弹性力学-05(差分法与变分法)

（5-6）
y
h
说明： 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值，称为 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
§5-2 应力函数的差分解
1. 应力函数的差分方程
应力分量的差分表示 x
12
8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
平面问题（不计体力时），应力分量可表示为：
2 2 2 x 2 , y 2 , xy xy y x
B A d A x dx A y dy B 2 B 分步积分： x A x 2 dx x x A B B
两边积分，有：
d dx dy x y
s是x 的函数： —s —x 2 dx dx 2 x x x d ds dx ds x dx d 2 ds dx 2 ds x x
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4

4
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
B
O
B y y A Xds B A
A
yB
（ d）
xB
B
– dx
dy ds
B A Y ds x B x A

Y
X
N
y
x
y
x
计算应力函数 的全微分，有：
（5-9） 对常体力情况， 将体力转换为面力 分析。

xy 0
1 xy 4h 2 ( 5 7 ) ( 6 8 ) 0
2
应力函数的差分方程 平面问题（不计体力时），应力相容方程为：
4 4 4 4 4 2 2 2 4 0 x x y y
4
4
由四阶导数差分公式，得：
4 1 x 4 h 4 6 0 4(1 3 ) ( 9 11 ) 0 4 1 ( 5 6 8 8 ) x 2 y 2 h 4 4 0 2(1 2 3 4 ) 0
（c ）
y
h
将其代入式（b），有：
2 2 f h f f 3 f 0 h x 2 x 2 0
0 2 2 f h f f1 f 0 h 2 x 0 2 x 0
2 2
（ b）
l y 2 m xy X s s
2 2
O
（ b）
A
yB
xB
B
– dx dy
l xy m x 2 Y s s
2 2

Y
x
（5-1）
4 3 0 2 1
h
（5-2）
同理，在网格线4-0-2上取
1 2 f f f f0 y 2 y ( y y0 ) 2! 0
类似于，x方向的讨论，有
2 ( y x ) 0 0
y
h
（e ）
f2 f4 f 2h y 0
y h
优点： 收敛性好、程序设计简单、 非线性适应好。 代表性软件：FLAC
f f f 1 3 2h x 0
y h
x h
3 0 1
缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。 （2）等效积分法 控制微分方程 边值条件 建立等效的 积分方程 假设未知函数 整个区域内
f5 f 6 f 7 f8 1 2 h 2 h 2 ( f 6 f 8 ) ( f 5 f 7 ) 2h 4h
y h
2 f 1 xy 4h 2 ( f 6 f8 ) ( f 5 f 7 ) 0
进一步可导出四阶偏导数的差分公式：
若略去三次幂以上各项，式（a）变为：
x h 3 0 1
f f f 0 ( x x0 ) x 0 1 2 f 2 ( x x ) 0 2 2! x 0
节点3及1的 x 坐标：
（b ）
x3 x0 h x1 x0 h
（5-5）
进一步可导出四阶偏导数的差分公式：
x
f x 4
4 4
1 h 4 6 f 0 4( f1 f 3 ) ( f 9 f11 ) 0
12
8 11 3 7 4 0 2 10 5 1 6 9
f 1 x 2y 2 h 4 4 f 0 2( f1 f 2 f 3 f 4 ) 0 ( f 5 f 6 f 8 f 8 ) 4 f y 4 1 h 4 6 f 0 4( f 2 f 4 ) ( f10 f12 ) 0
联立求解，得：
f1 f 3 f 2h x 0
2 f x 2
（5-1）
（d ）
f1 f 3 2 f 0 2 h 0
（5-2）
f1 f 3 f 2h x 0
2 f x 2 f1 f 3 2 f 0 2 h 0
由变分原理等求出 （近似解） 单元结点上值 主要有限元软件： SAP， ADINA —— 早期的软件
NASTRAN、 ANSYS 、 ABAQUS、ASKA、SAFE、MARC等
§5-1 差分公式的推导
要 点:
将微分方程转变成差分方程。
基本思想:
将基本方程和边界条件（一般为微分方程）近似 地用改用差分方程（线性代数方程）表示，把解微分 方程的问题变成求代数方程的问题。
上式进一步可写成（y, x 都是 s 的函 数）：
d X ds y s d Y ds x s
对上式从 A 到 B 积分：
B y A Xds A B
（c）
或写成
B A Y ds x A
X
N
y
x
如图可见：
y
ds
x
代入式（b），有：
dy l cos( N , x) cos ds dx m cos( N , y ) sin ds
dy 2 dx 2 X 2 ds y s ds xy s dy 2 dx 2 Y 2 ds xy s ds x s
4 1 y 4 h 4 6 0 4( 2 4 ) (10 12 ) 0
将其代入相容方程，有
20 0 8(1 2 3 4 ) 2(5 6 7 8 ) (9 10 11 12 ) 0
定值条件 精确解 （均质、边界条件简单）
近似解 （1）有限差分法 （数值解） （2）等效积分法（包括变分法） （3）有限单元法 （4）边界单元法 …… f1 f 3 （1）有限差分法（FDM） f 代替 2h x 0 要点：差分 微分； x h 3 0 1
差分方程 代替 微分方程。 （代数方程）
1. 中心差分公式
设函数：f f ( x, y ) 为弹性体 内的某个函数（应力分量、位移分量、 应力函数 、温度等）。 在弹性体上用相隔等间距 h 且平行 于坐标轴的两组平行线组成网格，称为差 分网格。网格线的交点称为节点（结点）。 则函数 f = f (x，y) 在平行于 x 轴 y 的网格线上，如节点：3-0-1 上，它只 随 x 而变化。
7
2
10 B 14
6
2. 边界节点 值的确定
边界节点的 值由边界条件确 定。由边界条件方程： y h
l x s m xy s X l xy s m y s Y
2 2 l y 2 m xy X s s l xy m x 2 Y s s
近似求解
（a）加权余量法（加权残值法）
（配点法、子域法、最小二乘法、力矩法、Galerkin法、等） （b）变分法 y
f ( x)
当原问题存在某个泛函时，则原问题 等价于求该泛函的驻值。如： Ritz 法等。
特点：在整个区域内，假设未知函数。
适用于边界几何形状简单的情形。
x
x
（3）有限单元法（FEM） —— 加权余量法、变分法的推广。 基本思想： 区域离散 在单元上 整个区域 分成若干个单元 假设未知函数
2 f y 2 f2 f4 2 f0 2 h 0
（5-3）
式（7-1）（7-4）称为基本 差分公式。
（5-4）
混合二阶导数的差分公式：
x h 8 3 7 4 0 2 5 1 6
2 f f y xy x 0 0 f f y y 1 3 2h
第五章 用差分法和变分法解平面问题
主 要 内 容
§5-1 差分公式的推导
§5-2 应力函数的差分解 §5-3 应力函数的差分解的实例 §5-4 位移变分方程 §5-5 位移变分法 §5-6 位移变分法的例题
§5-0 弹性力学的数值计算方法简介
控制微分方程 工程问题 （力学、物理等） 求解 建立一组 基本方程 常微分方程 偏微分方程 位移边界条件 力的边界条件 初始条件
对于弹性体边界内的每一节点，都可 建立上述方程。 但对紧靠边界内一行节点， 建立其差分方程时，还包括边界上各点处的 值和边界外一行的结点处的 值。 8 11 3
（5-10）
—— 应力函数差分方程 x 12 4 0 5 1 9 A 13
弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。 如：节点13、14等。
x h 3 0 1
h
考察结点 0 处，函数 f = f (x，y) 的变化，可展开成 Taylor 级数：
1 2 f f f f 0 ( x x0 ) 2 2! x x 0
3 1 f 2 3 ( x x ) ( x x ) 0 0 3 3! x 0 0 1 4 f 4 ( x x ) （a ） 0 4 4! x 0