2023-2024学年浙江省绍兴市上虞中学高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省绍兴市上虞中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题只有一项是正确的）
1．设集合U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，5），B ＝{2，3，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{3}
B ．{2，4}
C ．{0，2，4}
D ．{0，2，3，4}
2．若幂函数f （x ）＝x α的图象经过点(3，√3)，则α的值为（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．1
2
D ．−1
2
3．函数y =√2x −11
√1−x
的定义域为（ ） A ．[0，1）
B ．（﹣∞，1）
C ．（0，1]
D ．（1，2）
4．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于∀x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．(0，12
)
C ．（﹣1，0）
D ．(−
√2
2
，0)
5．函数f(x)=
2x
x 2−1
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．已知函数f （x ）={|2x −1|，x ＜2
3x−1
，x ＞2
，若方程f （x ）﹣a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围
为（ ） A ．（0，1）
B ．（0，2）
C ．（0，3）
D ．（1，3）
7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，定义在R 上的偶函数g （x ）在（﹣∞，0]上单调递增，且f （1）＝g （1）＝0，则满足f （x ）g （x ）＞0的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B ．（0，1）∪（1，+∞）
C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）
8．已知m ∈R ，函数f （x ）＝|
x+3x−1
−m |+m 在[2，5]上的最大值是5，则m 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，7
2
]
B ．（−∞，5
2]
C ．[2，5]
D ．[2，+∞）
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．以下满足{0，2，4}⊆A ⫋{0，1，2，3，4}，则A ＝（ ） A ．{0，2，4}
B ．{0，1，3，4}
C ．{0，1，2，4}
D ．{0，1，2，3，4}
10．下列命题正确的有（ ） A ．∀x ∈R ，√x 2=x
B ．不等式x 2﹣4x +5＞0的解集为R
C ．x ＞1是x ＞0的充分不必要条件
D ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2+x +1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0 11．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 的最大值为1
4
B ．4x 2+y 2的最小值为1
2
C ．3x （x +2y ）的最大值为1
D ．y x
+1
y
的最小值为3+2√2
12．已知函数f （x ）＝a x （0＜a ＜1），g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），对任意x 1≠x 2，则（ ） A ．f （x 1）f （x 2）＝f （x 1x 2）
B ．g （x ）+g （﹣x ）＝0
C ．x 1g （x 1）+x 2g （x 2）＜x 1g （x 2）+x 2g （x 1）
D ．g(−t 2+t −1)≥−g(3
4
)(t ∈R)
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣3）x +3，x ∈[a 2﹣2，a ]是偶函数，则a +b ＝ ． 14．函数f(x)=(1
2)|x−1|的单调递减区间为 ，值域为 ．
15．已知函数f(x)={(5−a)x −a +1，x ＜1a x ，x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
16．已知函数f （x ）＝x 2+（1﹣2a ）x +a 2，若关于x 的不等式f （f （x ））≥0恒成立．则实数a 的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 17．（8分）设集合A ＝{x |﹣1＜x ＜a }，B ＝{x |x 2+x ﹣6＜0}，全集U ＝R ． （1）若a ＝4，求A ∩B ；
（2）若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．
18．（8分）（1）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x 1
﹣3m
在（0，+∞）递增，求实数m 的值．
（2）化简求值(827)23×(181)−0.5−√4−2√32−3
．
19．（8分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym ．
（Ⅰ）若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？ （Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m ，求1
x
+2
y 的最小值．
20．（10分）已知函数y ＝a x
（a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=a x
a x +2
．
（1）求a 的值及函数f （x ）的值域； （2）证明：f （x ）+f （1﹣x ）为定值；并求f(
1201)+f(2201)+⋯+f(200201
)的值． 21．（10分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 、y ∈R 都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0．
（1）求f （0）的值，并证明：f （x ）为奇函数； （2）证明：函数f （x ）在R 上单调递增；
（3）若f （k •2x ）+f （4x +1﹣8x ﹣2x ）＞0对任意x ∈[﹣1，2]恒成立，求实数k 的取值范围． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+（x ﹣1）|x ﹣a |． （1）若a ＝﹣1，解方程f （x ）＝1；
（2）若函数f （x ）在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x ﹣3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
2023-2024学年浙江省绍兴市上虞中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题只有一项是正确的）
1．设集合U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，5），B ＝{2，3，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{3}
B ．{2，4}
C ．{0，2，4}
D ．{0，2，3，4}
解：∵U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，5}， ∴∁U A ＝{0，2，4}， ∵B ＝{2，3，4}， ∴（∁U A ）∩B ＝{2，4}． 故选：B ．
2．若幂函数f （x ）＝x α的图象经过点(3，√3)，则α的值为（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．1
2
D ．−1
2
解：∵幂函数f （x ）＝x α的图象经过点(3，√3)，∴3α=√3，∴α=1
2， 故选：C ． 3．函数y =√2x −11
1−x
的定义域为（ ） A ．[0，1） B ．（﹣∞，1）
C ．（0，1]
D ．（1，2）
解：y =
√2x
−11
√1−x 的定义域满足{2x
−1≥01−x ＞0
，解得0≤x ＜1．
故选：A ．
4．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于∀x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1）
B ．(0，1
2
)
C ．（﹣1，0）
D ．(−
√2
2
，0)
解：因为对于∀x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0成立，
所以{Δ=m 2+4＞0
f(m)=m 2+m 2−1＜0
f(m +1)=(m +1)2+m(m +1)−1＜0
，解得−√2
2＜m ＜0，
所以实数m 的取值范围是(−√2
2，0)． 故选：D ． 5．函数f(x)=
2x
x 2−1
的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．解：由题可得函数f（x）定义域为{x|x≠±1}，
且f（﹣x）=−2x
x2−1
=−f（x），
故函数为奇函数，故排除BD，
由f（2）=4
3
＞0，f（
1
2
）=
1
−3
4
=−
4
3
，故C错误，
故选：A．
6．已知函数f（x）={|2x−1|，x＜2
3
x−1
，x＞2
，若方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围
为（）
A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（1，3）
解：画出函数f（x）的图象，如图示：
，
方程f（x）﹣a＝0有三个不同的实数根，
即y＝f（x）和y＝a的图象有3个不同的交点，
结合图象：0＜a＜1，
故选：A．
7．已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，定义在R上的偶函数g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（1）＝g（1）＝0，则满足f（x）g（x）＞0的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（0，1）∪（1，+∞）
C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）
解：因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，，又f （1）＝0，则当x ＜﹣1或0＜x ＜1时，f （x ）＞0，当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，f （x ）＜0，
又因为g （x ）是定义在R 上的偶函数，且g （1）＝0，则当x ＜﹣1或x ＞1时，g （x ）＜0，当﹣1＜x ＜1时，g （x ）＞0，
则当f （x ）g （x ）＞0时，0＜x ＜1或x ＞1， 故选：B ．
8．已知m ∈R ，函数f （x ）＝|x+3x−1
−m |+m 在[2，5]上的最大值是5，则m 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，7
2]
B ．（−∞，5
2]
C ．[2，5]
D ．[2，+∞）
解：由x ∈[2，5]，x+3x−1
=1+
4
x−1
∈[2，5]， 若m ≤2则f （x ）=x+3
x−1的最大值为5，符合题意；
当2＜m ≤5时，f （x ）的最大值为f （2）与f （5）中较大的， 由f （2）＝f （5），即|5﹣m |+m ＝|2﹣m |+m ，解得m =72
， 显然2＜m ≤7
2
时，f （x ）的最大值为5， m ＞7
2时，f （x ）的最大值不为定值．
综上可得m ≤7
2时，f （x ）在[2，5]上的最大值是5， 故选：A ．
二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．以下满足{0，2，4}⊆A ⫋{0，1，2，3，4}，则A ＝（ ） A ．{0，2，4}
B ．{0，1，3，4}
C ．{0，1，2，4}
D ．{0，1，2，3，4}
解：A 可以为{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，2，4}． 故选：AC ．
10．下列命题正确的有（ ） A ．∀x ∈R ，√x 2=x
B ．不等式x 2﹣4x +5＞0的解集为R
C ．x ＞1是x ＞0的充分不必要条件
D ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2+x +1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0
解：当x ＝﹣1时，√x 2=1，所以∀x ∈R ，√x 2=x 是假命题，A 错误；
因为x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1＞0恒成立，则不等式 x 2﹣4x +5＞0的解集为R ，B 正确；
因为x ＞1，则x ＞0，又当x ＝0.5时，x ＞0，但x ＜1，所以由x ＞0不能推出x ＞1，所以x ＞1是x ＞0的充分不必要条件，C 正确；
若命题p ：∃x ∈R ，x 2+x +1＜0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0，D 正确． 故选：BCD ．
11．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 的最大值为1
4
B ．4x 2+y 2的最小值为1
2
C ．3x （x +2y ）的最大值为1
D ．y x
+1
y
的最小值为3+2√2
解：对于A 选项，由基本不等式得1=2x +y ≥2√2xy ，解得2xy ≤14
，当且仅当y ＝2x 且2x +y ＝1，即x =1
4，y =1
2时，2xy 的最大值为1
4
，A 正确；
对于B 选项，4x 2+y 2=(2x +y)2−4xy =1−4xy ≥1−2×14=12，当且仅当x =14，y =1
2时，4x 2+y 2的最小值为1
2，B 正确；
对于C 选项，3x(x +2y)≤[
3x+(x+2y)2]2=(2x +y)2=1，当且仅当3x ＝x +2y ，即x =y =1
3
时等号成立，所以3x （x +2y ）的最大值为1，C 正确； 对于D 选项，y
x +
1y
=
y x
+
2x+y y
=
y x
+
2x y
+1≥2√y x
⋅
2x
y
+1=2√2+1，当且仅当y x
=
2x y
，y =
√2x ，即x =
2−√2
2，y =√2−1时等号成立，故y x +1y
的最小值为2√2+1，D 错误． 故选：ABC ．
12．已知函数f （x ）＝a x （0＜a ＜1），g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），对任意x 1≠x 2，则（ ） A ．f （x 1）f （x 2）＝f （x 1x 2）
B ．g （x ）+g （﹣x ）＝0
C ．x 1g （x 1）+x 2g （x 2）＜x 1g （x 2）+x 2g （x 1）
D ．g(−t 2+t −1)≥−g(3
4)(t ∈R)
解：对于选项A ：f （x 1）f （x 2）=a x 1⋅a x 2=a x 1+x 2=f （x 1+x 2），故选项A 错误， 对于选项B ：g （x ）的定义域为R ，且g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣f （x ）＝﹣g （x ）， ∴g （x ）为R 上的奇函数，∴g （x ）+g （﹣x ）＝0，故选项B 正确， 对于选项C ：∵g （x ）＝a x ﹣a ﹣
x （0＜a ＜1），∴g （x ）在R 上单调递减，
∴设x 1＜x 2，则g （x 1）＞g （x 2）， ∴（x 1﹣x 2）[g （x 1）﹣g （x 2）]＜0，
展开整理得x 1g （x 1）+x 2g （x 2）＜x 1g （x 2）+x 2g （x 1），故选项C 正确， 对于选项D ：∵﹣t 2+t ﹣1=−(t −1
2)2−3
4≤−3
4，且g （x ）在R 上单调递减， ∴g （﹣t 2+t ﹣1）≥g （−3
4
），
又∵g （x ）为R 上的奇函数，∴g （−3
4）＝﹣g （3
4
），
∴g （﹣t 2+t ﹣1）≥﹣g （3
4
），故选项D 正确，
故选：BCD ．
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣3）x +3，x ∈[a 2﹣2，a ]是偶函数，则a +b ＝ 4 ． 解：∵函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣3）x +3，x ∈[a 2﹣2，a ]是偶函数 ∴a 2﹣2+a ＝0∴a ＝﹣2或1 ∵a 2﹣2＜a ∴a ＝1
∵偶函数的图象关于y 轴对称， ∴−b−3
2a =0∴b ＝3 ∴a +b ＝4 故答案为：4．
14．函数f(x)=(12
)|x−1|的单调递减区间为 （1，+∞） ，值域为 （0，1] ． 解：根据题意，函数f （x ）的定义域为R ， 设u ＝|x ﹣1|，则y =(1
2
)u ，
则有u ＝|x ﹣1|={x −1，x ≥11−x ，x ＜1
，且u ＝|x ﹣1|≥0，
u 在区间（﹣∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增， y =(1
2)u 为减函数，
∴y =(12)|x−1|在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减； 又由u ＝|x ﹣1|≥0，则有0＜f （x ）≤1，故f （x ）值域为（0，1]． 故答案为：（1，+∞）；（0，1]．
15．已知函数f(x)={(5−a)x −a +1，x ＜1
a x ，x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 [2，5） ．
解：根据题意，函数f(x)={(5−a)x −a +1，x ＜1
a x ，x ≥1在R 上单调递增，
则有{5−a ＞0a ＞1
5−a −a +1≤a ，解得2≤a ＜5，
故答案为：[2，5）．
16．已知函数f （x ）＝x 2+（1﹣2a ）x +a 2，若关于x 的不等式f （f （x ））≥0恒成立．则实数a 的取值范围是 [
316
，+∞）
解：函数f （x ）＝x 2+（1﹣2a ）x +a 2， 配方可得f （x ）＝（x +12
−a ）2+a −14
，
由y ＝f （f （x ））是将f （x ）中的x 换为f （x ）得到的函数式， 则x ＝a −1
2也为y ＝f （f （x ））的对称轴，且取得最小值， 则f （f （a −12））≥0，
即为（a −14
+12
−a ）2+a −14
≥0， 解得a ≥
3
16
， 故答案为：[316，+∞）．
四、解答题（本题共6题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 17．（8分）设集合A ＝{x |﹣1＜x ＜a }，B ＝{x |x 2+x ﹣6＜0}，全集U ＝R ． （1）若a ＝4，求A ∩B ；
（2）若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．
解：（1）由B ＝{x |x 2+x ﹣6＜0}得B ＝{x |﹣3＜x ＜2}， 因为a ＝4，所以A ＝{x |﹣1＜x ＜4}， 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}． （2）因为A ∩B ＝A ，所以A ⊂B ， ①当A ＝∅时，a ≤﹣1； ②当A ≠∅时，即﹣1＜a ≤2， 综上所述，{a |a ≤2}．
18．（8分）（1）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x 1
﹣3m
在（0，+∞）递增，求实数m 的值．
（2）化简求值(827)23×(181)−0.5−√4−2√32−3
．
解：（1）∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣2m ﹣2）x 1﹣3m
在（0，+∞）递增，
∴{m 2−2m −2=1
1−3m ＞0，解得m ＝﹣1． （2）(827)2
3×(1
81)−0.5−√4−2√312−3
=
4
9
×9−√(√3−1)2+2+√3 ＝4−√3+1+2+√3 ＝7．
19．（8分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym ．
（Ⅰ）若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？ （Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m ，求1
x
+2
y 的最小值．
解：（Ⅰ）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ． 又∵x +2y ≥2√2xy =24，
当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．
∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小． （Ⅱ）由已知得x +2y ＝30， 又∵（1
x
+2
y ）•
（x +2y ）＝5+2y x +2x y ≥5+2√2y x ⋅2x
y
=9， ∴1x
+
2y
≥
3
10
，
当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立． ∴1
x
+2
y 的最小值是
310
．
20．（10分）已知函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=a x
a x +2． （1）求a 的值及函数f （x ）的值域；
（2）证明：f（x）+f（1﹣x）为定值；并求f(
1
201
)+f(
2
201
)+⋯+f(
200
201
)的值．
解：（1）由题意有a+a2＝20，解得a＝4或a＝﹣5（舍去），
则f(x)=
4x
4x+2
=1−
2
4x+2
，
∵4x＞0，∴4x+2＞2，0＜1
4x+2＜1
2
，0＜
2
4x+2
＜1，
∴0＜f（x）＜1，函数f（x）的值域为（0，1）．
证明：（2）f(x)+f(1−x)=
4x
4x+2
+
41−x
41−x+2
=
4x
4x+2
+
4
4+2×4x
=
4x
4x+2
+
2
2+4x
=1，
f(
1
201
)+f(
2
201
)+⋯+f(
200
201
)
=[f(
1
201
)+f(
200
201
)]+[f(
2
201
)+f(
198
201
)]+⋯+[f(
100
201
)+f(
101
201
)]=1×100＝100．
21．（10分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x、y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值，并证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：函数f（x）在R上单调递增；
（3）若f（k•2x）+f（4x+1﹣8x﹣2x）＞0对任意x∈[﹣1，2]恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1）令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0），
所以f（0）＝0．
因为函数f（x）的定义域为R，
在等式f（x+y）＝f（x）+f（y）中，令y＝﹣x，有f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数．
（2）令x＝x1，y＝﹣x2，
则f（x1﹣x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2），
设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，f（x1﹣x2）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在R上单调递增．
（3）因为f（k•2x）+f（4x+1﹣8x﹣2x）＞0，
所以f（k•2x）＞﹣f（4x+1﹣8x﹣2x）＝f（8x+2x﹣4x+1），
又函数f（x）在R上单调递增，
所以k•2x＞8x+2x﹣4x+1，则k＞4x+1﹣4•2x，
令t ＝2x ，则t ∈[12，4]，于是4x +1﹣4•2x ＝t 2﹣4t +1＝（t ﹣2）2﹣3≤1，当且仅当t ＝4时，y ＝（t ﹣2）2﹣3取最大值1，
所以实数k 的取值范围为（1，+∞）．
22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+（x ﹣1）|x ﹣a |．
（1）若a ＝﹣1，解方程f （x ）＝1；
（2）若函数f （x ）在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）若a ＜1且不等式f （x ）≥2x ﹣3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
解：（1）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+（x ﹣1）|x +1|，
故有f(x)={2x 2−1，x ≥−11，x ＜−1
， 当x ≥﹣1时，由f （x ）＝1，有2x 2﹣1＝1，解得x ＝1或x ＝﹣1．
当x ＜﹣1时，f （x ）＝1恒成立．
∴方程的解集为{x |x ≤﹣1或x ＝1}；
（2）f(x)={2x 2−(a +1)x +a ，x ≥a
(a +1)x −a ，x ＜a ，
若f （x ）在R 上单调递增，则有{a+14≤a a +1＞0
，解得a ≥13．
∴当a ≥13时，f （x ）在R 上单调递增；
（3）设g （x ）＝f （x ）﹣（2x ﹣3），则g(x)={2x 2−(a +3)x +a +3，x ≥a (a −1)x −a +3，x ＜a
， 不等式f （x ）≥2x ﹣3对一切实数x ∈R 恒成立，等价于不等式g （x ）≥0对一切实数x ∈R 恒成立． ∵a ＜1，
∴当x ∈（﹣∞，a ）时，g （x ）单调递减，其值域为（a 2﹣2a +3，+∞），
由于a 2﹣2a +3＝（a ﹣1）2+2≥2，
∴g （x ）≥0成立．
当x ∈[a ，+∞）时，由a ＜1，知a ＜a+34，g （x ）在x =a+34处取得最小值，
令g(a+34)=a +3−(a+3)28≥0，解得﹣3≤a ≤5， 又a ＜1，∴﹣3≤a ＜1．
综上，a ∈[﹣3，1）．。