安徽省黄山市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题含解析

安徽省黄山市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜0
B ．﹣1＜x ＜1或x ＞2
C ．x ＞﹣1
D ．x ＜﹣1或1＜x ＜2 2．12233499100
++++++++L 的整数部分是( ) A ．3
B ．5
C ．9
D ．6 3．如图，平面直角坐标中，点A （1，2），将AO 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点B 恰好落在双曲线y=（x>0）上，则k 的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
4．在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（ ）
A ．20
B ．25
C ．30
D ．35
5．如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-的值为（）
A ．7-
B ．3-
C ．7
D ．3
7．已知方程组2728x y x y +=⎧⎨
+=⎩，那么x+y 的值（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．5
8．如图所示，有一条线段是ABC ∆（AB AC >）的中线，该线段是（ ）.
A ．线段GH
B ．线段AD
C ．线段AE
D ．线段AF
9．超市店庆促销，某种书包原价每个x 元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（ ）
A ．0.8x ﹣10=90
B ．0.08x ﹣10=90
C ．90﹣0.8x=10
D ．x ﹣0.8x ﹣10=90
10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点A 在x 轴正半轴上，OC 是△OAB 的中线，点B 、C 在反比例函数y=2x
（x ＞0）的图象上，则△OAB 的面积等于（ ）
A ．2
B ．3
C ． 4
D ．6
11．如图，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若∠ADE ＝125°，则∠DBC 的度数为（ ）
A ．125°
B ．75°
C ．65°
D ．55°
12．如图，在矩形ABCD 中AB ＝2，BC ＝1，将矩形ABCD 绕顶点B 旋转得到矩形A'BC'D ，点A 恰好落在矩形ABCD 的边CD 上，则AD 扫过的部分（即阴影部分）面积为（ ）
A ．8π
B ．222π
C 23π
D ．6
π 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若不等式组220
x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为11x -<<，则2009()a b +=________. 14．如图，小红作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2，B 2，C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积…，由此可得，第8个正△A 8B 8C 8的面积是_____．
15．有公共顶点A ，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC 交正六边形于点D ，则∠ADE 的度数为（ ）
A ．144°
B ．84°
C ．74°
D ．54°
16．已知一个正数的平方根是3x －2和5x －6，则这个数是_____．
17．如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为_____．
18．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD ，∠A=28°，则∠D=_______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）（1）计算：2201801
()(1)4sin60(π1)2-------o
（2）化简：221a 4a 2a 1a 2a 1a 1
---÷++++
20．（6分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1）、B （4，2）、C （3，4）．
（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1，并写出B 1点的坐标；
（2）画出△ABC 绕原点O 旋转180°后得到的图形△A 2B 2C 2，并写出B 2点的坐标；
（3）在x 轴上求作一点P ，使△PAB 的周长最小，并直接写出点P 的坐标．
21．（6分）如图,矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,8 ,6OA OC ==.
(1)求直线AC 的表达式;
(2)若直线y x b =+与矩形OABC 有公共点，求b 的取值范围;
(3)直线: 10l y kx =+与矩形OABC 没有公共点，直接写出k 的取值范围.
22．（8分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次抽样调查了 个家庭；将图①中的条形图补
充完整；学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是 度；若该社区有家庭有3000
个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？
23．（8分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽16cm
AB=，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
24．（10分）已知BD平分∠ABF，且交AE于点D．
（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．
25．（10分）已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

求证：方程恒有两个不相等的实数根；若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

26．（12分）如图，二次函数23
2(0) 2
y ax x a
=-+≠的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．求抛物线与直线AC的函数解析式；若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．
27．（12分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．求证：DE=AB；以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
y<0时，即x轴下方的部分，
∴自变量x的取值范围分两个部分是−1<x<1或x>2.
故选B.
2．C
【解析】
解：∵
21
+=2﹣1，
23
+
=3﹣2…
99100
+
=﹣99+100，∴原式=2﹣1+3
﹣2+…﹣99+100=﹣1+10=1．故选C．
3．B
【解析】
【分析】
作AC⊥y轴于C，ADx轴，BD⊥y轴，它们相交于D，有A点坐标得到AC=1，OC=1，由于AO绕点A 逆时针旋转90°，点O的对应B点，所以相当是把△AOC绕点A逆时针旋转90°得到△ABD，根据旋转的性质得AD=AC=1，BD=OC=1，原式可得到B点坐标为（2，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【详解】
作AC⊥y轴于C，AD⊥x轴，BD⊥y轴，它们相交于D，如图，∵A点坐标为（1，1），∴AC=1，OC=1．∵AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点，即把△AOC绕点A逆时针旋转90°得到△ABD，
∴AD=AC=1，BD=OC=1，∴B点坐标为（2，1），∴k=2×1=2．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．也考查了坐标与图形变化﹣旋转．
4．B
【解析】
设可贷款总量为y ，存款准备金率为x ，比例常数为k ，则由题意可得：
k y x
=，4007.5%30k =⨯=， ∴30y x
=， ∴当8%x =时，303758%y =
=（亿）， ∵400-375=25，
∴该行可贷款总量减少了25亿.
故选B.
5．A
【解析】
【分析】
观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.
【详解】
左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．
故选A ．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6．D
【解析】
【分析】
由根与系数的关系得出x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝2，将其代入x 1＋x 2−x 1•x 2中即可得出结论．
【详解】
解：∵方程x 2−5x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，
∴x 1＋x 2＝5，x 1•x 2＝2，
∴x 1＋x 2−x 1•x 2＝5−2＝1．
故选D ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出x1＋x2＝5，x1•x2＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
7．D
【解析】
【详解】
解：
27
28
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，
①+②得：3(x+y)=15，
则x+y=5，
故选D
8．B
【解析】
【分析】
根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
【详解】
根据三角形中线的定义知：线段AD是△ABC的中线．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
9．A
【解析】
试题分析：设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可．设某种书包原价每个x元，
可得：0.8x﹣10=90
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
10．B
【解析】
【详解】
作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∴BD∥CE，
∴CE AE AC BD AD AB
==，
∵OC是△OAB的中线，
∴
1
2 CE AE AC
BD AD AB
===，
设CE=x，则BD=2x，
∴C的横坐标为2
x
，B的横坐标为
1
x
，
∴OD=1
x
，OE=
2
x
，
∴DE=OE-OD=2
x
﹣
1
x
=
1
x
，
∴AE=DE=1
x
，
∴OA=OE+AE=213
x x x +=，
∴S△OAB=1
2
O A•BD=
1
2
×
3
2x
x
⨯=1．
故选B.
点睛：本题是反比例函数与几何的综合题，熟知反比例函数的图象上点的特征和相似三角形的判定和性质是解题的关键.
11．D
【解析】
【分析】
延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
【详解】
延长CB，延长CB，
∵AD∥CB,
∴∠1=∠ADE=145，
∴∠DBC=180−∠1=180−125=55.
故答案选：D.
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质.
12．A
【解析】
【分析】
本题首先利用A点恰好落在边CD上，可以求出A´C＝BC´＝1，又因为A´B
△A´BC为等
腰直角三角形，即可以得出∠ABA´、∠DBD´的大小，然后将阴影部分利用切割法分为两个部分来求，即面积ADA´和面积DA´D´
【详解】
先连接BD,首先求得正方形ABCD
1，由分析可以求出∠ABA´＝∠DBD´＝45°，即可
以求得扇形ABA´
的面积为
2
451
18024
＝
ππ
⨯
⨯，扇形BDD´
的面积为
2
4513
18028
ππ
⨯
⨯＝，面积
ADA´＝面积ABCD－面积A´BC－扇形面积ABA´
11
11
2424
ππ
⨯⨯－－；面积DA´D´＝扇
形面积BDD´－面积DBA´－面积BA´D´
＝
)
31131
111
82282
ππ
⨯⨯
－－＝－，阴影部分面
积＝面积DA´D´+面积ADA´＝
8
π
【点睛】
熟练掌握面积的切割法和一些基本图形的面积的求法是本题解题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．-1
【解析】
分析：解出不等式组的解集，与已知解集-1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案．
详解：由不等式得x＞a+2，x＜1
2
b，
∵-1＜x＜1，
∴a+2=-1，1
2
b=1
∴a=-3，b=2，
∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．
故答案为-1．
点睛：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
14
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质，先求出正△A 2B 2C 2，正△A 3B 3C 3的面积，依此类推△A n B n C n 的面积是，从而求出第8个正△A 8B 8C 8的面积．
【详解】
正△A 1B 1C 1 而△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是，则正△A 2B 2C 2×14
；
因而正△A 3B 3C 3与正△A 2B 2C 2的面积的比也是14，面积是4
×（14）2；
依此类推△A n B n C n 与△A n-1B n-1C n-1的面积的比是
14，第n 个三角形的面积是4（14）n-1．
所以第8个正△A 8B 8C 8（14）7
【点睛】 本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键． 15．B
【解析】
正五边形的内角是∠ABC=()521805
-⨯=108°，∵AB=BC ，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E=()621806
-⨯=120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B ．
16．1
【解析】
【详解】
试题解析:根据题意，得：32560,x x -+-=
解得：1,x =
321,56 1.x x ∴-=-=-
()21 1.±=
故答案为1
【点睛】
：一个正数有2个平方根，它们互为相反数.
17．
【解析】
【分析】
过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，【详解】
解：连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴»¼''
=
AN A N
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，
∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=
即PA+PB的最小值
【点睛】
本题考查轴对称求最小值问题及解直角三角形，根据轴对称的性质准确作图是本题的解题关键. 18．34°
【解析】
分析：首先根据垂径定理得出∠BOD的度数，然后根据三角形内角和定理得出∠D的度数．
详解：∵直径AB⊥弦CD，∴∠BOD=2∠A=56°，∴∠D=90°－56°=34°．
点睛：本题主要考查的是圆的垂径定理，属于基础题型．求出∠BOD的度数是解题的关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）2-；（2）-1；
【解析】
【分析】
（1）根据负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以解答本题．
【详解】
（1）2201801
()(1)460(1)2sin o π-------
41412=--⨯
-
=411--
=2-（2）2214a 21211
a a a a a ---÷++++ =()()222111(1)2
a a a a a a +-+-⋅++- =
1211
a a a +-++ =121a a --+ =()
11a a -++
=-1
【点睛】
本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：(1)、根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；
(2)、根据网格结构找出点A 、B 、C 关于原点的对称点A 2、B 2、C 2的位置，然后顺次连接即可；(3)、找出点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B 与x 轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P 的位置，然后连接AP 、BP 并根据图象写出点P 的坐标即可．
试题解析：(1)、△A 1B 1C 1如图所示；B 1点的坐标（-4,2）
(2)、△A 2B 2C 2如图所示；B 2点的坐标:（-4，-2）
(3)、△PAB 如图所示，P （2，0）．
考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、轴对称-最短路线问题；(3)、作图-平移变换．
21．（1）364
y x =-
+；（2）86b -≤≤；（3）12k >- 【解析】
【分析】
（1）由条件可求得A 、C 的坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的表达式；
（2）结合图形，当直线平移到过C 、A 时与矩形有一个公共点，则可求得b 的取值范围；
（3）由题意可知直线l 过（0，10），结合图象可知当直线过B 点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得k 的取值范围．
【详解】
解:
(1) 8 , 6OA OC ==Q ()()8,0 , 0,6A C ∴，
设直线AC 表达式为y kx b =+,
806k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得346
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 表达式为364
y x =-+; (2) Q 直线 y x b =+可以看到是由直线y x =平移得到,
∴当直线 y x b =+过A C 、时，直线与矩形OABC 有一个公共点,如图1，
当过点A 时,代入可得08b =+,解得8b =-.
当过点C 时,可得6b =
∴直线 y x b =+与矩形OABC 有公共点时，b 的取值范围为86b -≤≤;
(3) 10y kx =+Q ,
∴直线l 过()0, 10D ，且()8, 6B ,
如图2，直线l 绕点D 旋转,当直线过点B 时,与矩形OABC 有一个公共点,逆时针旋转到与y 轴重合时与矩形OABC 有公共点,
当过点B 时,代入可得6810k =+,解得12
k =- ∴直线l :10y kx =+与矩形OABC 没有公共点时k 的取值范围为1
2k >-
【点睛】
本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形OABC 有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
22． (1)200；(2)见解析；(3)36；(4)该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．
【解析】
【分析】
（1）根据1.5～2小时的圆心角度数求出1.5～2小时所占的百分比，再用1.5～2小时的人数除以所占的百分比，即可得出本次抽样调查的总家庭数；
（2）用抽查的总人数乘以学习0.5-1小时的家庭所占的百分比求出学习0.5-1小时的家庭数，再用总人数减去其它家庭数，求出学习2-2.5小时的家庭数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以学习时间在2～2.5小时所占的百分比，即可求出学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；
（4）用该社区所有家庭数乘以学习时间不少于1小时的家庭数所占的百分比即可得出答案．
【详解】
解：(1)本次抽样调查的家庭数是：30÷54360＝200(个)； 故答案为200；
(2)学习0.5﹣1小时的家庭数有：200×108360
＝60(个)， 学习2﹣2.5小时的家庭数有：200﹣60﹣90﹣30＝20(个)，
补图如下：
(3)学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360×
20200＝36°； 故答案为36；
(4)根据题意得：
3000×903020200
++＝2100(个)． 答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
23．这个圆形截面的半径为10cm.
【解析】
分析：先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算．
解答：解：如图，OE ⊥AB 交AB 于点D ，
则DE=4，AB=16，AD=8，
设半径为R，
∴OD=OE-DE=R-4，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
即R2=82+（R-4）2，
解得，R=10cm．
24．(1)见解析：(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP即可；
（2）先证明△ABO≌△CBO，得到AO=CO，AB=CB，再证明△ABO≌△ADO，得到BO=DO．由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形．试题解析：（1）如图所示：
（2）如图：
在△ABO和△CBO中，∵∠ABO=∠CBO，OB=OB，∠ AOB=∠COB=90°，∴△ABO≌△CBO（ASA），∴AO=CO，AB=CB．在△ABO和△ADO中，∵∠OAB=∠OAD，OA=OA，∠AOB=∠AOD=90°，
∴△ABO≌△ADO（ASA），∴BO=DO．∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CB，∴平行四边形ABCD是菱形．
考点：1．菱形的判定；2．作图—基本作图．
25．（1）见详解；（2）410或4＋22
【解析】
【分析】
（1）根据关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0的根的判别式的符号来证明结论.
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.
【详解】
解：（1）证明：∵△=（m ＋2）2－4（2m －1）=（m －2）2＋4，
∴在实数范围内，m 无论取何值，（m －2）2+4≥4＞0，即△＞0.
∴关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0恒有两个不相等的实数根.
（2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m ＋2）＋（2m －1）=0，解得，m=2，
则方程的另一根为：m ＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3，该直角三角形的周长为1＋3
=4.
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则
该直角三角形的周长为1＋3＋＋
26．（1）122y x =
+（1）S=﹣m 1﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，1）、，﹣1）、，﹣1）
【解析】
【分析】
（1）把点A 的坐标代入抛物线的解析式，就可求得抛物线的解析式，根据A ，C 两点的坐标，可求得直线AC 的函数解析式；
（1）先过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，运用割补法即可得到：四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，据此列式计算化简就可求得S 关于m 的函数关系；
（3）由于AC 确定，可分AC 是平行四边形的边和对角线两种情况讨论，得到点E 与点C 的纵坐标之间的关系，然后代入抛物线的解析式，就可得到满足条件的所有点E 的坐标．
【详解】
（1）∵A （﹣4，0）在二次函数y=ax 1﹣
32x+1（a≠0）的图象上， ∴0=16a+6+1，
解得a=﹣12
，
∴抛物线的函数解析式为y=﹣
12
x 1﹣32x+1； ∴点C 的坐标为（0，1）， 设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则
04{2k b b
=-+=， 解得1{22
k b ==，
∴直线AC 的函数解析式为：122
y x =+； （1）∵点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D （m ，﹣12
m 1﹣32m+1）， 过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则DH=﹣
12m 1﹣32m+1，AH=m+4，HO=﹣m ， ∵四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，
∴S=12（m+4）×（﹣12m 1﹣32m+1）+12（﹣12
m 1﹣32m+1+1）×（﹣m ）， 化简，得S=﹣m 1﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）；
（3）①若AC 为平行四边形的一边，则C 、E 到AF 的距离相等，
∴|y E |=|y C |=1，
∴y E =±1．
当y E =1时，解方程﹣
12x 1﹣32x+1=1得， x 1=0，x 1=﹣3，
∴点E 的坐标为（﹣3，1）；
当y E =﹣1时，解方程﹣12
x 1﹣32x+1=﹣1得， x 1
=32--，x 1
=32
-+， ∴点E
的坐标为（
32--，﹣1
）或（32-+，﹣1）； ②若AC 为平行四边形的一条对角线，则CE ∥AF ，
∴y E=y C=1，
∴点E的坐标为（﹣3，1）．
综上所述，满足条件的点E的坐标为（﹣3，1）、（
341
2
--
，﹣1）、（
341
2
-+
，﹣1）．
27．（1）详见解析；（2）.
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°,AB=CD,BC=AD，AD∥BC, ∴∠EAD=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
在△ADE和△FAB中，∴△ADE≌△FAB(AAS)，
∴AE=BF=1
∵BF=FC=1
∴BC=AD=2
故在Rt△ADE中，∠ADE=30°,DE=,
∴的长==.。