2021中考数学考点综合复习专题 圆 解答题突破含答案

2021中考数学考点综合复习专题
【圆】解答题考点专项拓巩固复习（含解析）
1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．
（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明．
2．如图，点C是⊙O外一点，过点C作⊙O的切线CD，切点为点D，连接CO并延长交⊙O于点B，连接BD并延长与BC的垂线CA交于点A．
（1）求证：CD＝AC；
（2）若EC＝ED，⊙O的半径是3，求AC的长．
3．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
4．如图，已知⊙O上的三点A、B、C，且AB＝AC＝6cm，BC＝10cm
（1）求证：∠AOB＝∠AOC；
（2）求圆片的半径R（结果保留根号）；
（3）若在（2）题中的R的值满足n＜R＜m（其中m、n为正整数），试估算m的最小值和n的最大值．
5．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O 相交于点G、F，且EF平分∠BFD．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若DF＝，求DE的长．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连接FN．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AF＝4，tan∠N＝，求⊙O的半径长．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC 分别交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CE＝4，求弧BD的长．（结果保留π）
8．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积．
9．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
10．如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．
参考答案1．解：（1）连接AB，
∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，
∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴AB＝＝＝3，
∴⊙O的半径为；
（2）AB∥ON，
证明：连接OA、OB、OQ，
∵∠APQ＝∠BPQ，
∴＝，
∴∠AOQ＝∠BOQ，
∵OA＝OB，
∴OQ⊥AB，
∵OP＝OQ，
∴∠OPN＝∠OQP，
∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ＝180°，
∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ＝180°，
∵∠NOP+2∠OPN＝90°，
∴∠NOQ＝90°，
∴NO⊥OQ，
∴AB∥ON．
2．（1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ODC﹣∠BDO＝180﹣90°﹣∠BDO，∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO，
∴∠ADC＝90°﹣∠B，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B，
∴∠ADC＝∠A，
∴CD＝AC；
（2）∵⊙O的半径是3，
∴OD＝OE＝3，
∵∠ODC＝90°，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠DEO＝2∠EDC，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED＝2∠EDC，
∴3∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∴∠ODE＝60°，
∴△EDO是等边三角形，
∴DE＝OE＝3，
∴OC＝2OD＝6，
∴CD＝＝3，
∴AC＝CD＝3．
3．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OP＝OB，
∴∠B＝∠OPB，
∴∠OPB＝∠C，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：连接AP，如图，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵∠CAB＝120°，
∴∠BAP＝60°，
在RtBAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，
∴BP＝AP＝3，
∴BC＝2BP＝6．
4．（1）证明：∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠AOB＝∠AOC；
（2）解：设OA交BC于点D，
∵＝，
∴OA⊥BC，
∴BD＝BC＝×10＝5（cm），
∵AB＝6cm，
∴在Rt△ABD中，AD＝＝（cm），∵OB＝Rcm，
则OD＝（R﹣）cm，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴R2＝（R﹣）2+25，
解得：R＝（cm）；
（3）∵3＜＜4，
∴4＜＜6
∴m＝6，n＝4．
5．（1）证明：连接OE，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE，
∵FE平分∠BFD，
∴∠DFE＝∠OFE，
∴∠DFE＝∠OEF，
∴OE∥CD，
∴∠OED+∠D＝180°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴∠OED＝90°，
即OE⊥AD，
∵OE过O，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，
∵OE⊥AD，
∴AB∥CD∥OE，
∵OB＝OF，
∴AE＝DE，
设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，
∵BF为⊙O直径，
∴∠BEF＝90°，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
即得：x＝2，
即DE＝2．
6．（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBC＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠ABC，
∵∠N＝∠ABC，
∴∠AOD＝∠N，
在Rt△AOD中，
∵，
∴，
即5OD＝3AO，
设⊙O的半径为r，
则5r＝3（r+4），
解得：r＝6，
∴⊙O的半径长为6．
7．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：作OG⊥AE于点G，连接BD，如图2所示：则AG＝CG＝AC＝4，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG是矩形，
∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4+4＝8，∠DOG＝90°，∴AB＝2OA＝16，
∵AC＝8，CE＝4，
∴AE＝AC+CE＝12，
∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴AD2＝192，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝8，在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
则弧BD的长度为＝．
8．解：（1）直线DE与⊙O相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE和△DOE中，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵DE、AE是⊙O的切线，
∴DE＝AE，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝AC＝3，
∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴图中阴影部分的面积＝2××2×3﹣＝6﹣π．
9．（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，
∴∠ADP＝∠BAD，
∴DP∥AB；
（2）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∵DP∥AB，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，
∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴＝＝＝＝，
∴PA＝PD，PC＝PD，
∵PC＝PA+AC，
∴PD+6＝PD，
解得：PD＝．
10．（1）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴CE⊥BC，
∵BC∥AM，
∴CD⊥AM，
∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴CE∥OA；
（2）解：∵⊙O的半径R＝13，
∴OA＝13，BE＝26，
∵BC＝24，
∴CE＝＝10，
∵BC∥AM，
∴∠B＝∠AFO，
∵∠C＝∠A＝90°，∴△BCE∽△FAO，∴，
∴，
∴AF＝．。