【全国百强校】辽宁省实验中学2016届高三第四次模拟文数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{2|,|02x A x y B x x +⎧⎫===≤⎨⎬-⎩⎭,则A B =（ ） A ．[]1,1- B ．[]2,1-- C ．[)1,2 D ．[)1,2-
【答案】B
【解析】
试题分析：(][)[)[],12,,2,2,2,1A B A B =-∞-⋃+∞=-⋂=--.
考点：一元二次不等式、分式不等式、集合交集．
【易错点晴】定义域是被开方数不小于零，分式不等式要注意分母不为零. 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.
2.“1m >” 是“函数()()2log 1f x m x x =+≥不存在零点” 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
【答案】A
考点：充要条件．
3.已知i 为虚数单位,a R ∈, 若2i a i
-+为纯虚数, 则复数2z a =的模等于（ ）
A B C D
【答案】C
【解析】
试题分析：()()()()22221(2)1,210,12
i a i i a a i a a a i a i a i a -----+==-==++-+
，1z =+. 考点：复数的概念．
4.已知函数()()212
log 2218,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦,若()f x 在[),a +∞上为减函数, 则a 的取
值范围为（ ）
A ．(],2-∞
B ．4,23⎛⎤-
⎥⎝⎦ C ．(],1-∞ D ．4,13⎛⎤-
⎥⎝⎦
【答案】D 考点：函数的单调性． 5.()()312,1,1,2,,55A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,动点(),P a b 满足02OP OA ≤≤,且02OP OB ≤≤，则动点P 到点C 的距离大于
14的概率为（ ） A ．5164π- B ．564π C ．116π- D ．16
π 【答案】A
【解析】
试题分析：依题意有022022
a b a b ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
14>，即以31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径为14的圆外.画出可行域如下图所示，圆外面积为4516π-，故概率为4551614645ππ-=-.
考点：几何概型．
6.已知某几体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形半圆构成, 府视图由圆与 内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）
A 12+
B ．4136π+
C 16
D ．2132
π+ 【答案】C
考点：三视图．
7.已知7tan 2,,666πππαα⎛⎫⎡⎤-=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
,则2sin cos 222ααα-=（ ）
A ．
B ．
C 【答案】C
考点：三角函数恒等变换．
8. 如图所示的茎叶图(图-) 为高三某班50名学生的化学考试成绩, (图二)的算法框图中输入的1a 为茎叶图中如图所示学生成绩, 则输出,m n 分别是（ ）
A ．38,12m n ==
B ．26,12m n ==
C ．12,12m n ==
D ．24,10m n ==
【答案】B
【解析】
试题分析：有程序框图可知m 为小于80且大于等于60的数量，一共有26，n 为大于等于80的数量，一共有12.
考点：算法与程序框图．
9.已知点()0,1A ,曲线:ln C y a x =恒过定点,B P 曲线C 上的动点且AP AB 的最小值为2,则实 数a =（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．1
【答案】D
考点：函数与导数．
10.已知正项数列{}n a 的前n 和为n S , 若{}n a 和
都是等差数列, 且公差相等, 则6a = （ ）
A ．114
B ．32
C ．72
D ．1 【答案】A
【解析】
试题分析：()111n a a n d dn a d =+-=+-=
==
d =，110,22d a d a -
==，解得1611111,,5424
a d a a d ===+=. 考点：等差数列的基本概念． 11.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两顶点为12,A A ,虚轴两端点为12,B B ,两焦点为12,F F , 若以12,A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,则双曲线的离心率为（ ）
A B C D 【答案】A
考点：双曲线离心率．
【思路点晴】由于“以12,A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,”故圆的半径为a ，菱形的对角线相互垂直
平分，故可以计算其中一个直角三角形的面积，由此建立方程12bc a =，两边平方并消去b 可
以得到422430c a c a -+=，两边除以4a ，得43310e e -+=，然后第一步只能求出2e =
方可得e =. 12.设函数()()()333,2x x f x e x x ae x x =-+--≥-,若不等式()0f x ≤有解, 则实数a 的最小 值为（ ）
A ．21e -
B ．22e -
C ．212e +
D ．11e - 【答案】D
【解析】
试题分析：()()()3330,2x x f x e x x ae x x =-+--≤≥-有解，分离参数得()333x x e x x x
a e -+-≥，令
()()333x x e x x x
F x e -+-=，令()'0F x =，解得1x =，故()()1111e F x F e e
-≥=--.
考点：函数导数与不等式．
【思路点晴】()()()3330,2x x f x e x x ae x x =-+--≤≥-有解，分离参数得()333x x e x x x
a e -+-≥，
令()()333x x e x x x
F x e -+-=，利用导数可以求得函数()F x 的单调区间、极值和最值.由此求得
()()1111e F x F e e
-≥=--.恒成立问题往往有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接讨论法，但是直接讨论往往比较复杂.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.若正实数,x y 满足115x y x y
++
+=,则x y +的最大值是 ． 【答案】4
考点：基本不等式．
14.已知实数,,,a b c d 成等比数列, 对于函数ln y x x =-,当x b =时取到极大值c ,则
ad = ．
【答案】1-
【解析】
试题分析：'111x y x x
-=-=，故1,1b c ==-，,1,1,a d -，1ad =-. 考点：数列、导数与极值．
15.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯,所以36的所有正约数之和为
()()()()()22222222133223232232312213391++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=,参照上述方法, 可求得100的所有正约数之和为 ．
【答案】217
【解析】
试题分析：2210025=⋅，故正约数之和为()()2
2
122155217++++=. 考点：合情推理与演绎推理．
【思路点晴】合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类.
16.若对(][]120,2,1,2x x ∀∈∃∈,使22111121214ln 348160x x x x x ax x x -+++-≥成立, 则实数a 的 取值范围 ． 【答案】1
,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
考点：函数导数与不等式．
【思路点晴】恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）已知()f x a b =,其中()()2cos ,3sin 2,cos ,1,a x x b x x R =-=∈.
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()1,f A a =-=,且向量()3,sin m B =与 ()2,sin n C =共线, 求边长b 与c 的值.
【答案】（1）()2,36k k k Z ππππ⎡
⎤--∈⎢⎥⎣⎦
；（2）3,12b c ==.
（2）()12cos 21,cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,又72,23333A A πππππ<+<∴+=, 即3A π
=.7a =,由余弦定理得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-.因为向量()3,sin m B =与()2,sin n C =共线, 所以2sin 3sin B C =,由正弦定理得323,,12
b c b c =∴==. 考点：三角函数恒等变形、解三角形．
18.（本小题满分12分）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考察项目, 分别记：①②③ ④⑤.
（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示), 并打算从恰有2项成绩不合格 的学员中任意抽出2人进行䃼测(只测不合格的项目), 求䃼测项目种类不超过3项的概率；
（2）如图,其次模拟演练中, 教练要求学员甲倒车并转向90,在汽车边缘不压射线AC 与射线BD 的前提 下, 将汽车驶入指定的停车位, 根据经验学员甲转向90后可使车尾边缘完全落在线段CD ,且位于CD 内各处的机会相等, 若0.3, 2.4CA BD m AB m ===,汽车宽度为1.8m ,求学员甲能按教练要求完成任 务的概率.
【答案】（1）35；（2）12.
由表可知, 全部10种可能的情况中, 有6种情况补测项数不超过3,由古典概型可知, 所求概率为63105
=. （2）在线段CD 上取两点','B D ,使'' 1.8BB DD m ==,记汽车尾部左端点为M ，则当M 位于线段'AB 上时，学员甲可按教练要求完成任务，而学员甲可以使点M 等可能地出现在线段'CD 上, 据几何概型, 所求概率' 2.4 1.80.61' 2.420.3 1.8 1.22
AB P CD -====+⨯-. 考点：古典概型、几何概型．
19.（本小题满分12分）如图, 直三棱柱111ABC A B C -中,1290,,5ACB AC BC AA D ∠===
是 棱1AA 上的点, 且114
AD DA =. （1）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；
（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分, 求这两部分体积的比.
【答案】（1）证明见解析；（2）3:2或2:3.
考点：空间立体几何．
20.（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆22
143
x y +=的左、右焦点, 曲线C 是以坐标原点为 顶点, 以2F 为焦点的抛物线, 自点1F 引直线交曲线C 于,P Q 两个不同的点, 点P 关于x 轴对称的点记 为M ,设11
F P FQ λ=. （1）写出曲线C 的方程；
（2）若22F M F Q μ=,试用λ表示μ；
（3）若2,3λ∈,求PQ 的取值范围.
【答案】（1）24y x =；（2）μλ=-；（3.
(3) 由（1）（2）知
22121212121,16,0,4x x y y y y y y =∴=>∴=,
()()()222
22221212121212122PQ x x y y x x y y x x y y ∴=-+-=+++-+222211111410412216λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+++-=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
又211017716,523,2349
PQ λλλ≤≤≤⨯∴≤≤∴+≤,考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【方法点晴】圆锥曲线常用思想方法和技巧有：（1）设而不求；（2）坐标法；（3）根与系数关系.若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式
MN ＝或MN ＝技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系.
21.（本小题满分12分）已知函数()3( 2.71828 (x)
f x e a e =+=是自然对数的底)的最小值为3. （1）求实数a 的值；
（2）已知b R ∈且0x <,试解关于x 的不等式：()()22
ln ln 3213f x x b x b -<+--； （3）已知m Z ∈且1m >,若存在实数[)1,t ∈-+∞,使得对任意的[]1,x m ∈,都有()3f x t ex +≤,试求实 数m 的最大值.
【答案】（1）0a =；（2）证明见解析；（3）3.
(3) 当[)1,t ∈-+∞ 且[]1,x m ∈时,()10,31ln x x t f x t ex e ex t x x ++≥∴+≤⇔≤⇔≤+-,∴原命题等价转化为﹕存在实数[)1,t ∈-+∞,使得不等式1ln t x x ≤+-,对任意[]1,x m ∈恒成立, 令
()[]()1ln 1,h x x x x m =+-∈,()1'10,h x x
=-≤∴函数()h x 在[]1,x m ∈为减函数.()()()min 1ln ,1h x h m m m m ∴==+->,∴ 要使得对[]1,,x m t ∈值恒存在, 只须1ln 1m m +-≥-.
()()21311413ln 32ln ln 1,4ln 43ln ln 1h h e e e e e e ⎛⎫⎛⎫=-=>=-=-=<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,且函数()h x 在()1,+∞为减函数, 所以满足条件的最大整数m 的值为3.
考点：函数导数与不等式．
【方法点晴】含参数的不等式()()f x g x >恒成立、有解、无解的处理方法：①()y f x =的图象和()y g x =图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造()()()F x f x g x =-，转化为()F x 的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为()a h x >，或()a h x <，进而转化为求函数()h x 的最值. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图, 圆O 的半径OB 垂直于直径,AC M 为AO 上一点,BM 的延长线交圆O 于N ,过N 点的切线交 CA 的延长线于P .
（1）求证：2PM PA PC =；
（2）若圆O 的半径为OA =,求MN 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
考点：几何证明选讲．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线112:(x t l t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数), 曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数).
（1）设l 与1C 相交于,A B 两点, 求AB ；
（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12
倍,
倍, 得到2C ,设点P 是曲 线2C 上的一个动点, 求它到直线l 的距离的最小值.
【答案】（1）1；（2
)
1
-.
考点：坐标系与参数方程．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()21f x x =-.
（1）求不等式()4f x <；
（2）若函数()()()1g x f x f x =+-的最小值a ,且()0,0m n a m n +=>>,求2221m n m n
+++的取值范 围.
【答案】（1）35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）⎫+∞⎪⎪⎭.
（2）由条件得()()212321232g x x x x x =-+-≥---=,当且仅当13,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, 其最小值2a =,
即2m n +=,又()(2112112133222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
所以(2221211232m n m n m n m n +++=+++≥++=
故2221m n m n +++的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎭
,此时42m n =-=-. 考点：不等式选讲．
：。