河南省周口市高考数学解答题专项训练含解析

河南省周口市高考数学解答题专项训练
解答题含答案有解析 1．已知函数()4cos cos 323f x x x ππ
⎛⎫⎛
⎫=---
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭．
（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的值域． 2．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，(
)2n n S a n n N *
=-∈．
（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）求证：12
1111
122n n
a a a -
<+++
<． 3．已知数列{}n a 中，11
2
a =
，点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，其中1,2,3,n =⋅⋅⋅. （1）令11n n n b a a +--=，求证数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项；
（3）设n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列？
若存在，试求出λ，若不存在，则说明理由. 4．已知函数2
1()(2)()2
f x x m x m =
+-∈R (1)若关于x 的不等式()4f x <的解集为()2,4-,求m 的值; (2)若对任意[0,4],()20x f x ∈+恒成立,求m 的取值范围. 5．已知不等式2(1)40()x a x a R +++<∈. （1）当6a =-时，求此不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求实数a 的取值范围．
6．如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ，M
为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点.
（1）证明：//MN 平面PAB ；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的余弦值.
7．已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点， 且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD.
8．等差数列{}n a 中，51783,2a a a ==. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()*
11n n n
b n N a a +=
∈,求数列{}n b 的前n 项和n
S
.
9．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为1，侧棱长为2. （1）求证：平面1ACD ⊥平面11BB D D ； （2）求直线1AA 与平面1ACD 所成的角的正弦值；
（3）设H 为截面1ACD ∆内-点（不包括边界），求H 到面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 的距离平方和的最小值.
10．如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为126nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：
(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．
11．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2),(2,4),(2,)a b c m ==-=-.
（1）若()a b c ⊥+，求||c ；
（2）若ka b +与2a b -共线，求k 的值.
12．已知函数2133
()sin 2cos 424
f x x x =
-+
. （1）求()f x 的最小正周期T 和[0,]π上的单调增区间：
（2）若2()(1)0n
f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
和*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 13．求函数2()
sin 3cos 2f x x x 的最大值
14．某体育老师随机调查了100名同学，询问他们最喜欢的球类运动，统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和. 最喜欢的球类运动 足球 篮球 排球 乒乓球 羽毛球 网球 人数
a
20
10
15
b
5
（1）求,a b 的值；
（2）将足球、篮球、排球统称为“大球”，将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人，再从这5人中任选2人，求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(
)
3 ,1a =-，()00cos60,sin 60b =．
（1）求证：2a b =且a b ⊥；
（2）设向量()4x a t b =++，y a tb =+，且x y ⊥，求实数t 的值．
16．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12AA =，AB AC ⊥，,E F 分别是BC ，11B C 的中点.
（1）求证：//BF 平面1AC E ；
（2）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值.
17．如图已知1AA ⊥平面ABC ，11BB AA ∥，3AB AC ==，5BC =17AA ，127BB =点E ，F 分别为BC ，1A C 的中点.
(1)求证：EF //平面11A B BA ;
(2)求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.
18．某运动爱好者对自己的步行运动距离x （单位：千米）和步行运动时间y （单位：分钟）进行统计，得到如下的统计资料：
如果y 与x 存在线性相关关系，
（1）求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.01）；
（2）将ˆ30y
>分钟的时间数据ˆi y 称为有效运动数据，现从这6个时间数据ˆi y 中任取3个，求抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率． 参考数据：
(
)()()
6
6
6
2
1
1
1
175.4,=80.30,14.30i
i i
i
i i i y
x x
y y x x ====---=∑∑∑，
参考公式：()()
()
6
1
6
2
1
ˆi
i
i i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆy bx
a =+． 19．（6分）已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=． （1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围；
20．（6分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3
cos 22cos 2
A A +=. （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，且73
sin sin B C +=
，求ABC ∆的面积.
21．（6分）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2cos cos cos C a B b A c +=. (1)求角C ;
(2)若2c =,求ABC ∆面积的最大值.
22．（8分）已知1a =，2b =，且向量a 与b 的夹角为θ． （1）若3
π
θ=
，求a b ⋅；
（2）若a b -与a 垂直，求θ．
23．（8分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+ （1）求函数()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合； （2）若函数()f x 的递减区间.
24．（10分）设函数2()2cos 3sin 2f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若[,0]4
x π
∈-
，求函数()f x 的值域.
25．（10分）已知函数()3sin cos 22f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调区间.
26．（12分）如图，在边长为2菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，且对角线AC 与BD 交点为O ．沿BD 将ABD △折起，使点A 到达点1A 的位置．
（1）若16AC 1OA ⊥平面ABCD ； （2）若1
22AC =，求三棱锥1A BCD -体积． 27．（12分）已知函数()sin()(0,0),f x A x A x ϕϕπ=+><<∈R 的最大值是1，其图像经过点
1,32M π⎛⎫
⎪⎝⎭。

（1）求()f x 的解析式；
（2）已知
且312
(),(),513
f f αβ=
=求()f αβ-的值。

28．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，S 6＝
63
2
. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
29．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，公比0q >，且23,6,a a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，122334
1111
1n n n T b b b b b b b b +=
++++
，求使9
10
n T <的n 的取值范围. 30．如图，在四边形ABCD 中，3
4
ABC π∠=
，AB AD ⊥，2AB =.
（1）若5AC =ABC ∆的面积；
（2）若6
ADC π
∠=
，42CD =AD 的长.
参考答案
解答题含答案有解析 1． (1) ()5,12
12k k k π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z ；(2) 3⎡⎣ 【解析】 【分析】
（1）利用两角差的余弦和诱导公式化简f(x),再求单调区间即可；（2）由26
3
3
x π
π
π
≤-
≤
结合三角函数性
质求值域即可 【详解】
（1）()4sin cos cos
sin sin
33
3f x x x x π
π⎛
⎫
=⋅+ ⎪⎝
⎭
14sin cos 22x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭
22sin cos x x x =+-
(
)sin 21cos 2x x =-
sin 22x x =
2sin 23x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得1212
k x k π5π
π-
≤≤π+， ()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z ；
（2）由
4
3
x π
π
≤≤
得
26
3
3
x π
π
π
≤-
≤
，
故而2sin 23x π⎛
⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝
⎭． 【点睛】
本题考查三角恒等变换，三角函数单调性及值域问题，熟记公式准确计算是关键，是基础题 2．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）令1n =，由11a S =求出1a 的值，再令2n ≥，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，将两式相减并整理得121n n a a -=+，计算出
11
1
n n a a -++为非零常数可证明出数列{}1n a +为等比数列；
（2）由（1）得出12n
n a +=，可得出121n n
a =
-，利用放缩法得出111122n n n
a -<≤，利用等比数列求和公式分别求出数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和112n -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，从而可证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，
上述两式相减得11221n n n n n a S S a a --=-=--，整理得121n n a a -=+.
则
111122
211
n n n n a a a a ---++==++，且112a +=.
所以，数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可知11222n n
n a -+=⨯=，则21n n a =-．
因为
111212
n n n a =>-， 所以212
11
11111122
22n n
n a a a +++
>+++
=-. 又因为()1111111
212222n n n n n a ---==≤--， 所以11
12
11
11
11
1222
22
n n n a a a --+++
≤+++
=-<． 综上，12111
1
122n n
a a a -<+++
<． 【点睛】
本题考查利用前n 项和求数列通项，考查等比数列的定义以及放缩法证明数列不等式，解题时要根据数列递推公式或通项公式的结构选择合适的方法进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3．（1）证明过程见详解；（2）322=-+n
n n a ；（3）存在实数2λ=，使得数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列. 【解析】 【分析】
（1）先由题意得到12+-=n n a a n ，再由11n n n b a a +--=，得到12111
2
11++++-=--=-n n n n n n b a a b a a ，即可证明结论成立；
（2）先由（1）求得1
132+⎛⎫-⋅ ⎪
⎝⎭
=n n b ，推出11
1132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，利用累加法，即可求出数列{}n a 的
通项；
（3）把数列a n }、{b n }通项公式代入a n +2b n ，进而得到S n +2T 的表达式代入T n ，进而推断当且仅当λ＝2时，数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． 【详解】
（1）因为点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，所以12+-=n n a a n ，因此2121++-=+n n n a a
由11n n n b a a +--=得112111(1)1
12112
++++++--==-+++-----n n n n n n n n n n a a b a a b a a a n n
a 1111(1)21
2112
21++++===-++--------n n n n n n n n a a a a a a n a n a
所以数列{}n b 是以1
2
为公比的等比数列； （2）因为112a =
，由2121=-a a 得234
a =，故211314--=-=
b a a ，
由（1）得1
1
1
1131132422--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎭
⎭
=⎝⎝n n n n b b ，
所以11
1132++⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，即11
1132++⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n a a ，
所以2
211132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ，3
321132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝-⎭a a ，…，11132-⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
-n n n
a a ， 以上各式相加得：()12311113222⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-n
n n a a
2
1111223313112212
-⎡⎤⎛⎫
⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--⨯
=--+-n n
n n
所以322=-+
n
n n a ； （3）存在λ＝2，使数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列． 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，a n +2b n ＝n ﹣2
∴()()
12213222222n n
n n n n n
n n n T T n n S T n S T n T n n n
λλλ+--+++--+=-==+ 又1231
131
42
112212
n n n n
T b b b ⎛⎫-- ⎪
⎛⎫⎝⎭=++
+=
=--
⎪⎝⎭
-=13322n +-+， ∴
13233222n n n S T n n n λλ++--⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
，
∴当且仅当λ＝2时，数列n n S T n λ+⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列． 【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及等差数列与等比数列的求和公式即可，属于常考题型. 4．（1）1m =；（2）[0,)+∞ 【解析】 【分析】
(1) 不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，而解集为()2,4-，可利用韦达定理或直接代入即可得到答案；
（2）法一：讨论0x =和(0,4]x ∈时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围； 法二：利用二次函数在[0,4]x ∈上大于等于0恒成立，即可得到取值范围. 【详解】
（1）法一：不等式()4f x <可化为2
(42)80x m x ---<，其解集为()2,4-，
由根与系数的关系可知2442m -+=-， 解得1m =，经检验1m =时满足题意.
法二：由题意知，原不等式所对应的方程()4f x =的两个实数根为2-和4， 将2-（或4）代入方程计算可得1m =，经检验1m =时满足题意. （2）法一：由题意可知2
1(2)22
m x x -≤+
恒成立， ①若0x =，则02≤恒成立，符合题意。

②若(0,4]x ∈，则12(2)2m x x -≤
+
恒成立，而1222x x +≥=， 当且仅当2x =时取等号，所以min 12222
m x x ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，即0m ≥.
故实数m 的取值范围为[0,)+∞. 法二：二次函数2
1()(2)2
f x x m x =
+-的对称轴为2x m =-. ① 若20m -≤，即2m ≥，函数()f x 在[]0,4上单调递增，()2(0)220f x f +≥+=≥恒成立， 故2m ≥；
②若024m <-<，即22m -<<，此时()f x 在[]0,2m -上单调递减，在[]2,4m -上单调递增，
由2
2(2)()2(2)2(2)202
m f x f m m -+≥-+=+-+≥得04m ≤≤. 故02m ≤<；
③若24m -≥，即2m ≤-，此时函数()f x 在[]0,4上单调递减， 由1()2(4)216(2)424202f x f m m +≥+=⨯+-⨯+=+≥得12
m ≥-，与2m ≤-矛盾，故m 不存在. 综上所述，实数m 的取值范围为[0,)+∞.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的性质，不等式恒成立中含参问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度较大.
5．（1） ()1,4； （2） ()(),53,-∞-⋃+∞
【解析】
【分析】
（1）不等式为2540x x -+<，解得14x <<
（2）不等式()2
140x a x +++<的解集非空，则0∆>，求解即可 【详解】
（1）当6a =-时，不等式为2540x x -+<，解得14x <<，
故不等式的解集为()1,4；
（2）不等式()2
140x a x +++<的解集非空，则0∆>， 即()21160a +->，解得5a <-，或3a >，
故实数a 的取值范围是()(),53,-∞-⋃+∞．
【点睛】
二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．
6．（1）证明见解析；（2）
25
【解析】
【分析】
（1）如图所示，G 为PB 中点，连接AG ，证明AMNG 为平行四边形得到答案.
（2）分别以,,AE AD AP 为,,x y z 轴建立直角坐标系，平面PMN 的法向量为()0,2,1n =，计算向量夹角
得到答案.
【详解】
（1）如图所示，G 为PB 中点，连接AG .
G 为PB 中点，N 为PC 的中点，故1//2GN BC ， 2AM
MD =，//AD BC ，故2GN AM ==，且//GN AM ，故AMNG 为平行四边形.
故//MN AG ，AG ⊂平面PAB ，故//MN 平面PAB.
（2）BC 中点为E ，AB AC =，故AE BC ⊥，故AE AD ⊥，
PA ⊥底面ABCD ，故AP AD ⊥，AP AE ⊥.
分别以,,AE AD AP 为,,x y z 轴建立直角坐标系，
则()0,0,0A ，()0,0,4P ，()0,2,0M ，5,1,2N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，5,1,2AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
. 设平面PMN 的法向量为(),,n x y z =，则00PM n MN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
， 即240520y z x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪，取1z =得到()0,2,1n =， 故85cos ,n AN
n AN n AN ⋅==⋅， 故直线AN 与平面PMN 所成角的余弦值为
305.
【点睛】
本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
7．证明见解析
【解析】
【详解】
证明：EH ⊄平面BCD ，
FG ⊂平面BCD ，且//EH FG ，
//EH 平面BCD ，
EH ⊂平面ABD,
平面ABD ⋂平面BCD BD =,
//EH BD ∴.
8． (1)12n n a +=
；（2）22
n n s n =+. 【解析】
【分析】
(1)根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.
(2)先求出{}n b ，再利用裂项求和求得n S .
【详解】
(1)等差数列{}n a 中，51343a a d =⇒+=，178112162(7)a a a d a d =⇒+=+ 解得：1111,22
n n a d a +==
⇒= (2)1114114()(2)(2122
1)12n n n b a a n n n n n n +====-++++++⋅ 数列{}n b 的前n 项和1111111124()4()12123222n n S n n n n n n -+-+-=-=+++=++. 【点睛】
本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用及计算能力.
9．（1）证明见解析；（2）
13
（3
【解析】
【分析】
（1）利用在正方体的几何性质，得到1,AC BD AC DD ⊥⊥，通过线面垂直和面面垂直的判定定理证明. （2）根据11//AA DD 和平面1ACD ⊥平面11BB D D ，知1D O 是1D D 在平面1ACD 上的射影，1DD O ∠即为直线1AA 与平面1ACD 所成的角，然后在1DD O ∆中求解.
（3）如图所示从H 向面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 引垂线，构成一个长方体，设到面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 的距离分别为x ，y ，z ，222d x y z =++，即长方体体对角线长的平方，当且仅
当DH ⊥平面1ACD 时，222
d x y z =++最小，然后用等体积法求解.
【详解】
（1）如图所示：
在正方体中1,AC BD AC DD ⊥⊥且1BD
DD D =，
所以AC ⊥平面11BB D D ，
又因为AC ⊂平面1ACD ，
所以平面1ACD ⊥平面11BB D D .
（2）因为11//AA DD ，
由（1）知平面1ACD ⊥平面11BB D D ，
所以1D O 是1D D 在平面1ACD 上的射影， 所以1DD O ∠即为直线1AA 与平面1ACD 所成的角，
在1DD O ∆中112322,22DO DD D O =
==， 所以11sin 3
DD O ∠=. （3）如图所示从H 向面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 引垂线，
构成一个长方体，设到面11ADD A ，面11DCC D ，面ABCD 的距离分别为x ，y ，z ，222
d x y z =++，即
长方体体对角线长的平方，
当且仅当DH ⊥平面1ACD 时，222d x y z =++最小，
又因为11D ACD D ACD V V --=， 即1min 11133ACD
ACD S d S DD ∆∆=， 1min 11133
ACD ACD S d S DD ∆∆=， min 43d =
. 【点睛】
本题主要考查几何体中线面垂直，面面垂直的判定定理和线面角及距离问题，还考查了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题.
10．（1）24；（2）8
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD 的长．
（2）在△ADC 中由余弦定理可求得CD ，答案可得．
【详解】
(1) 在△ABD 中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得21262243
ABsinB AD sinADB ⨯===
(2) 在△ADC 中，由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=83．
所以A 处与D 处之间的距离为24nmile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83nmile ．
【点睛】
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
11．（1）（2）2-
【解析】
【分析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．
（2）根据向量共线的条件即可求出．
【详解】
（1）因为(2,4)(2,)b c m =-=-，
(4,4)b c m ∴+=-+
(),(1,2)a b c a ⊥+=
()42(4)0a b c m ∴⋅+=-++=
2(2,2)m c ∴=-∴=--
||22c ∴=
（2）由已知：(2,24)2(4,0)ka b k k a b +=-+-=
(2)04(24)k k ∴-⨯=⨯+
2k ∴=-
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题． 12． (1) T=π，单调增区间为50,
12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) ∅ 【解析】 【分析】
（1）化简函数得到1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，再计算周期和单调区间. （2）分情况n 的不同奇偶性讨论，根据函数的最值得到答案.
【详解】
解：（1）函数21()sin 2424
f x x x =-+
11cos 2sin 24224
x x +=-+
11sin 22sin 2423x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭
故()f x 的最小正周期22T ππ=
=． 由题意可知：222232k x k πππππ-
+≤-≤+，k Z ∈ 解得：51212
k x k π
πππ-+≤≤+，k Z ∈ 因为[0,]x π∈，所以()g x 的单调增区间为50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）由（1）得1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ ∵,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
， ∴1sin 21,32x π⎛
⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
若2()(1)0n f x m +-⋅>对任意的,34x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
和*n N ∈恒成立， 则2()(1)n f x m +-⋅的最小值大于零． 当n 为偶数时，10m -+>，所以，1m
当n 为奇数时，10m -->，所以，1m <-
综上所述，m 的范围为∅.
【点睛】
本题考查了三角函数化简，周期，单调性，恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
13．最大值为5
【解析】
【分析】
本题首先可以根据同角三角函数关系以及配方将函数2()sin 3cos 2f x x x 化简为
2321()cos 24
f x x ，然后根据1cos 1x -≤≤即可得出函数()f x 的最大值． 【详解】
22()sin 3cos 21cos 3cos 2f x x x x x
22921cos 3cos 3cos 3cos 44
x x x x 2321cos 24
x ， 因为1cos 1x -≤≤，
所以当cos 1x =-时，即π2πx
k k Z ，函数()f x 最大， 令x π=，2321()
cos =524f ，故最大值为5． 【点睛】
本题考查同角三角函数关系以及一元二次函数的相关性质，考查的公式为22sin cos 1x x +=，考查计算能力，体现了综合性，是中档题．
14．（1）30,20a b ==；（2）
710
【解析】
【分析】
（1）根据最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和，以及总人数列方程组求解； （2）利用分层抽样，抽取的5人中，3人喜欢大球，2人喜欢小球，根据古典概型求解概率.
【详解】
（1）由题最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和， 所以102010155100a b a b =+⎧⎨+++++=⎩，解得：3020a b =⎧⎨=⎩
， 所以30,20a b ==；
（2）由题可得：喜欢大球的60人，喜欢小球的40人，
按照分层抽样抽取5人，其中喜欢大球的3人记为,,a b c ，喜欢小球的2人记为,x y ，
从中任取2人，情况为:
,,,,,,,,,ab ac ax ay bc bx by cx cy xy 共10种，
这两人中，至少一人喜欢小球的情况: ,,,,,,ax ay bx by cx cy xy 共7种，
所以所求概率为
710
； 【点睛】
此题考查统计与概率相关知识，涉及分层抽样和求古典概型，关键在于弄清基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
15．（1）证明见解析（2）2t =-
【解析】
【分析】
（1）根据向量的坐标求出向量模的方法以及向量的数量积即可求解. （2）根据向量垂直，可得数量积等于0，进而解方程即可求解.
【详解】
（1）证明：2a =，1b =，所以2a b =
，因为30a b ⋅=
-=，所以a b ⊥； （2）因为x y ⊥，所以0x y ⋅=， 由（1）得：()()22
44x y a t b a tb a t t b ⎡⎤⎡⎤⋅=++⋅+=++⎣⎦⎣⎦()22442t t t =++=+ 所以()220t +=，解得2t =-．
【点睛】
本题考查了向量坐标求向量的模以及向量数量积的坐标表示，属于基础题. 16
．（1）证明见解析。

（2 【解析】
【分析】
（1）首先根据已知得到1//BF EC ，再根据线面平行的判定即可得到//BF 平面1AC E . （2）首先根据线面垂直的判定证明AE ⊥平面11BB C C ，即可找到1E AC ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角，在计算其正弦值即可.
【详解】
（1）因为,E F 分别是BC ，11B C 的中点，
所以四边形1BFC E 为平行四边形，即1//BF EC . 1EC ⊂平面1AC E ，所以//BF 平面1AC E .
（2）因为AB AC =，E 为BC 中点，所以AE BC ⊥.
11AE BC AE BB AE BC BB B ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
平面11BB C C . 所以1E AC ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角.
在ABC 中，AB AC ⊥，1AB AC ==，
所以2BC =，2
2
AE =. 在1RT ACC 中，1AC =，12CC =，所以221125AC =+=
112
102sin 5
AE AC E AC ∠===. 【点睛】
本题第一问考查线面平行的判定，本题第二问考查线面成角，属于中档题. 17． (1)见证明；(2) 30
【解析】
【分析】
（1）要证线面平行即证线线平行，本题连接A 1B, 1EF BA ∥ （2）取1B C 中点N ,连接1A N 证明1A N ⊥平面1BCB ，再求出11A B ，得到
111111sin 2
A N A
B N A B ∠=
=． 【详解】 （1）如图，连接1A B ，在1A BC ∆中，因为E 和F 分别是BC 和1A C 的中点， 所以1EF BA ∥．又因为EF ⊄平面11A B BA ，所以EF 平面11A B BA ；
取1BB 中点M 和1B C 中点N ，连接1A M ，1A N ，NE ．
因为N 和E 分别为1B C 和BC ，所以1NE BB ∥，112
NE BB =， 故1NE AA ∥且1NE AA =，所以1A N AE ∥，且1A N AE =． 又因为AE ⊥平面1BCB ，所以1A N ⊥平面1BCB ，
从而11A B N ∠为直线11A B 与平面1BCB 所成的角． 在ABC ∆中，可得2AE =，所以12A N AE ==．
因为1BM AA ∥，1BM AA =，所以1A M AB ∥，1A M AB =，1BM AA =， 所以1A M AB ∥，1A M AB =，又由1AB BB ⊥，有11A M BB ⊥． 在11Rt A MB ∆中，可得
114A B ==；
在11Rt A NB ∆中，111111
sin 2
A N A
B N A B ∠=
=，因此1130A B N ∠=︒． 所以直线11A B 与平面1BCB 所成角为30． 【点睛】
求线面角一般有两个方法：
几何法做出线上一点到平面的高，求出高；或利用等体积法求高 向量法．
18．（1）ˆ 5.627.31y
x =+（2）9
20
【解析】 【分析】
（1）先计算所给数据距离、时间的平均值x ，y ，利用公式求b ，再利用回归方程求a .
（2）由（1）计算30y >的个数，先求从6个y 中任取3个数据的总的取法，再计算抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的取法，利用古典概型概率计算公式可得所求. 【详解】
解：（1）依题意得175.4
3.9,29.236
x y ==
=， 所以()()
(
)
6
1
6
2
1
80.30
ˆ 5.6214.30
i
i
i i i x x y y b
x x
==--==
≈-∑∑ 又因为ˆˆ29.23 5.62 3.97.31a
y bx =-=-⨯≈， 故线性回归方程为ˆ 5.627.31y
x =+． （2）将x 的6个值，代入（1）中回归方程可知， 前3个小于30，后3个大于30 ，
所以满足ˆ30y
>分钟的有效运动数据的共有3个，
设3个有效运动数据为,,a b c ，另3个不是有效运动数据为,,A B C ，则从6个数据中任取3个共有3
6C =20
种情况（或一一列举），其中，抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的有9种情况，即abA ，
,,,,,,,abB abC acA acB acC bcA bcB bcC ，所以从这6个时间数据ˆi y
中任取3个，抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率为9
20
P =. 【点睛】
本题考查线性回归方程的建立，古典概型的概率，考查数据处理能力，运用知识解决实际问题的能力，属于中档题.
19．（1）21n a n =- （2）()10,2a ∈
【解析】 【分析】
（1）设出{}n a 的通项公式，根据14n n a a n ++=计算出对应的首项和公差，即可求解出通项公式； （2）根据条件得到24n n
a a +-=，得到{}n a 的奇数项成等差数列，{}n a 的偶数项也成等差数列，
根据{}n a 单调递增列出关于1a 的不等式，求解出范围即可. 【详解】
（1）设()11n a a n d +-=，所以()112214n n a a a n d n ++=+-=，
所以12024a d d -=⎧⎨
=⎩，所以11
2a d =⎧⎨=⎩
，所以21n a n =-；
（2）因为14n n a a n ++=，所以2144n n a a n +++=+，所以24n n a a +-=，
又因为124a a +=，所以214a a =-，
当n 为奇数时，11114222n n a a n a +⎛⎫
=+-⋅=-+
⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，221142422
n n a a n a n a ⎛⎫=+-⋅=-+=- ⎪⎝⎭
， 因为{}n a 单调递增，所以21221k k k a a a -+<<，所以1114a a a -<-<，
所以()10,2a ∈
.
【点睛】
本题考查等差数列的基本量求解以及根据数列的单调性求解参数范围，难度一般.(1)已知数列的类型和数列的递推公式求解数列通项公式时，可采用设出数列通项公式的形式，然后根据递推关系求解出数列通项
公式中的基本量；(2)数列的单调性可通过1n a +与n a 的大小关系来判断.
20．（1）
3π；（2）
4
. 【解析】 【分析】
（1）由二倍角公式得2
32cos 12cos 2A A -+=，求得1cos 2A =则角A 可求；（2）sin sin B C +=，得7
sin sin sin 4
B C A +=，由正弦定理得7b c +=，再结合余弦定理得11bc =则面积可求 【详解】
（1）因为3cos 22cos 2A A +=，所以23
2cos 12cos 2
A A -+=， 解得1cos 2
A =
， 因为0A π<<，所以3
A π
=
；
（2）因为sin sin 8
B C +=，所以7sin sin sin 4B C A +=，
由正弦定理得7
4
b c a += 所以7b c +=，
由余弦定理，2222
2cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--， 所以11bc =,
所以1sinA 24
ABC
S
bc =
=
. 【点睛】
本题考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，准确计算是关键，是基础题
21． (1)
3
π
【解析】 【分析】
（1）由边角互化整理后，即可求得角C ；
（2）由余弦定理，结合均值不等式，求解bc 的最大值，代入面积即可. 【详解】
(1)由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=，
()2cos sin sin C A B C ⋅+=，
()2cos sin sin C C C π⋅-=， 2cos sin sin C C C ⋅=，
因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以2cos 1C =，即1cos 2C =
，所以3
C π=. （2）由余弦定理可得:2222cos c a b ab C =+-
222a b ab ab ab ab =+-≥-=
即4ab ≤，所以11sin 422ABC S ab C ∆=
≤⨯=
当且仅当a b =时，ABC S ∆【点睛】
本题考查解三角形中的边角互化，以及利用余弦定理及均值不等式求三角形面积的最值问题，属综合中档题.
22．（1）2
；（2）45θ=︒ 【解析】 【分析】
（1）根据平面向量的数量积公式计算a b ⋅的值；（2）根据两向量垂直数量积为0，列方程求出cosθ的值和对应角θ的值． 【详解】 （1）因为3
π
θ=
，所以cos a b a b θ⋅=
1cos 3
π
=
2
= （2）因为a b -与a 垂直，所以()
0a b a -⋅=
即2
2
cos 10a a b a a b θθ-⋅=-=-=，
所以cos 2
θ=
又0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒ 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，是基础题．
23．（1）当3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩⎭
时，()f x 1（2）37,,88k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）化简())14
f x x π
=
-+=根据正弦函数的最值即可解决，
（2）根据（1）的化简结果，根据正弦函数的单调性即可解决。

【详解】
解：(1) 2
()2sin (sin cos )2sin 2sin cos f x x x x x x x =+=+)14
x π
=
-+
因为sin(241)1x π
≤-
≤-1)114
x π
≤-+≤
所以()f x 1 ，此时3
,8x x k k Z ππ⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩⎭
（2）由（1）得())14f x x π=
-+得3222242
k x k πππππ
+≤-≤+
即减区间为37,,8
8k k k Z ππππ⎡
⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的最值与单调性，属于基础题。

24．（1）2,,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）1,2⎡⎤⎣⎦. 【解析】
分析：（1）由二倍角公式将表达式化一得到，()2sin 216f x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
，令3222,2
6
2k x k k Z π
π
πππ+
≤+
≤+
∈，得到单调区间；（2）,04x π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，2,636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，根
据第一问的表达式得到值域. 详解：
（1）由()2
2cos cos212sin 216f x x x x x x π⎛
⎫
=+=++=+
+ ⎪⎝
⎭
令3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈ 得：2,6
3
k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈ 所以，函数()f x 的单调减区间为2,,6
3k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
（2）当,04x π⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，2,,636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
1sin 2,62x π⎡⎤⎛
⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦
2sin 211,2,6x π⎛⎫
⎡⎤∴+
+∈ ⎪⎣⎦⎝
⎭
所以， 函数()f x 的值域是：1,2⎡⎤⎣⎦.
点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式
()
sin cos ,sin a b αααϕϕϕ+=+=
=
将函数化为()Asin x ϕ+的
形式，利用三角函数的图像特点得到函数的值域.
25． (1) ()f x 的最小正周期为2π (2) ()f x 的单调增区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：（1）化简函数的解析式得()2sin 3f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，根据周期公式求得函数的周期；
（2）由()222
32
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，求得x 的取值范围即为函数的单调增区间，由
()3222
32
k x k k Z ，π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈求得x 取值范围即为函数的单调减区间。

试题解析：
（Ⅰ）()cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
sin x x =+
2sin 3x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）由()222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，，
得()52266
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ ∴()f x 的单调增区间为()52,266k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
由
()3222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈，，
得
()7226
6
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈ ∴()f x 的单调减区间为()72,266k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
26．（1）见解析（2）3
【解析】 【分析】
(1)证明1
AO BD ⊥与1OC OA ⊥即可. (2)法一：证明BD ⊥平面1A OC ,再过点1A 做1A F AC ⊥垂足为F ,证明1A F 为三棱锥1A BCD -的高再求解即可.
法二：通过1111
3
A BCD
B A CD A CD
V V S BE --==
⨯⨯进行转化求解即可.
法三：通过111A BCD B A OC D A OC V V V ---=+进行转化求解即可. 【详解】
证明：（1）∵在菱形ABCD 中,2AB =,60BCD ∠︒＝,AC 与BD 交于点O ．
以BD 为折痕,将ABD △折起,使点A 到达点1A 的位置,∴1
AO BD ⊥,
又1AC =1OC OA ==∴22211
OC OA AC =+,∴1OC OA ⊥, ∵OC BD O ⋂＝,∴1OA ⊥平面ABCD
（2）（法一）：∵1OC OA ==1AC =
取1A C 的中点E ,则1OE A C ⊥且1OE ===, 因为BD OC ⊥且1BD OA ⊥,1OC OA O =,
所以BD ⊥平面1A OC ,
过点1A 做1A F AC ⊥垂足为F ,则1A F ⊥平面BCD, 又1111122
A OC S OC A F AC OE ∆=⋅=⋅
∴
111122A F =⨯,解得1A F = 11
222
BCD
S
BD OC =
⨯⨯=⨯=
∴三棱锥
1A BCD -体积1
113333
BCD V S A F =
⨯⨯==．
（法二）： 因为112
BA BD BC DA DC =====,1
AC =,取AC 中点E,
∴12BE AC BE DE BD ⊥===，,BE DE ∴⊥, ∴1BE A CD ⊥平面,又
11
2222
A CD
S
=
⨯⨯=
1111
3
3
A BCD
B A CD A CD V V S
BE --∴==⨯⨯=
（法三）因为BD OC ⊥且1BD OA ⊥,1OC
OA O =,所以BD ⊥平面1A OC
111A BCD B A OC D A OC V V V ---=+,11
12
A OC
S
=
⨯=
所以111
12333
A BCD A OC
V S BD -=⨯⨯==． 【点睛】
本题主要考查了线面垂直的证明与锥体体积的求解方法等.需要根据题意找到合适的底面与高,或者利用割补法求解体积.属于中档题. 27．（1）()sin cos 2f x x x π⎛
⎫
=+= ⎪⎝
⎭
（2）()5665
f αβ-= 【解析】
本题（１）属于基础问题，根据题意首先可求得Ａ，再将点Ｍ代入即可求得解析式；对于（２）可先将函数f(x)的解析式化简，再带入,αβ，利用两角差的余弦公式可求解；
（1）依题意知 A=1，又图像经过点M 132π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1sin 332
f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 再由
43
3
3π
π
πϕ<
+<
得536ππφ+=即2
πϕ= 因此()sin cos 2f x x x π⎛
⎫
=+= ⎪⎝
⎭
； （2）
()3cos
5f αα==，()12
cos 13
f ββ==
且,0,
2παβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
∴4sin 5α=
，5
sin 13
β=
()()3124556
cos cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=；
28．（1）a n ＝a 1qn －1＝2n －2；（2）T n ＝7
2
n 2－n..
【解析】 【分析】
(1)根据等比数列的通项公式和前n 项求得. (2)将n a 代入n b 中，得n b 是等差数列，再求和. 【详解】
(1)
632,1,s s q ≠∴≠ ∴()
(
)
2
16117
1216312a q q
a q q
⎧-⎪=
-⎪⎨-⎪=⎪
-⎩，解得112,.2q a ==
∴12
12.n n n a a q --==
(2 )
22661log 26612763.n n b n n n n -=-+=-+-=-
∴()()171637637,n n b b n n +-=+---=∴数列{}n b 是等差数列． 又156,b =-∴21(-1)17
756(1)7.222
n n n T nb n n n n n =+⨯=-+-⨯=- 【点睛】
本题考查等比数列和等差数列的通项和前n 项和，属于基础题.
29． (1) *
2()n n a n N =∈ ；(2) (
)*
9n n N
<∈
【解析】 【分析】
（1）利用等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n b 的表达式，利用裂项求和法求得n T ，解不等式9
10
n T <求得n 的取值范围. 【详解】
解：（1）∵23,6,a a 成等差数列，得2312a a =+， ∵{}n a 等比数列，且12a =，∴21222q q =+ 解得2q 或3q =-
又0q >，∴2q
，∴1*222()n n n a n N -=⋅=∈
（2）∵2log 2n
n b n ==，∴1111
(1)1
n n b b n n n n +=
=-++
∴111111(1)()()1223111n n
T n n n n =-+-+
+-=-=+++
故由9
10
n T <
，得()
*
9n n N <∈.
【点睛】
本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，考查裂项求和法，考查不等式的解法，属于中档题. 30．（1）1
2
；（2【解析】 【分析】
（1）由余弦定理求出BC ，由此能求出△ABC 的面积．
（2）设∠BAC ＝θ，AC=x ，由正弦定理得sin sin 4x
AB ABC
πθ
=
∠⎛⎫- ⎪⎝⎭
从而1
=
sin 4x πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，在ACD ∆中，
由正弦定理得
x ，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin ∠CAD ．再利用余弦定理可得结果. 【详解】
（1）因为3
4
ABC π∠=
，AB =AC = 所以2
222cos AC
AB BC AB BC B =+-⋅，即2230BC BC +-=， 所以1BC =. 所以111222
ABC
S
=⨯=. （2）设04BAC πθθ⎛
⎫
∠=<<
⎪⎝
⎭
，AC x =，则2
CAD π
θ∠=
-，
在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin 4x
AB ABC
πθ=
∠⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 所以
1sin 4x πθ=
⎛⎫-
⎪⎝⎭
；
在ACD ∆中，
sin
sin 6
2x
CD
π
πθ=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，所以cos x θ=
.
即1
sin 4πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 2θ=，
所以sin cos CAD θ∠==
，
所以AC x ===
cos CAD ∠= 所以在ACD ∆中，2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠.
即2220AD --=
，解得AD =
或AD =（舍）.
【点睛】
本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。