为500，信噪比范围为-5 dB —20 dB ，每个信噪比上进行200次蒙特卡洛实验，为检验本文算法有效性，与经典的高分辨MUSIC 算法、UCA-ESPRIT
算法做对比。

图2(a)为高斯白噪声条件下ICA-UCA算法和MUSIC算法的测向均方误差随信噪比的变化曲线，图2(b)为幅相误差存在(幅度差0.3dB，相位差±10º)情况下两个算法的测向均方误差随信噪比的变化曲线：
图2(a) 未加幅相误差图2(b) 加入幅相误差
图2算法均方误差随信噪比变化图
从仿真图可以看出，本文算法具有较高的测向性能，并且测向均方误差随着信噪比的提高而降低，在高斯白噪声条件下，其性能和其他两种算法相近，当幅相误差存在时，其性能受幅相差影响，测向精度稳定在约0.4º。

实验三：来向相近信号的测向性能仿真。

假设空间有2个非相干的窄带信号到达16元均匀圆阵，一信号来波方向分别为(40º, 20º)，另一信号方位角从40.1º到43.5º变化，俯仰角为20º，孔径比为1，快拍数为1000，信噪比为15dB，先使用UCA-ICA算法估计大致来向，再用式(18)进行精搜索，图3为三种算法测向成功概率随信号来向差值变化图：
图3(a) 未加幅相误差图3(b) 加入幅相误差
图3 算法测向成功概率随信号来向变化图
在上述条件下测向成功定义为：（1）测得2个信号来向；（2）当方位角来向间隔小于1º时每个信号方位角估计结果与真实值偏差小于来向间隔的一半，当方位角来向间隔大于1º时每个信号方位角估计结果与真实值偏差小于0.5º。

由于本文算法能够分离出来向相近的信号，从而估计出了精确的导向矢量，故在信号来向很接近的情况下能够较精确的给出信号来向，MUSIC算法在信号来向相近时形成的谱峰不能够区分两个信号，故大部分情况下只能得到其中一个信号的DOA估计结果，而UCA-ESPRIT算法在幅相误差存在的情况下很难正确估计出两个来向相近信号的来向。

从仿真图看出，本文算法在两信号来向相差大约0.5º即可完成两信号的DOA估计，而MUSIC 算法则需要两信号来向相差2º以上，当幅相误差存在时，MUSIC能够成功测向需要两信号
来向至少间隔3º。

实验四：算法运算量分析。

实际系统中使用的是MUSIC 算法，故重点分析本文算法和MUSIC 算法的运算量。

本文算法运算量最大部分是白化预处理和ICA 算法的迭代，MUSIC 算法运算量最大部分是特征值分解和谱峰搜索，白化预处理中主要步骤也是特征值分解，运算复杂度为O(M 3)，两算法该部分运算量基本相同，故下面比较ICA 算法和谱峰搜索的运算量：
(1)对于复数域RoubustICA 算法，每次迭代需要进行(18M +22)N 次实乘运算（N 为快拍数），平均每个信号需要至多20次迭代，故D 个信号运算量为20D (18M +22)N 次实乘运算（若该部分算法选取为经典的FastICA 算法，则运算量约为该算法的一半）。

(2)对于MUSIC 算法的谱峰计算，每个方位上的计算需要进行4(2M (M -D )+M )次实乘运算，对应不同的搜索精度，搜索的方位数目不同，当方位角、俯仰角搜索精度为φθ∆∆，，总方位)/90)(/360(φθL ∆∆=，对应运算量为4L (2M (M -D )+M )次实乘运算。

当有多个信号到达阵列时，对计算的谱峰需要进行二维极值搜索，谱峰搜索的运算量与信号个数、搜索精度均有关系。

在实验二的仿真条件下，MUSIC 算法搜索精度为方位角0.5º、俯仰角1º时运算量约为本文算法的30倍（Matlab 条件下本文算法运行0.083s ，MUSIC 算法运行2.37s ）。

通过对本文算法的仿真和分析，本文得出以下结论：
(1) 本文算法能够同时测向的信号个数多于MUSIC 算法和ESPRIT 算法。

(2) 本文算法测向精度略差于MUSIC 算法，但是能够满足实际测向系统对测向精度的要求。

(3) 本文算法测向的角度分辨率高于MUSIC 算法，在信号来向相近的情况下能够给出信号来向。

(4) 本文算法相比于MUSIC 算法运算量大幅减小。

文中主要针对圆阵进行分析，从算法推导过程来看，本文算法很容易推广到任意阵列。

4 结束语
均匀圆阵由于其自身的优良特性在实际中应用广泛，本文提出了一种基于独立分量分析的均匀圆阵DOA 估计算法。

本算法不需要谱峰搜索，与经典的MUSIC 算法性能相近但运算量大幅降低，同时，该算法能够同时给出DOA 估计的信源数目与阵元个数相同、受幅相误差影响较小、在信号来向相近时仍能够测向成功，为工程实际中实现快速高分辨测向算法提供了一种新的思路。

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作者简介：
陈晋央：男，1987年生，硕士，主要研究方向为阵列信号处理和传感器技术。

吴瑛：女，1960年生，教授、博士生导师，主要研究方向为阵列信号处理。

杨吉祥：男，1976年生，硕士、助理研究员，主要研究方向为阵列信号处理和传感器技术。