江苏省宿迁市宿城区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试卷(含答案详解)

江苏省宿迁市宿城区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．a6÷a2＝a4D．（a3）2＝a9
2．（3分）2023年4月26日，“第四代北斗芯片”正式发布，这是一款采用全新工艺的22纳米芯片．已知22纳米＝0.000000022米，数据0.000000022用科学记数法可表示为（ ）
A．2.2×10﹣7B．2.2×10﹣8C．22×10﹣8D．22×10﹣9
3．（3分）不等式2x+1＜8的最大整数解为（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（3分）多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（ ）
A．4a2B．4abc C．2a2D．4ab
5．（3分）一副三角板ABC和DEF如图所示放置，∠C＝∠F＝90°，点D在边AC上．若DE∥CB，则∠1的度数为（ ）
A．75°B．80°C．82°D．85°
6．（3分）下列命题中，真命题的个数为（ ）
（1）如果ab＝0，那么a＝0；
（2）同旁内角互补，两直线平行；
（3）两个锐角的和是钝角；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（3分）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）
9．（3分）若是关于x、y的二元一次方程ax+by﹣5＝0的一组解，则4a﹣2b﹣9的值为 ．
10．（3分）若（x﹣1）（x+3）＝x2+mx+n，则m+n＝ ．
11．（3分）若是关于x的完全平方式，则常数m的值为 ．
12．（3分）如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是该不等式的一个解，则m的取值范围是 ．
13．（3分）已知关于x，y的方程组的解满足x﹣y＝2，则k的值为 ．
14．（3分）已知2x＝3，8y＝5，则8x+y＝ ．
15．（3分）已知关于x的不等式（a+2）x＜1的解集为x＞，则a的取值范围为 ．
16．（3分）用简便方法计算：的结果为 ．
17．（3分）关于x的不等式组恰有三个整数解，则m的取值范围是 ．18．（3分）已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝ °．
三、解答题（本题共10小题，共96分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（2x+5）（x﹣3）．
20．（8分）先化简，再求值：（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3），其中．21．（8分）分解因式
（1）x3﹣9x；
（2）（x2+4）2﹣16x2．
22．（8分）解不等式组：，并写出它的所有正整数解．
23．（10分）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝78°，求∠BAD的度数．
24．（10分）观察下列算式：
算式①：32﹣12＝8＝8×1；
算式②：52﹣32＝16＝8×2；
算式③：72﹣52＝24＝8×3；
…
（1）按照以上三个算式的规律，请写出算式④： ；
（2）上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1（n为整数），请证明这个命题成立；
（3）命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是 命题（填“真”或“假”）．
25．（10分）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣4.2]＝ ，＜3.14＞＝ ．
（2）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．
26．（10分）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套．
（1）求书籍和实验器材各有多少套？
（2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来．
27．（12分）先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式x2+6x+10的最小值．
解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1，
∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1，
∴x2+6x+10的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
（1）代数式x2﹣4x+3的最小值为 ；
（2）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由．
（3）已知有理数x，y满足﹣x2+3x+y﹣5＝0，求x+y的最小值．
28．（12分）已知：△ABC中，记∠BAC＝α，∠ACB＝β．
（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D．
①用α的代数式表示∠BPC的度数；
②用β的代数式表示∠PBD的度数；
（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，且BD⊥AP于点D．
①请补全图形；
②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，直接写出正确的结论．
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）
1．解：A、a2+a3没有同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，计算正确，故此选项符合题意；
D、（a3）2＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．解：0.000000022＝2.2×10﹣8．
故选：B．
3．解：移项得，2x＜8﹣1，
合并同类项得，2x＜7，
系数化为1得，x＜．
可见其最大整数解为3．
故选：B．
4．解：多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是4ab，
故选：D．
5．解：如图：
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DGA＝60°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠2＝180°﹣∠FDE﹣∠DGA＝75°，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：A．
6．解：如果ab＝0，那么a＝0或b＝0，故（1）是假命题；
同旁内角互补，两直线平行，故（2）是真命题；
两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故（3）是假命题；若ac2＞bc2，则a＞b，故（4）是真命题；
∴真命题有（2），（4），共2个，
故选：B．
7．解：依题意，得：．
故选：D．
8．解：设ID＝y，DJ＝z，
∵两个阴影部分都是正方形，
∴DN＝ID＝x，DM＝DJ＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，
∵AD＝AI+ID，CD＝CJ+DJ，
∴AI+ID＝CJ+DJ，
∵AI＝5，CJ＝3，
∴5+y＝3+z，
∴y＝z﹣2，
：∵阴影部分面积和为60，
∴y2+z2＝60，
方法1：将y＝z﹣2代入y2+z2＝60中，得：
（z﹣2）2+z2＝60，
解得：z＝1+或z＝1﹣（舍），
∴y＝z﹣2＝﹣1，
∴ID＝﹣1，DJ＝1+，
∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝（﹣1）×（1+）＝28；方法2：∵z﹣y＝2，
所以（z﹣y）2＝4，
∴y2+z2﹣2yz＝4，
∴60﹣2yz＝4，
yz＝28，
∴S长方形FJDI＝ID•DJ＝28．
故选：A．
二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）
9．解：把代入方程ax+by﹣5＝0得：2a﹣b﹣5＝0，
移项得：2a﹣b＝5，
所以4a﹣2b﹣9＝2（2a﹣b）﹣9＝2×5﹣9＝10﹣9＝1．
故答案为：1．
10．解：已知等式整理得：（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3＝x2+mx+n，∴m＝2，n＝﹣3，
则m+n＝2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
11．解：∵是关于x的完全平方式，
∴
解得
故答案为：
12．解：由图形得：x＞3m+8，
因为x＝m﹣2是x＞3m+8的一个解，
所以m﹣2＞3m+8，
所以m＜﹣5，
故答案为：m＜﹣5．
13．解：，
①﹣②得：，
把代入x﹣y＝2得：x＝，
把，x＝代入①得：k＝1，
故答案为：1．
14．解：∵2x＝3，8y＝5，
∴8x+y
＝8x•8y
＝（23）x×5
＝5×（2x）3
＝5×33
＝5×27
＝135．
故答案为：135．
15．解：∵不等式（a+2）x＜1的解集为x＞，∴a+2＜0，
∴a的取值范围为：a＜﹣2．
故答案为：a＜﹣2．
16．解：
＝（3.08）2﹣（2.08）2
＝（3.08+2.08）×（3.08﹣2.08）
＝5.16×1
＝5.16．
17．解：
解不等式①可得x≤3，
解不等式②可得x＞m，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为m＜x≤3，
∵该不等式组恰好有三个整数解，
∴整数解为1，2，3，
∴0≤m＜1．
故答案为：0≤m＜1．
18．解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，
∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′
＝2∠B+35°．
∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC ＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），
∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′
＝360°﹣2∠C，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）
＝360°﹣（360°﹣2∠C）
＝2∠C．
∴∠1+∠2+∠3
＝2∠C+2∠B+35°
＝2（∠C+∠B）+35°
＝2（180°﹣∠A）+35°
＝2（180°﹣65°）+35°
＝265°．
故答案为：265°．
三、解答题（本题共10小题，共96分）
19．解：（1）原式＝9+（﹣1）﹣1﹣5
＝9﹣1﹣1﹣5
＝2；
（2）原式＝2x2﹣6x+5x﹣15
＝2x2﹣x﹣15．
20．解：原式＝a2﹣4a+4+a2﹣1﹣2a2+6a ＝2a+3，
当a＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+3
＝﹣+3
＝．
21．解：（1）x3﹣9x
＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
22．解：，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
所有正整数解有：1、2．
23．解：（1）AC∥EF，
理由是：∵∠ADB＝∠BCE，
∴AD∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∵∠CAD+∠E＝180°，
∴∠E+∠ACE＝180°，
∴AC∥EF；
（2）∵∠ADB＝∠BCE，∠ADB＝78°，
∴∠BCE＝78°，
∵AC平分∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCE＝39°，
∵AD∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE＝39°，
∵FE⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∵AC∥EF，
∴∠BAC＝∠EFA＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣39°＝51°．
24．解：（1）算式①：32﹣12＝8＝8×1；
算式②：52﹣32＝16＝8×2；
算式③：72﹣52＝24＝8×3；
算式④：92﹣72＝8×4．
故答案为：92﹣72＝8×4．
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n．
∴两个连续奇数的平方差能被8整除．
（3）设两个连续的偶数为：2n，（2n+2），
∵（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝（4n+2）×2＝4（2n+1）．∴两个连续偶数的平方差不能被8整除是假命题．
故答案为：假．
25．解：（1）根据题意得，[﹣4.2]＝﹣5，＜3.14＞＝4．
故答案为：﹣5，4．
（2）解方程组，得；
则x、y的取值范围为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
26．解：（1）设书籍和实验器材各有x套，y套，
由题意得，，
解得，
答：书籍和实验器材各有240套，120套；
（2）设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车（8﹣m）辆，
由题意得，，
解得0≤m≤4，
∴有4种方案：①运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；②运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；④运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
27．解：（1）x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）+3﹣4
＝（x﹣2）2﹣1，
∵（x﹣2）2≥0，
∴x2﹣4x+3的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）4a2+b2+11＞12a﹣2b．理由如下：
4a2+b2+11﹣（12a﹣2b）
＝4a2+b2+11﹣12a+2b
＝（4a2﹣12a+9）+（b2+2b+1）+1
＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1，
∵（2a﹣3）2≥0，（b+1）2≥0，
∴（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1＞0，
∴4a2+b2+11＞12a﹣2b；
（3）∵﹣x2+3x+y﹣5＝0，
∴x+y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4≥4，
∴当x＝1时，x+y最小，最小值为4．
28．解：（1）①如图1∵BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
∴∠PBC＝∠PBM＝∠CBM＝（α+β）
∠1＝∠BCN＝（180°﹣β）
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠1
＝180°﹣（α+β）﹣（180°﹣β）
＝90°﹣α；
②在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣∠BPD，
∵∠BPD＝∠PBM﹣∠2
＝（α+β）﹣α
＝β
∴∠PBD＝90°﹣β；
（2）①如图2所示，
②中的两个结论发生了变化，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵点P为△ABC的三条内角平分线的交点，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°+α；
∵∠BPD＝∠BAP+∠ABP＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣β，∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠PBD＝90°﹣（90°﹣β）＝．。