第一节两个基本计数原理、排列与组件课件-2025届高三数学一轮复习
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n r−1
D. Cn−1
r
r−1
C.nrCn−1
[解析]
−
−
= ⋅
−
−
！
！
−
！
=
！
！ −
！
= .故选D.
5.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在
内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家已经被邀请，则组成该评审委
影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则排法的种数为( C )
A.24
B.120
C.240
D.140
[解析] 将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有 =
种排法，而2名女生可以交换位置，所以共有 ⋅ = × = 种排法.故选C.
员会的不同方式共有( B )
A.30种
B.15种
C.20种
D.25种
[解析] 由题意知，甲、乙已经被邀请，相当于只需再从6人中选2人，则有 = 种
不同的组成方式.故选B.
02
研考点 题型突破
题型一 两个基本计数原理
角度1 分类加法计数原理
典例1 将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒
当两个相邻空盒不在两端时，放法有 = 种.
所以3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有 + = ��种.故答案为72.
［对点训练3］ 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不
是数字3的没有重复数字的五位数共有( B )
A.96个
B.78个
C.72个
2.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲
比赛，不同的选法有( D )
A.60种
B.45种
C.30种
D.12种
[解析] 因为三个年级共有12名学生，由分类加法计数原理可得,从中任选1人参加市团
委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法.故选D.
3.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( C )
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其
分布
第一节 两个基本计数原理、排列与组合
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标
解读
1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，并会简单运用.
2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简
单的实际问题.
01
强基础 知识回归
规律方法
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排
列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置.
角度2 捆绑与插空
典例4（1） 8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.若正、副组长相邻
1 440
240
而坐，有______种坐法;若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），有_____种坐法.
[解析] 若正、副组长相邻而坐，可将此2人看作1人，即7人围一圆桌，有 种坐法，
因为正、副组长2人可交换，有 种坐法，所以共有 = 种坐法.
若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），可将3人看作1人，即6人围一圆桌，有
种坐法，
因为正、副组长2人可交换，有 种坐法，所以共有
事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事.
区别三:
分类加法计数原理：各类方法之间是互斥的、并列的、独立的；
分步乘法计数原理：各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏.
2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分
类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
3.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重
= × × × × × = 种坐法.故答案为1 440;240.
（2）某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明
的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天00：00以后随机关
0.6
闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为____.
字为3时，满足条件的四位数有 = 个.由分类加法计数原理得满足条件的四位数
共有 + = 个.故选C.
（2）将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一
72
个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有____种.（用数字作答）
[解析] 当两个相邻空盒恰好在两端时，放法有 = 种；
（2）必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保
连续，逐步完成.
题型二 排列问题
角度1 特殊元素与特殊位置
典例3（1） 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数
有( C )
A.250个
B.249个
C.48个
D.24个
[解析] ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有 = 个；②当千位上的数
复或遗漏.
自测诊断
1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( C )
A.24种
B.4种
C.43 种
D.34 种
[解析] 第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投
到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原
理可得共有 种投法.故选C.
（2）如果加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须
相邻，工序C，D不能相邻，那么加工方法的种数为(
A.24
当2号球与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法.
因此，不同的放球方法有12种.故选B.
［对点训练1］ 若在一个三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们
就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，
=
Am
n
Am
m
=
n！
n−m
.
！
n n−1 n−2 ⋯ n−m+1
m！
n！
=___________(n，m
∈ ∗ ，且m ≤ n).特别地,Cn0 = 1
m！ n−m ！
性
质
n =_____.
n！
1
1 0！ =___；A
n
r−1
r
r =____________
C
+
C
Cnn−m
2 Cnm =______，C
n−1
n−1
n
知识拓展
1.两个计数原理的区别
区别一:
分类加法计数原理：完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”；
分步乘法计数原理:完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”.
区别二:
分类加法计数原理：每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，
只需一种方法就可以完成这件事；
分步乘法计数原理:任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件
知识梳理
一、两个基本计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n
m+n
种不同的方法.那么完成这件事共有N =_______种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，
m×n
[解析] 5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到
不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有 = 种，相邻的情况共有4种，
因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为
= . .故选C.
［对点训练4］ （1）6月也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合
从小到大排列第22个“单重数”是( B )
A.166
B.171
C.181
D.188
[解析] 由题意可得,不超过200的数，
且两个数字一样同为0时，有100，200，共2个，
当两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共
18个，
当两个数字一样同为2时，有122，共1个.
子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有( B )
A.16种
B.12种
C.9种
D.6种
[解析] 由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如
下情况时，放球方法：
当1号球与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1号球与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
同理，当两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时，各1个.
综上，不超过200的“单重数”共有 + + = 个，
其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，
故第22个“单重数”为171.故选B.
规律方法
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和
，所以所求概率
=
×=Βιβλιοθήκη .故选A.
［对点训练2］ 如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向
北两个方向沿图中路线前进，则从M到N不同的走法共有(
A.10种
B.13种
C.15种
C )
D.25种
[解析] 因为只能向东或向北两个方向，向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路
时向北走的路有5种走法，向东走的路有3种走法，根据分步乘法计数原理知共有
× = 种走法.故选C.
规律方法
（1）在用分步乘法计数原理解决问题时，要注意按事件发生的过程来合理分步，即
分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只
有各个步骤都完成了，才算完成这件事.
同元素中取出m个元素的排列数，用符号Am
n 表示.
不同组合
（2）从n个不同元素中取出m m ≤ n 个元素的所有__________的个数，叫作从n个不
同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm 表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公
式
1
Am
n
2
Cnm
n n−1 n−2 ⋯ n−m+1
=____________________________=
A.4
B.44
C.24
D.48
[解析] 一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为
= × × × = .故选C.
4.组合数Cnr n > r ≥ 1, n, r ∈ 恒等于(
A.
D )
r+1 r−1
C
n+1 n−1
r−1
B. n + 1 r + 1 Cn−1
关键位置.
（1）根据题目特点选择一个恰当的分类标准.
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不
同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.
（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.
角度2 分步乘法计数原理
典例2 用红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形
1.排列与组合的概念
名称
定义
一定的顺序
并按照____________排成一列，叫作从n个元素中取出
排列
组合
从n个不同元素中取出
m个元素的一个排列
m m ≤ n 个元素
作为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个
组合
2.排列数与组合数
不同排列
（1）从n个不同元素中取出m m ≤ n 个元素的所有__________的个数，叫作从n个不
区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为
( A )
43
A. 3
5
44
B. 3
5
43
C. 4
5
44
D. 4
5
[解析] 5种颜色随机给如题图所示的四块三角形区域涂色方法数为 ，有公共边的三
角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任
意涂色均可，方法数为 ×
D.64个
[解析] 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个
数字中的一个，
当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有 = 个；
当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有
× − = 个.
因此共有 + = 个这样的五位数符合要求.故选B.
那么完成这件事共有N =_______种不同的方法.
3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”
问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计
数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完
成这件事.
二、排列与组合
D. Cn−1
r
r−1
C.nrCn−1
[解析]
−
−
= ⋅
−
−
！
！
−
！
=
！
！ −
！
= .故选D.
5.某省专家组为评审某市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在
内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家已经被邀请，则组成该评审委
影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则排法的种数为( C )
A.24
B.120
C.240
D.140
[解析] 将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有 =
种排法，而2名女生可以交换位置，所以共有 ⋅ = × = 种排法.故选C.
员会的不同方式共有( B )
A.30种
B.15种
C.20种
D.25种
[解析] 由题意知，甲、乙已经被邀请，相当于只需再从6人中选2人，则有 = 种
不同的组成方式.故选B.
02
研考点 题型突破
题型一 两个基本计数原理
角度1 分类加法计数原理
典例1 将编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒
当两个相邻空盒不在两端时，放法有 = 种.
所以3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有 + = ��种.故答案为72.
［对点训练3］ 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不
是数字3的没有重复数字的五位数共有( B )
A.96个
B.78个
C.72个
2.现有高一学生5名，高二学生4名，高三学生3名.从中任选1人参加市团委组织的演讲
比赛，不同的选法有( D )
A.60种
B.45种
C.30种
D.12种
[解析] 因为三个年级共有12名学生，由分类加法计数原理可得,从中任选1人参加市团
委组织的演讲比赛，共有12种不同的选法.故选D.
3.一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( C )
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其
分布
第一节 两个基本计数原理、排列与组合
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标
解读
1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义，并会简单运用.
2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简
单的实际问题.
01
强基础 知识回归
规律方法
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排
列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置.
角度2 捆绑与插空
典例4（1） 8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.若正、副组长相邻
1 440
240
而坐，有______种坐法;若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），有_____种坐法.
[解析] 若正、副组长相邻而坐，可将此2人看作1人，即7人围一圆桌，有 种坐法，
因为正、副组长2人可交换，有 种坐法，所以共有 = 种坐法.
若记录员坐于正、副组长之间（三者相邻），可将3人看作1人，即6人围一圆桌，有
种坐法，
因为正、副组长2人可交换，有 种坐法，所以共有
事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事.
区别三:
分类加法计数原理：各类方法之间是互斥的、并列的、独立的；
分步乘法计数原理：各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏.
2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.分
类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
3.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重
= × × × × × = 种坐法.故答案为1 440;240.
（2）某居民小区内一条街道的一侧并排安装了5盏路灯，在满足晚上不同时间段照明
的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天00：00以后随机关
0.6
闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻的概率为____.
字为3时，满足条件的四位数有 = 个.由分类加法计数原理得满足条件的四位数
共有 + = 个.故选C.
（2）将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一
72
个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有____种.（用数字作答）
[解析] 当两个相邻空盒恰好在两端时，放法有 = 种；
（2）必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保
连续，逐步完成.
题型二 排列问题
角度1 特殊元素与特殊位置
典例3（1） 用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数
有( C )
A.250个
B.249个
C.48个
D.24个
[解析] ①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有 = 个；②当千位上的数
复或遗漏.
自测诊断
1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有( C )
A.24种
B.4种
C.43 种
D.34 种
[解析] 第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投
到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原
理可得共有 种投法.故选C.
（2）如果加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须
相邻，工序C，D不能相邻，那么加工方法的种数为(
A.24
当2号球与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法.
因此，不同的放球方法有12种.故选B.
［对点训练1］ 若在一个三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们
就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，
=
Am
n
Am
m
=
n！
n−m
.
！
n n−1 n−2 ⋯ n−m+1
m！
n！
=___________(n，m
∈ ∗ ，且m ≤ n).特别地,Cn0 = 1
m！ n−m ！
性
质
n =_____.
n！
1
1 0！ =___；A
n
r−1
r
r =____________
C
+
C
Cnn−m
2 Cnm =______，C
n−1
n−1
n
知识拓展
1.两个计数原理的区别
区别一:
分类加法计数原理：完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类”；
分步乘法计数原理:完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步”.
区别二:
分类加法计数原理：每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，
只需一种方法就可以完成这件事；
分步乘法计数原理:任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件
知识梳理
一、两个基本计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n
m+n
种不同的方法.那么完成这件事共有N =_______种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，
m×n
[解析] 5盏路灯关闭其中3盏灯，则2盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的2盏插空到
不亮的3盏之间，那么亮的2盏不相邻的情况共有 = 种，相邻的情况共有4种，
因此2盏亮着的路灯不相邻的概率为
= . .故选C.
［对点训练4］ （1）6月也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合
从小到大排列第22个“单重数”是( B )
A.166
B.171
C.181
D.188
[解析] 由题意可得,不超过200的数，
且两个数字一样同为0时，有100，200，共2个，
当两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共
18个，
当两个数字一样同为2时，有122，共1个.
子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有( B )
A.16种
B.12种
C.9种
D.6种
[解析] 由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如
下情况时，放球方法：
当1号球与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1号球与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1号球与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
同理，当两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时，各1个.
综上，不超过200的“单重数”共有 + + = 个，
其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，
故第22个“单重数”为171.故选B.
规律方法
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和
，所以所求概率
=
×=Βιβλιοθήκη .故选A.
［对点训练2］ 如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向
北两个方向沿图中路线前进，则从M到N不同的走法共有(
A.10种
B.13种
C.15种
C )
D.25种
[解析] 因为只能向东或向北两个方向，向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路
时向北走的路有5种走法，向东走的路有3种走法，根据分步乘法计数原理知共有
× = 种走法.故选C.
规律方法
（1）在用分步乘法计数原理解决问题时，要注意按事件发生的过程来合理分步，即
分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只
有各个步骤都完成了，才算完成这件事.
同元素中取出m个元素的排列数，用符号Am
n 表示.
不同组合
（2）从n个不同元素中取出m m ≤ n 个元素的所有__________的个数，叫作从n个不
同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm 表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公
式
1
Am
n
2
Cnm
n n−1 n−2 ⋯ n−m+1
=____________________________=
A.4
B.44
C.24
D.48
[解析] 一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为
= × × × = .故选C.
4.组合数Cnr n > r ≥ 1, n, r ∈ 恒等于(
A.
D )
r+1 r−1
C
n+1 n−1
r−1
B. n + 1 r + 1 Cn−1
关键位置.
（1）根据题目特点选择一个恰当的分类标准.
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不
同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.
（3）分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.
角度2 分步乘法计数原理
典例2 用红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形
1.排列与组合的概念
名称
定义
一定的顺序
并按照____________排成一列，叫作从n个元素中取出
排列
组合
从n个不同元素中取出
m个元素的一个排列
m m ≤ n 个元素
作为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个
组合
2.排列数与组合数
不同排列
（1）从n个不同元素中取出m m ≤ n 个元素的所有__________的个数，叫作从n个不
区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为
( A )
43
A. 3
5
44
B. 3
5
43
C. 4
5
44
D. 4
5
[解析] 5种颜色随机给如题图所示的四块三角形区域涂色方法数为 ，有公共边的三
角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任
意涂色均可，方法数为 ×
D.64个
[解析] 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个
数字中的一个，
当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有 = 个；
当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有
× − = 个.
因此共有 + = 个这样的五位数符合要求.故选B.
那么完成这件事共有N =_______种不同的方法.
3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”
问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计
数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完
成这件事.
二、排列与组合