湘教版九上数学3.2平行线分线段成比例

B
从而 BA2=BC2,
所以 A1B1=B1C1.
C C2
l1
A1 a B1 b
C1 c
l2
归纳
由此可以得到： 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条
直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得 的线段也相等.
自学互研
如图，任意两条直线 l1，l2 ，再画三条与 l1，l2 相
交的直线 a，b，c .分别度量 l1，l2 被直线 a，b，c 截得的线
第三章 图形的相似 3.2 平行线分线段成比例
学习目标
【学习目标】 1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式 图形． 2．熟练掌握任意等分线段的方法． 3．培养化归的思想，认识“特殊——一般——特殊” 的认识事物的方法． 【学习重点】 平行线等分线段定理． 【学习难点】 平行线分线段成比例定理及其灵活运用。
，∴EC2＝4，
∴EC＝2cm，
∴AC＝AE＋EC＝1＋2＝3(cm)。
课堂小结
平
成 比 例
行 线 分
线
段
◑基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应
线段成比例
◑推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或
两边延长线），所得的对应线段成比例
段 AB，BC
，A1B1，B1C1 的长度.
AB 与
BC
A1 B1 B1C1
相等吗？
任意平移直线 c，再度量 AB，BC ，A1B1，B1C1 的长度，
AB BC
与
BA11CB11也相等吗？
证明：假设 AB BC
2 3
，则把线段
AB
二等分，分点
D.过点 D 作直线 d∥a，交 l2 于点 D1．如图：
31
∴ OC 2 ,
∴ OC=6.
2.如图,点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC， 若AB=3，AD=2，EC=1.8,求AC的长.
解：∵ DE//BC，
∴ MN//DE//BC， AD AE
∴ DB EC ，
∵ AB=3,AD=2,
∴ DB=1，∴AE=3.6
∴AC= AE+EC=5.4
又∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴
4 6
＝
3 DF
，即DF＝4.5.
∴BF＝BD＋DF＝3＋4.5＝7.5.
例题探究
【变例】 如图，已知DC∥EF∥GH∥AB，CB＝30，且 DE∶EG∶GA＝1∶2∶3，求CF，FH，BH的长．
解：∵DC∥EF∥GH∥AB， ∴CF∶FH∶BH＝DE∶EG∶GA＝1∶2∶3. 又CB＝CF＋FH＋BH＝30， ∴CF＝5，FH＝10，BH＝15.
把线段 BC 三等分．
A
三等分点为 E，F，分
D
别过点 E，F 作直线
B
e∥a，f∥a，分别交
E
l2 于点 E1,F1.
F
C
l1A1 a Βιβλιοθήκη B11d bE1 e F1 f
C1c
l2
由已知 AB 2 ,得 1 AB 1 BC . BC 3 2 3
由于
AD=DB=
1 2
AB，BE=EF=FC=
1 3
AB BC
k (其中 k 为无理数),
A1B1 B1C1
k ,从而
AB BC
=
A1B 1 B1C 1
.
我们还可以得到
A
BC AB
B1C 1 A1B 1
,
AB AC
A1B 1 A1C 1
,
BC AC
B1C 1 . A1C 1
D B
E
F
C
l1
A1 a D1 d B1 b
E1 e F1 f
C1c
l2
归纳
a//b//c，l3//l2，因此由 “夹在两平行线间的
A2 A
平行线段相等”可知
B
A2B=A1B1， BC2=B1C1.
C C2
l1 l3
A1 a B1 b
C1 c
l2
自学互研
在△BAA2 和△BCC2 中：
∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，
∠BAA2=∠BCC2，
A2 A
因此△BAA2≌△BCC2.
3．如图，平行四边形ABCD中，点E是BA边延长线上一点， CE交对角线DB于点G，交AD边于点F.求证：CG 2＝GF·GE.
解：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB， AD∥BC，∵DC∥AB，∴CGGE＝DGGB，∵AD∥BC.∴CFGG ＝DBGG，∴CFGG＝CGGE，故 CG2＝GF·GE.
情景导入
猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在 其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直 线上截得的线段也相等．
自学互研 知识模块一 平行线分线段成比例
自学互研
A B
C
l1
A1 a B1 b
C1 c l2
自学互研
过点 B 作直线 l3//l2，分别与直线 a,c 相
交于点 A2，C2，由于
BC，
A
因此 AD=DB=BE=EF=FC.
D
由于 a // d// b/ / e// f// c，
B
因此 A1O1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.
E
F
从而 A1B1 = 2 A1D1 = 2 .
B1C1 3B1E1 3
C
l1
A1 a DB11d b
E1 e F1 f
C1c
l2
类似地,可以证明,若
自学互研
知识模块二 平行线分线段成比例
如图，在△ABC
中，已知
DE∥BC
，则
AD DB
AE EC
和
AD AE AB AC
成立吗？为什么？
如上图，过点 A 作直线 MN， 使 MN∥DE ， ∵DE∥BC ，∴MN∥DE∥BC.
因此 AB，AC 被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平 行线分线段成比例可知，
AD AE ，AD AE . DB EC AB AC
同时还可以得到 DB EC ，DB EC . AD AE AB AC
自学互研 归纳
由此得到以下结论：平行于三角形一边的直 线截其他两边，所得的对应线段成比例.
例题探究
如图，已知 AA1∥BB1∥CC1 ，AB=2，BC=3，A1B1=1.5， 求 B1C1 的长. 解 ： 由平行线分线段成比例可知，
4．如图，如果l1∥l2∥l3，AC＝12，DE＝3，EF＝5，那么BC ＝___7_._5__．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，DB＝ 4cm，AE＝1cm.求AC的长．
AD
AE
解：∵AE∥BC，∴ DB ＝ EC ，
而AD＝EC，∴
EC DB
＝
AE EC
，
∴
EC 4
＝
1 EC
由此得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例.
例题探究
例1. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分
别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，
求BF的长．
AC BD
解：∵直线a∥b∥c，∴ CE ＝ DF .
AB A1B1 ，即 2 1.5 ，
BC B1C1
3 B1C1
因此，B1C1
=
31.5 2
=2.25.
课堂练习
1．如图，AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且
BA//MN//CD，已知OA=3,OB=1,OD=2,求OC的长.
解：∵ BA//MN//CD,
∴
OA OC
=
OB OD
,
∵ OA=3，OB=1，OD=2,