【小初高学习]2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.5 平行关系学案 北师大版必

第1课时平行关系的判定
[核心必知]
1．直线与平面的位置关系
2.
1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗？
提示：不一定，因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．
2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？
提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．
讲一讲
1.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.
[尝试解答] 证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.
又∵AD平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
1．判断或证明线面平行的方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；
(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α；
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
2．证明线线平行的方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质；
(2)利用平行四边形的性质；
(3)利用平行线分线段成比例定理．
练一练
1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.
证明：连接AC交BD于O，连接QO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又Q为PA的中点，
∴QO∥PC.
显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，
∴PC∥平面BDQ.
讲一讲
2.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.
[尝试解答] 证明：如图所示，连接MF.
∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，
∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.
又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，
∴MF＝AD且MF∥AD.
∴四边形AMFD是平行四边形．
∴AM∥DF.
又DF平面EFDB，AM平面EFDB，
∴AM∥平面EFDB.
同理可证，AN∥平面EFDB.
又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，
∴平面AMN∥平面EFDB.
平面平行的判定方法：
(1)利用定义，证面面无公共点．
(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．
(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．
练一练
2．如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点．连接ED，
ED是△A1BC的中位线，
∴ED∥A1B.
∵ED平面A 1BD1，A1B 平面A1BD1，
∴ED∥平面A1BD1.
∵C1D1BD，
∴四边形BDC1D1是平行四边形，
∴C1D∥BD1.
∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，
∴C1D∥平面A1BD1.
∵C1D∩ED＝D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
讲一讲
3.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，且BA ＝BC ＝BD ，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．
(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC .
[尝试解答] (1)证明：如图连接BM ，BN ，BG 并延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .
∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BG
GH
＝2，连接PF ，FH ，PH ，
有MN ∥PF .又PF 平面ACD ，MN 平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ， 同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .
(2)由(1)可知：MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝2
3
PH .
又PH ＝12AD ，∴MG ＝1
3AD .
同理NG ＝13AC ，MN ＝1
3
CD ，
∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3，故S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.
证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．
练一练
3．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，Q 是CC 1
的中点，判断并证明平面D 1BQ 与平面PAO 的位置关系．
解：平面D 1BQ ∥平面PAO .下面给出证明． ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵QB 平面PAO ，PA 平面PAO ，∴QB ∥平面PAO . ∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO .
∵D 1B 平面PAO ，PO 平面PAO ，∴D 1B ∥平面PAO . 又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面PAO .
如右图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ∈AD 1，
N ∈BD ，且D 1M ＝DN ，求证：MN ∥平面CC 1D 1D .
[证明] 法一：连AN 并延长交DC 于E .连接D 1、E . ∵AB ∥CD ，∴AN NE ＝
BN ND ⇒AE NE ＝BD
ND
.
∵BD ＝AD 1，且D 1M ＝DN ， ∴AE EN ＝
AD 1
MD 1
.
在△AD 1E 中，MN ∥D 1E ，
又MN 平面CC 1D 1D ，D 1E 平面CC 1D 1D ， ∴MN ∥平面CC 1D 1D . [尝试用另外一种方法解题]
法二：过点M 作MP ∥AD ，交DD 1于P ， 过点N 作NQ ∥AD 交CD 于点Q ，连接PQ ，
则MP ∥NQ ，
在△D 1AD 中，MP AD ＝
D 1M
D 1A
.
∵NQ ∥AD ，AD ∥BC ， ∴NQ ∥BC . 在△DBC 中，NQ BC ＝
DN
DB
，
∵D 1M ＝DN ，D 1A ＝DB ，AD ＝BC ，∴NQ ＝MP . ∴四边形MNQP 为平行四边形，则MN ∥PQ . 而MN 平面CC 1D 1D ，PQ 平面CC 1D 1D ， ∴MN ∥平面CC 1D 1D .
1．在以下说法中，正确的个数是( )
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选A 对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A ，B ，C 三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．
2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b α，a ∥b
B ．b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c
C ．b α，A ，B ∈a ，C ，
D ∈b ，且AC ＝BD D ．a α，b α，a ∥b
解析：选D A 项和B 项中a 有可能在α内，C 项中，a 可能在α内，也可能与α相交，D 项中，a ∥α.
3．若M ，N 分别是△ABC 边AB ，AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β的位置关系是( ) A ．MN ∥β
B ．MN 与β相交或MN β
C ．MN ∥β或MN β
D．MN∥β或MN与β相交或MN β
解析：选C 当平面β与平面ABC重合时，有MN β；
当平面β与平面ABC不重合时，
则β∩平面ABC＝BC.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.
又MNβ，BCβ，∴MN∥β.
综上有MN∥β或MN β.
4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．
解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．
答案：4
5．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．
解析：∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，
若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．
∴b∥α或b与α相交．
答案：b∥α或b与α相交
6．如图E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，
易证OG∥B1C1，
且OG ＝1
2B 1C 1，BE ∥B 1C 1，
且BE ＝1
2
B 1
C 1，
∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE . ∵OB 平面BB 1D 1D ，
GE 平面BB 1D 1D ，
∴GE ∥平面BB 1D 1D .
(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1 平面BDF ，BD 平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ， 易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF . ∵HD 1 平面BDF ，BF 平面BDF ， ∴HD 1∥平面BDF ， ∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .
一、选择题
1．已知b 是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b ∥α的是( ) A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交
解析：选D 若b 与α内的所有直线不相交，即b 与α无公共点，故b ∥α. 2．空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 和平面DEF 的关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．在平面内
D ．平行或相交 解析：选A 如图所示，
在平面ABC 内，
因为AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，
所以AC∥EF.
又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是( )
A．平面BME∥平面ACN
B．AF∥CN
C．BM∥平面EFD
D．BE与AN相交
解析：选A 作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.
4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是( )
①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n ∥β，且m∥n，则α∥β
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．
5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．相交或平行
解析：选D 当M与D1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，
∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．
二、填空题
6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形
的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．
解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
答案：2
7．三棱锥S­ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC 的关系为________．
解析：如图，取BC中点F，连SF.
∵G为△ABC的重心，
∴A，G，F共线且AG＝2GF.
又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.
又SF 平面SBC，EG平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
答案：EG∥平面SBC
8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B1BDD1.
答案：M∈线段FH
三、解答题
9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.
证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，
∵M ，G 分别是A ′B ，A ′C 的中点，∴MG 1
2
BC ， 同理DE
1
2
BC ，∴MG DE ，
∴四边形DEMG 是平行四边形， ∴ME ∥DG .
又ME 平面A ′CD ，DG 平面A ′CD ， ∴ME ∥平面A ′CD .
10．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：
(1)EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.
证明：(1)如图所示，连接SB .
∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点， ∴EG ∥SB .
又∵SB 平面BDD 1B 1，EG 平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1. (2)∵F ，E 分别是DC ，BC 的中点，∴FE ∥BD . 又∵BD 平面BDD 1B 1，FE 平面BDD 1B 1， ∴FE ∥平面BDD 1B 1.
又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG 平面EFG ，EF 平面EFG ，EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG ∥平面
BDD 1B 1.
第2课时 平行关系的性质
[核心必知]
1．直线与平面平行的性质
l ∥b
1．若直线l 与平面α平行，可否认为l 与平面α内的任意一条直线都平行？ 提示：不可．根据线面平行的性质定理，l 与过直线l 的平面与α的交线平行． 2．若平面γ∩β＝a ，γ∩α＝b ，则a 、b 的位置关系是什么？
提示：平行或相交：当β∥α时，由面面平行的性质定理知a ∥b ；当α与β相交时，
a 与
b 相交或平行．
3．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？
提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．
讲一讲
1.ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .
[尝试解答] 证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ，
∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点． 又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA ∥平面BMD .
∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴AP ∥GH .
线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→线面平行的性质线线平行．
练一练
1．已知：a ∥b ，a α，b β，α∩β＝l .求证：a ∥b ∥l . 证明：如图所示，∵a ∥b ，b β，
∴a ∥β，
又a α，α∩β＝l ， ∴a ∥l ， 又a ∥b ， ∴a ∥b ∥l .
讲一讲
2．如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．
[尝试解答] 因为AC ∩BD ＝P ， 所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，
因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .
所以PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD
.
所以BD ＝245
.
由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系．另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得．
练一练
2．如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.
证明：过点A 作AE ∥CD 交平面β于E ，连接DE ，BE ，
∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .
由于α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理) 取AE 中点N ，连接NP ，MN ，
∵M、P分别为AB、CD的中点，
∴NP∥DE，MN∥BE.
又NP β，DE β，MN β，BE β，∴NP∥β，MN∥β.
又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.
∵MP平面MNP，∴MP∥β.
讲一讲
3．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
[尝试解答] (1)证明：因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，
所以AD∥平面PBC.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥AD∥BC.
(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，
因为M，N分别是AB，PC的中点，
所以MQ∥AD，NQ∥PD.
而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.
因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.
在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：
练一练
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．
求证：MN∥平面A1CD.
证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.
∵点M是BC的中点，
∴MP∥CD.
∵CD 平面A1CD，MP 平面A1CD，
∴MP∥平面A1CD.
∵点N是AA1的中点，
∴NP∥A1D.
∵A 1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，
∴NP∥平面A1CD.
∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，
∴平面MNP∥平面A1CD.
∵MN 平面MNP，
∴MN∥平面A1CD.
已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[解] SG∥平面DEF.证明如下：
法一：连接CG交DE于H，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB.
在△ACG中，D是AC的中点，
且DH∥AG，
∴H为CG的中点，
∴FH为△SCG的中位线，
∴FH∥SG.
又SG平面DEF，FH 平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
[尝试用另外一种方法解题]
法二：∵EF为△SBC的中位线，
∴EF∥SB，
∵EF平面SAB，SB 平面SAB，
∴EF∥平面SAB.
同理：DF∥平面SAB.
又EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，
∴平面SAB∥平面DEF.
又SG 平面SAB，
∴SG∥平面DEF.
1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( ) A．至少有一条B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
解析：选B 设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l
在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．
∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．
2. 若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：选D 直线a与点B确定一个平面．这个平面与β有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得l∥a.
3．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
D．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n
解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中α与β可能相交；C中α与β可能相交，只有D正确．
4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________.
解析：∵MN∥平面BDC，MN 平面ABD，
平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.
又∵N是AD的中点，
∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.
答案：1∶1
5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)
解析：①②⇒③
设过m的平面β与α交于l.
∵m∥α，∴m∥l，
∵m∥n，∴n∥l，∵nα，lα，∴n∥α.
答案：①②⇒③(或①③⇒②)
6．如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.
证明：连接CD1，AD1，
∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
∴PQ∥CD 1，且CD1 平面BPQ，
∴CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
∴四边形ABQD1是平行四边形，
∴AD1∥BQ，
又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.
∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.
一、选择题
1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )
A．平行B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c 与a，b的位置关系是( )
A ．c 与a ，b 都异面
B ．c 与a ，b 都相交
C ．c 至少与a ，b 中的一条相交
D ．c 与a ，b 都平行
解析：选D 如图：∵a ∥b ，且a γ，b γ，∴a ∥γ， ∵a α且α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴b ∥c .
3．下列说法正确的个数为( )
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不
正确．
4．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )
A ．2∶5
B ．3∶8
C ．4∶9
D ．4∶25
解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而
S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4
25
. 5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A ．α∥平面ABC
B ．△AB
C 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于α
D ．△ABC 中只可能有一边与α相交
解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.
二、填空题
6．如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以
EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12
AC ，又因
为在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.
答案： 2
7．在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a
3
，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.
解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a
3，
故PQ ＝PD 2＋DQ 2
＝2DP ＝22a 3.
答案：22a 3
8．如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.
解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD . 因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ， 所以a ∥EG ，即BD ∥EG .
所以AF AC ＝AE AB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD
.
于是EG ＝
AF ·BD AC ＝5×45＋4＝20
9
. 答案：20
9
三、解答题
9．如图，棱柱ABC ­A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．
解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，
则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 因为A 1B ∥平面B 1CD ， 且A 1B 平面A 1BC 1， 所以A 1B ∥DE . 又E 是BC 1的中点，
所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.
10．在底面是平行四边形的四棱锥P ­ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，如图，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，证明你的结论．
解：当F 为PC 的中点时，BF ∥平面AEC . 证明如下：如图，取PE 的中点M ，连接MF 、MB ，
则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，
∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．
∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，
∴BM∥平面AEC，
同理FM∥平面AEC.
又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.
又BF 平面BMF，
∴BF∥平面AEC.。